专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型（原卷版）

专题01相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线)，这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。模型1.“A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1图2图31）“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2022·重庆九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC=DFCG．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若例3．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，矩形的顶点D、E在上，点F、G分别在、上，若，，且，则的长为________．例4.（2023·江苏九年级期中）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．例5.（2022•安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41）“8”字模型条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB∥CD；结论：4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.例1．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（

）A．5 B．6 C． D．例2.（2022·广西·中考模拟）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2＝BD•DE．例3．（2023·上海市九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．例4．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O．(1)如图1，若连接，则的形状为______，的值为______；(2)若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边．①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解读与图示】图1图2图31）一“A”一“8”模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔2）两“A”一“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：.3）四“A”一“8”模型条件：如图3，DE∥AF∥BC,；结论：AF=AG例1．（2022•惠山区一模）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△EOC＝1：3，则当S△ADE＝1时，四边形DBCE的面积是．例2．（2021·江苏南京·中考真题）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．（1）求证；（2）若，求的长．例3.（2022·成都市九年级期中）如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．课后专项训练1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在矩形中，是边的中点，于点，则下列结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（

）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个2．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转到平行四边形的位置，使点落在上，与交于点E，若，，，则的长为（

）

A． B． C． D．13．（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，已知四边形为矩形，点E在的延长线上，．连接，于点G．若交于点F，，则的长度是（

）

A． B． C．6 D．4．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考期末）如图，小明站在两路灯之间的点处，两路灯底部的距离，两路灯的高度均为，小明身高，他在路灯下的影子，在路灯下的影子为，则．

5．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则．

6．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，已知在中，，，是边上的一点，与交于点，若，则．7．（2022·辽宁·中考真题）如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长．8．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）己知四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点G．特例解析：

(1)如图1，若四边形是矩形，且，求证：；类比探究：(2)如图2，若四边形是平行四边形，且，求证：．9．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，已知梯形中，，又，．(1)对角线与相交于点，交于点，试求的长．(2)如图，动点由点出发沿向点移动，速度为单位/分，同时动点由点出发沿向点移动，速度为单位/分，又与交于点，与交于点．猜想：对于动点和在运动过程中的任一时刻（分别不与，和，重合），始终有，请加以证明．(3)设梯形的面积为，试问，在（）题点，的运动过程中，四边形的面积是否发生变化？如发生变化，请加以说明；如不发生变化，请求出它的面积（用的代数式表示）．

10．（2022秋·广东清远·九年级统考期中）如图，在平行四边形中，，交于点，点是的中点，连接交于点，．(1)求证：；(2)求的长；(3)若的面积为2，直接写出四边形的面积．

11．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）问题背景：如图1，在四边形中，点F，E，G分别在上，，，求证：尝试应用：如图2，是的中线，点E在上，直线交于点G，直线交于点F，若，求的值．迁移拓展：如图3，在等边中，点D在上，点E在上，若，，直接写出的值．（用含m的式子表示）

12．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．(1)若，求的长．(2)求证：．(3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．13．（2022·上海市九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．（1）求证：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．14．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)若＝2，求的值；(3)若MN∥BE，求的值．15．（2022•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得．根据上述这两个式子，可以推出：．（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得：．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，则．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