全国高中数学联赛一试八大模块专题训练

全国高中数学联赛一试八大模块专题训练一.函数综合训练1.若两个二元素集合与恰有一个公共元素为正数,则________.21.已知实数a,b,c,d满足,则________.3.设,如果依次成等差数列,则的值为________.4.设,若均有成立,则________.5.已知,则的最大值为________.6.设则方程的解为________.7.设,则有________个不同的解.8.已知方程有3个实根.若,则实数________.9.设满足,则的取值范围是________.10.若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围________.11.设,定义,则________.12.设,且,若,则的值为________.13.用[x]表示不超过实数的最大整数,例如,记,则使得不等式对一切实数都成立的最大常数为________.14.设,欧拉函数表示正整数中与互质的数的个数,例如1,3都与4互质,2,4与4不互质,所以,则________.15.设是正整数,当时,的小数部分的前两位数是________.16.已知是定义在上的奇函数,,且对任意,均有,则________.17.若关于的方程恰有一个实数解,求关于的不等式的解集.18.[x]为不超过的最大整数,求方程的解集.19.设函数满足,求当时,的最大值.20.已知是偶函数,且,若对任意均满足:求的所有可能值.二.三角函数综合训练1.在中,,则________.2.已知均为锐角,且满足,则与的大小关系为________.3.在中,设,则x,y的大小关系为________.4.若,其中为常数,则________.5.实数A,B,C满足,,则________.6.若M,N在Rt的斜边AB上,,则M,N两点分别到两直角边的距离之和与的周长之比的最大可能值是________.7.已知不是直角三角形,若,且,的倒数成等差数列,则________.8.已知函数的最小值为,则实数的取值范围是________.9.当________时,关于的方程的两根的平方和有最大值.10.若实数x,y满足,则的取值范围是________.11.已知,则的最大值为________.12.已知,则的最小值是________.13.设函数.若实数a,b,c使得对任意实数恒成立,则的值为________.14.设的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列,则的取值范围是________.15.给定与,在的条件下,求的最大值.16.求证:17.,求证:18.锐角的外心是,过A,B,D三点的圆分别与边AC,BC相交于点M,N.求证:的外接圆半径等于的外接圆半径.19.设a,b,c为中的三边长,且,求证:三.数列综合训练1.已知数列满足,则数列的通项公式为________.2.甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下,规定谁先掷出正面朝上为赢;前一场的输者,则下一场先掷.若第一场甲先掷,则甲赢得第场的概率为________.3.在数列中,,则________.4.为等差数列的前项和,且,记,其中[x]表示不超过的最大整数,如,则数列的前100项和为________.5.已知数列满足,则________.6.若在等比数列中,,则________.7.已知函数,其中.过点作函数图像的切线,令各切点的横坐标构成数列.则数列的所有项之和的值为________.8已知数列满足,且,则与最接近的自然数为________.9.在等差数列中,,记数列的前项和为,若对任意的恒成立,则正整数的最小值为________.10.的展开式中有连续三项的二项式系数成等差数列,则最大的三位正整数________.11已知集合,对于集合的每一个非空子集的所有元素,计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为________.12.设,用表示所有形如的正整数集合,其中且为集合中的所有元素之和,则的通项公式为________.13.数列的前项组成集合,从集合中任取个数,其所有可能的个数的乘积之和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记,例如当时,;当时,7,试写出________.14.设阶方阵,任取中的一个元素,记为,划去所在的行和列,将剩下的元素按原来的位置关系组成阶方阵,任取中的一个元素,记为,划去所在的行和列,将剩下的元素按原来的位置关系组成阶方阵,,,将最后剩下的一个元素记为,记,则________.15.已知两个无穷数列分别满足和其中,设数列的前项和分别为.若数列满足:存在唯一的正整数,使得,称数列为“坠点数列”.若数列为“坠点数列”,数列为“坠点数列”,,则的最大值为________.16.设数列满足:.求证:数列的每一项都是正整数.17.已知数列满足,且.求的表达式.18.设.求证：(1).(2).19.对于函数,若,则称为的不动点.已知函数,且在其定义域内有唯一的不动点.(1)求的表达式.(2)若数列满足,求.20.称一个复数数列为“有趣的”,若,且对任意正整数,均有.求最大的常数,使得对一切有趣的数列及任意正整数,均有.四.不等式综合训练1.(2009年全国高中数学联赛一试3)在坐标平面上有两个区域和N,M为，是随变化的区域,它由不等式确定,的取值范围是,则和的公共面积是函数________.2.