专题12几何图形初步相交线与平行线-2023年中考数学一轮复习（原卷版）

专题12几何图形初步相交线与平行线几何图形初步、相交线与平行线是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题的形式出现，主要考查基本概念、基本应用以及基本的数学思想方法．1.线段与角这两种最简单的几何图形的相关概念、画法及大小比较．重点的是尺规作图及线段与角的和、差、倍的相关计算．等知识点直接考查．2．掌握相交线的性质、对顶角和垂直的有关特性；平行线的判定与性质的综合考查.角角的度量互余：互补：线段的大小比较1、度量法——用刻度尺度量2、叠合法线段的中点线段的和、差、倍画一条线段等于已知线段线段a、b角的大小比较1、度量法——用量角器度量2、叠合法角的平分线角的和、差、倍画一个角等于已知角线段、1、度量方法2、尺规作图1、度量方法2、尺规作图

同一平面内的两条不同直线同一平面内的两条不同直线相交直线邻补角对顶角平行直线平行线的基本性质判定方法和性质斜交垂直点到直线的距离垂直的基本性质线段的垂直平分线两条直线被第三条直线所截同位角、内错角、同旁内角平行线间的距离一、几何图形初步1.直线、射线、线段关于直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．相交、交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。直线、射线、线段的表示方法①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB．②射线：直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l，或用两个大些字母表示，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．③线段：直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，点M叫做线段AB的中点。三等分点、四等分点……关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离．（平面上任意两点间的距离指的是连接这两点的线段的长度，强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离）2.角角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．3.角的比较与运算比较角的大小：量角器量或叠合角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．度量法、折叠法、尺规作图法等。三等分线4.余角和补角余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中每一个角是另一个角的余角．同角（等角）的余角相等．补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．同角（等角）的补角相等．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．一、单选题1．下列关于直线的表示方法，正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④2．下列说法正确的个数是（

）①连接两点之间的线段叫两点间的距离；②线段AB和线段BA表示同一条线段；③木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，线段最短；④若，则点C是AB的中点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．若，，，则（

）A． B． C． D．4．如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则MN的长为（

）A．12cm B．11cm C．13cm D．10cm5．下列关于余角、补角的说法，正确的是（

）A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互补C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余D．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补6．若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°二、填空题7．如图，计划把河水引到水池A中，先作，垂足为B，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．8．已知在同一个平面内，一个角的度数是70°，另一个角的两边分别与它的两边垂直，则另一个角的度数是___________．9．平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为_____个．10．如图，平分，平分，，，则的度数为___°．三、解答题11．如图，已知，按下列要求画图．（1）在的内部画射线；（2）画，使在的内部；（3）在完成（1）、（2）后，图中共______个角，并写角的名称．12．（1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规，连接，在线段上求作线段，使；（2）如图2，点是的中点，、分别是线段、上的点，且，．若，求线段的长．13．如图，直线、相交于点，将一个直角三角尺的直角顶点放置在点处，且平分．(1)若，求的度数；(2)试说明平分．相交线与平行线相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角112∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即∠3+∠4=180°要点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2.垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O.要点：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.要点：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.平行线1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.一、单选题1．下列图中∠1和∠2是同位角的是(

)A．（1）、（2）、（3） B．（2）、（3）、（4）C．（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（5）2．下列说法中不正确的个数为（）．①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．②有且只有一条直线垂直于已知直线．③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图,下列说法正确的是（

）A．∠1和∠4不是同位角 B．∠2和∠4是同位角C．∠2和∠4是内错角 D．∠3和∠4是同旁内角4．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝36°，那么∠2＝（）A．54° B．56° C．44° D．46°5．如图，直线，被直线，所截，，，，则的大小是（

）A． B． C． D．6．如图，把一长方形纸片沿折叠后，，点A､B分别落在､的位置，与相交于点F，已知，则的度数是（

）A．55° B．60° C．70° D．75°二、填空题7．如图，与构成内错角的角是______；8．己知为平面内三条不同直线，若则与的位置关系是_________9．如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，第步：画直线，将三角尺的一边紧靠直线，将直尺紧靠三角尺的另一边：第步：将三角尺沿直尺下移：第步：沿三角尺原先紧靠直线的那一边画直线．这样就得到．这种画平行线的依据是________．10．将一块三角板按如图所示位置放置，，则的度数为_____°．一、单选题1．（2021·上海宝山·统考一模）如果是线段延长线上一点，且，那么等于（

