第12讲实数（5种题型）（原卷版）

第12讲实数（5种题型）【知识梳理】一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点的关系我们尝试用数轴上的一个点来表示．由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．这样，就在数轴上确定一个点来表示．要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。3.两个实数比较大小①负数小于0,0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。②数轴上，如果点A,点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离4.估算：怎样估算无理数(①误差小于1)？(②误差小于0.1)？误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值之间的差的绝对值小于0.1.估算无理数的方法是： （1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。记忆常用数的近似值：≈1.414≈1.732≈2.236【考点剖析】题型一．实数例1、指出下列各数中的有理数和无理数：【变式1】（2022•乐清市开学）给出四个实数，3.14，0，，其中无理数是（）A． B．3.14 C．0 D．【变式2】在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（）A．②③ B．②③④ C．①②④ D．②④【变式3】把下列各数分别填入相应的集合内：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）…有理数集合…无理数集合【变式4】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示，并说明理由.

(1)无理数都是开方开不尽的数.()

(2)无理数都是无限小数.()

(3)无限小数都是无理数.()

(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.()

(5)不带根号的数都是有理数.()

(6)带根号的数都是无理数.()

(7)有理数都是有限小数.()

(8)实数包括有限小数和无限小数.()

题型二．实数的性质例2．若有一个实数为，则它的相反数为（）A． B． C． D．【变式1】．的相反数是．【变式2】在电视台一档互动节目中，主持人问这样一道题目：“a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的实数，d是倒数是它本身的数，”请问：a﹣b+c+d＝．【变式3】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，且m＜0；（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．题型三、实数与数轴例3．如图，顺次连结4×4方格四条边的中点，得到一个正方形ABCD．设每一个小方格的边长为1个单位．（1）正方形ABCD的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由．（2）如果把正方形ABCD放到数轴上，使得边AB与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长．请写出点B在数轴上所表示的数．【变式1】如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（）A． B． C． D．【变式2】如图，实数﹣1在数轴上的对应点可能是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【变式3】定义：有A、B两只电子跳蚤在同一条数轴上跳动，它们在数轴上对应的实数分别为a、b．若实数a、b满足b＝3a+2时，则称A、B处于“和谐位置”，A、B之间的距离为“和谐距离”．（1）当A在原点位置，且A、B处于“和谐位置”时，“和谐距离”为．（2）当A、B之间的“和谐距离”为2022时，求a、b的值．【变式4】设a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，c，d互为倒数，e的绝对值为3，请求出下列代数式的值：5a+5b﹣+e．【变式5】数轴是一个非常重要的数学工具，它使实数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．【阅读理解】|3﹣1|表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣1|可以理解为x与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离．（1）【尝试应用】①数轴上表示﹣4和2的两点之间的距离是（写出最后结果）；②若|x﹣（﹣2）|＝3，则x＝；（2）【动手探究】小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示2的点与表示﹣4的点重合．①则表示10的点与表示的点重合；②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2022，且A，B两点经过折叠后重合，则A表示的数是，B表示的数是；③若点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后刚好重合，那么a与b之间的数量关系是；（3）【拓展延伸】①当x＝时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|有最小值，最小值是；②|x+1|﹣|x﹣4|有最大值，最大值是5，|x+1|﹣|x﹣4|有最小值，最小值是．题型四、实数大小比较例4.实数a在数轴上的位置如图所示，则，1，0的大小顺序是（）A． B． C． D．0＜1且1和的大小无法确定【变式1】若|x﹣y|﹣|x﹣z|＝|y﹣z|，则实数x、y、z之间的大小关系可能为（）A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y【变式2】请用符号“＜”将下面实数﹣32，，﹣3连接起来．【变式3】已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且|a|＝|b|；（1）根据数轴判断：a+b0，c﹣b0．（填＞，＜，＝）（2）|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．题型五、估算无理数的大小例5.如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在（）A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上【变式1】绝对值小于的整数有个．【变式3】如果一个正方形ABCD的面积为69．（1）求正方形ABCD的边长a．（2）正方形ABCD的边长满足m＜a＜n，m，n表示两个连续的正整数，求m，n的值．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2022秋•嘉兴期末）在实数3.14，，，中，属于无理数的是（）A．3.14 B． C． D．2．（2022秋•鄞州区期末）若整数a满足，则整数a是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2022秋•西湖区校级期中）下列结论正确的是（）A．5的绝对值是﹣5 B．任何实数都有倒数 C．任何实数都有相反数 D．﹣2的倒数是4．（2022秋•新昌县期末）若实数a，b，c，d满足，则a，b，c，d这四个实数中最大的是（）A．a B．b C．c D．d5．（2022秋•金华期末）若正数x满足x2＝18，则下列整数中与x最接近的是（）A．2 B．3 C．4 D．56．（2022秋•南浔区期末）估算的值大概在（）A．﹣1到0之间 B．0到1之间 C．1到2之间 D．2到3之间7．（2021秋•南浔区期末）下列关于的说法中，正确的是（）A．是有理数 B．是2的算术平方根 C．不是实数 D．不是无理数8．（2021秋•温州期中）若有一个实数为，则它的相反数为（）A． B． C． D．9．（2022秋•拱墅区期末）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（）A． B． C． D．10．（2020秋•鄞州区期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2二．填空题（共8小题）11．（2022秋•慈溪市期末）比较大小：1．（填“＞”，“＝”或“＜”）12．（2022秋•义乌市校级期中）比较大小：2.5（填“＞”、“＜”或“＝”）．13．（2022秋•嘉兴期末）如图，已知数轴上A、B两点分别对应实数﹣1和，则A、B两点间的距离为．14．（2022秋•杭州期中）＝，1﹣π的相反数是．15．（2023春•宣恩县校级期中）比较大小：﹣π﹣3.14（选填“＞”、“＝”、“＜”）．16．（2020秋•舟山期中）请写出一个大于﹣4而小于﹣3的无理数．17．（2022秋•越城区期中）设n为正整数，且，则n的值为．18．（2022秋•海曙区校级期中）已知7+的整数部分是m，的小数部分是n，则m+n＝．三．解答题（共5小题）19．（2022秋•滨江区校级期中）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接；π，4，﹣1.5，0，﹣（不要求精确表示）20．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，（1）求m的值．（2）求|m﹣3|+m+2的值．21．（2022秋•丽水期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：①﹣3.14，②2π，③﹣，④0.618，⑤﹣，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）．整数集合：{……}；分数集合：{……}；无理数集合：{……}．22．（2022秋•镇海区校级期中）已知4的算术平方根是2a﹣1，3a+b﹣1的平方根是±3，c是的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求a+b﹣2c的平方根．23．（2023春•鹤峰县期中）