(2015年全国高中数学联赛一试6)在平面直角坐标系xOy中,点集所对应的平面区域的面积为________.3.(2009年全国高中数学联赛)使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为________.4.(2011年全国高中数学联赛)如果,那么的取值范围是________.5.若不等式对任意正实数x,y都成立,则实数的取值范围是________.6.(2005年全国高中数学联赛)使关于的不等式有解的实数的最大值为________.7.已知,且满足,则________.8.函数在时的最大值为________.9.(2009年全国高中数学联赛一试11)函数的最大值为________.10.设,则函数的最小值为________.11.设,则使不等式成立的最大的值为________.12.(2007年全国高中数学联赛)设实数使得不等式对任意实数恒成立,则满足条件的所组成的集合________.13.若不等式恒成立,则a,b满足的条件为________.14.(2009年北京大学自主招生)已知对任意实数,不等式恒成立,则的最大值为________.15.定义区间的长度均为,其中.已知实数,则满足的构成的区间长度之和为________.16.给定实数,解关于的不等式.17.已知,试判断实数a,b的大小关系,并证明之.18.(2017年全国高中数学联赛一试10)设是非负实数,满足1,求的最小值和最大值.19.(第三届中国东南地区数学奥林匹克试题)求最小的实数,使得对满足的任意正实数a,b,c,都有.20.(2013年全国高中数学联赛一试12)求所有的正实数对,使得函数满足:对任意实数x,y,都有.五.向量与复数综合训练1.已知复数满足,若为正实数,则________.2.已知,其中是虚数单位,则________.3.设为虚数单位,和为正整数,且,则________.4.复数满足,且为纯虚数,则________.5.设复数满足,则________.6.设,复数,其中为虚数单位,若,成等比数列,则实数的值是________.7.复数满足,则________.8.设为复数,且.当取得最小值时,复数________.9.设平面向量a,b满足,则的最大值为________.10.在直角中,,点是斜边AB上一点,且,则________.11.已知,点在内,且.设,则________.12.设,点是线段AB上的一个动点,,若,则实数的取值范围是________.13.已知向量,则的最小值为________.14.在平面直角坐标系中,点,点为圆上任意一点,设,则的最小值为________.15.设点在的内部,且,则的面积与的面积的比为________.16.在中,.设是的内心,若,则的值为________.17.I为的内心,且,记R,r分别为的外接圆与内切圆的半径,若,求.18.设为的重心,若,求的最大值.________.19.已知为单位圆外一点,过点引圆的两条切线,切点分别为和,求的最小值.20.已知复数满足,求的最小值.21已知复数和满足,求的最大值.22.设复数,求的值.六.立体几何综合训练1.一个凸36面体中有24个面是三角形,12个面是四边形,则该多面体的对角线的条数是________.(连接不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫作凸多面体的对角线.)2.已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于,则________.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值为________.4.已知一个圆锥和一个圆柱的下底面在同一平面上,且有公共的内切球.记圆锥的体积为,圆柱的体积为,且.则的最小值为________.5.在四面体ABCD内部有一点,满足,则四面体ABCD体积的最大值为________.6.已知点是空间直角坐标系内一定点,过点作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于A,B,C三点,则所有这样的四面体OABC的体积的最小值为________.7.在正方体中,为棱AB上一点,过点在空间作直线,使得与平面ABCD和平面成角,则这样的直线有________条.8.在四面体中,,且,则的取值范围为________.9.已知正三棱锥的底面ABC是正三角形,其外接球的球心满足,则二面角的余弦值为________.10.将边长为2的正沿高AD折成直二面角,则三棱锥的外接球的表面积是________.11.将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的4个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高为________.12.一个四面体的6条棱长均为整数,且它们的和为2011,则这样的四面体的最大棱长与最小棱长之差的最大可能值为________.13.在四面体ABCD中,,则AD与BC所成的角为________.14.在三棱锥中,,则三棱锥的体积为________.15.已知三棱锥的3个侧面及底面的面积分别为5,12,13,15,且侧面的斜高相等,则三棱锥的体积为________.16.若四面体的6条棱长分别为2,3,4,5,6,7,求不同的形状有多少种.