）．A． B． C． D．2．（2021·上海宝山·统考一模）已知点是线段的中点，那么下列结论中，正确的是（

）．A． B．C． D．3．（2020·上海徐汇·统考二模）如果从货船A测得小岛B在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛B看货船A的位置，此时货船A在小岛B的（

）A．南偏西30°方向500米处 B．南偏西60°方向500米处C．南偏西30°方向米处 D．南偏西60°方向米处4．（2017·上海徐汇·统考二模）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠C＝36°，那么∠ABE的大小是（）A．18° B．24° C．36° D．54°．5．（2018·上海·校联考模拟预测）下列说法错误的是()A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等B．在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短6．（2011·上海普陀·统考中考模拟）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（）A．32° B．58°C．68° D．60°7．（2022·上海徐汇·统考二模）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA于点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（

）A．62° B．56° C．52° D．46°8．（2020·上海浦东新·统考三模）已知长方体ABCDEFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（）A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF．9．（2021·上海·上海市实验学校校考二模）如图，在长方体ABCDEFGH中，与棱AD平行的平面共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（2022·上海·校考模拟预测）已知点D、E分别在的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么BC的长是（

）A．8 B．10 C．6 D．411．（2018·上海·校联考模拟预测）如图，在下列的条件中，能判定DE∥AC的是（

）A． B． C． D．12．（2017·上海普陀·校联考中考模拟）如图，已知直线，点、分别在AB、上，::，如果，那么＝（

）A．； B．； C．； D．．二、填空题13．（2022·上海·一模）已知与互余，且，则____________．14．（2022·上海·二模）如图，，则射线表示是南偏东__________的方向．15．（2021·上海浦东新·统考模拟预测）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线分别为AD和BE，则AD和BE所夹的角为____度．16．（2019·上海·中考模拟）已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于_____．17．（2022·上海黄浦·统考二模）如图，已知ABDE，如果∠ABC＝70°，∠CDE＝147°，那么∠BCD＝_______°．18．（2022·上海宝山·统考二模）如图，点、、在同一直线上，CEAB，，如果，那么______．19．（2020·上海崇明·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，如果∠1＝145°，那么∠2的度数是____．20．（2021·上海普陀·统考二模）如图，两条平行线l1、l2分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C．如果∠1＝20°，那么∠2＝_____．补充：一、概念1、长方体的元素：六个面、八个顶点、十二条棱2、长方体的三元素的特点：（主要是外观特征和数量关系）①长方体的每个面都是长方形；②长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等。③长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面形状大小都相同。3、正方体是特殊的长方体。4、平面是平的，无边无沿，没有厚度和大小，一般用平行四边形来表示。记作：平面ABCD或平面α。5、将水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线成45度角的平行四边形。6、斜二侧画法画长方体时要注意：宽画成标注尺寸的一半；看不到的线画成虚线；要标字母和尺寸，要写结论。长方体ABCDEFGH、平面ABCD、棱AB、顶点A。7、空间中两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面①如果两条直线在同一平面内，有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是相交；②如果两条直线在同一平面内，没有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是平行；③如果两条直线既不平行也不相交，称这两条直线的位置关系是异面。8、直线垂直于平面记作：PQ⊥平面ABCD；直线直线平行于平面记作：直线PQ‖平面ABCD。9、计算公式之一：（三条棱长分别是a、b、c的长方体）①棱长和=4(a+b+c)；②体积=abc；③表面积=2(ab+bc+ac)；④无盖表面积=Sab、Sbc、Sbc10、计算公式之二：（边长是a正方体）①棱长和=12a；②体积=a3；③表面积=6a；④无盖表面积=5a2。11、长方体不一定是正方体；正方体一定是长方体。12、长方体中棱与棱的位置关系有3种，分别是平行、相交、异面。13、长方体中棱与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。14、长方体中面与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。二、检验垂直或平行的方法：检验垂直或平行的方法：1、检验直线与平面垂直的方法：①铅垂线法：将铅垂线靠近被测直线，如果铅垂线能够紧贴被测直线，说明直线垂直于水平面。（可用于检验细棒是否垂直于水平面、黑板的边沿是否垂直于水平面）②三角尺法：将两把三角尺的一条直角边分别紧贴已知平面并且位置交叉，将两把三角尺的另一条直角边分别靠近被测细棒，如果两条直角边都能够紧贴被测直线，说明直线垂直于已知