(若两个四面体经适当放置后可完全重合,则认为是相同的形状.)17.在四面体中,,且,求异面直线AD与BC所成的角.18.设四棱锥的底面是正方形,且.如果的面积为1,则求能够放人这个棱锥的最大球的半径.19.如图所示,在正方体中,E,F分别为棱AD,AB的中点（1）求证：EF//平面.(2)求证:平面平面.(3)如果,一个动点从点出发在正方体的表面上依次经过棱,上的点,最终又回到点,指出整个路线长度的最小值,并说明理由.20.已知是一个棱长为1的正方体,是底面的中心,是棱上的点,且,求四面体的体积.七.解析几何综合训练1.在平面直角坐标系中,若方程裛示的曲线为椭圆,则的取值范围是________.2.设椭圆的两个焦点是,过点的直线与交于点P,Q,若,且的面积与的面积之比为,则椭圆的离心率为________.3.设是椭圆的两个焦点,是椭圆上的点,且,则的面积等于________.4.给定椭圆,如果存在过左焦点的直线交椭圆于P,Q两点,且OQ,则离心率的取值范围是________.5.一边的两顶点坐标为和,另两边斜率的乘积为,若点的坐标为,则|AT|的最小值为________.6.已知点既在椭圆内部(含边界),又在圆外部(含边界).若,则的最小值为________.7.双曲线的右半支与直线围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是________.8.设分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线上的动点,过点作平分线的垂线,垂足为,则垂足的轨迹方程为________.9.已知双曲线,左、右焦点分别为,过点作一直线与双曲线的右半支交于P,Q两点,使得,则的内切圆的半径________.10.直线与抛物线交于A,B两点,为抛物线上的一点,,则点的坐标为________.11.设为拋物线的顶点,为焦点,且PQ为过的弦.已知,则的面积为________.12.在平面直角坐标系xOy中,点AB在抛物线上,满足是抛物线的焦点,则________.13.长为的线段AB的两端点在拋物线上滑动,则线段AB的中点到轴的最短距离为________.14.抛物线的焦点为,准线为l,A,B是拋物线上的两个动点,且满足,设线段AB的中点在上的投影为,则的最大值为________.15.已知抛物线及定点是抛物线上的点,设直线AM,BM与拋物线的另一个交点分别为,当变动时,直线恒过一个定点,则此定点坐标为________.16.已知椭圆的内接的边AB,AC分别过左、右焦点,椭圆的左、右顶点分别为D,E,直线DB与直线CE交于点,当点在椭圆上变动时,试求点的轨迹.17已知抛物线上的两个动点,其中且4.线段AB的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.18.在平面坐标系xOy中,分别为椭圆的左、右焦点,设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同的点A,B,焦点到直线的距离为,如果的斜率依次成等差数列,求的取值范围.19.设曲线(为正常数)与在轴上方有一个公共点.(1)求实数的取值范围(用表示).(2)为原点,若与轴的负半轴交于点,当时,试求面积的最大值(用表示).20.作斜率为的直线与椭圆交于A,B两点,如图7.18所示,且在直线的左上方.(1)证明:的内切圆的圆心在一条定直线上.（2）若,求的面积.21.椭圆的离心率,短轴的两个端点分别为,焦点为,四边形的内切圆半径为.(1)求椭圆的方程.(2)过左焦点的直线交椭圆于M,N两点,交直线于点,设,,试证为定值,并求出此定值.八.排列组合综合训练1.在的展开式中,的系数是________.2.在的展开式中,的幂指数是整数的各项系数之和,则其为________.3.观察下列等式:,,,,.由以上等式推测出一般的结论:对于________.4.将90000个五位数打印在卡片上,每张卡片上打印一个五位数,有些卡片上所打印的数(如19806倒过来看是90861)有两种不同的读法,会引起混淆.则不会引起混淆的卡片共有________张.5.红、蓝、绿、白四个骰子,每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.同时掷这四个骰子使得四个骰子朝上的数的乘积等于36,则共有________种可能.6.将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0),则产生的不同8位数的个数为________.7.将16本相同的书全部分给四个班级,每个班级至少有一本书,且各班所得书的数量互不相同.则不同的分配方法种数为________(用数字作答).8.学校5月1号至5月3号拟安排六位领导值班,要求每人值班1天,每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2号,乙不能值3号,则不同的安排值班的方法共有________种.9.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为________(用数字作答).10.如图8.3所示,有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间.则他们在不相邻(没有公共边)房间的概率为________(用分数表示).11.在的