第二十一章一元二次方程考点大梳理

第二十一章一元二次方程考点大梳理考点1一元二次方程的相关概念一元二次方程的定义；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。注意三要素：整式、一个未知数、最高次2次。一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．【详解】解：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．下列等式是一元二次方程的是（

）A．（为常数） B．C． D．【答案】C【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，其基本形式为．根据一元二次方程的定义逐项分析判定即可．【详解】解：A.（为常数），若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意；B.可整理得，不是一元二次方程，故不符合题意；C.，是一元二次方程，符合题意；D.，不是整数方程，故不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．若方程是一元二次方程，则m的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．【详解】解：根据题意，得且，解得．故选：B【点睛】本题考查一元二次方程的定义．掌握相关定义即可．一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为（

）A．1，8，4 B． C．5，8，4 D．【答案】B【分析】方程经过展开、移项、整理可得一般形式，接下来就可得到二次项系数、一次项系数和常数项．【详解】解：将左边展开得：，移项、合并同类项得：，∴二次项系数，一次项系数，常数项分别为，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式（a、b、c为常数，），其特征是等式左边是含一个未知数的二次三项式，右边是0，其中叫做二次项，a叫做二次项系数，叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项．若a是方程的一个根，则的值为（

）A．2021 B． C．2019 D．【答案】A【分析】先把a代入方程，变形得，再把代数式变形求解即可．【详解】解：∵a是方程的一个根，∴，∴，∴故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根和求代数式的值，把根代入方程和对代数式变形是解题的关键．已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（

）A．1 B． C．0 D．【答案】A【分析】由于关于的一元二次方程有一个非零根，那么代入方程中即可得到，再将方程两边同时除以即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个非零根，∴，∵，∴，方程两边同时除以，得，∴．故选A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有一根为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由得到，设，得到，所以，即可得到进而得到答案．【详解】解：由得到，对于一元二次方程，设，，而关于的一元二次方程有一根为，有一个根为，则，，故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解答本题的关键．关于的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】将代入方程得，两边同时除以得：，即，所以一定有实数根．【详解】解：∵是一元二次方程一个实数根，∴，两边同时除以得：，即：，∴一定有实数根．故选：D【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程根的定义，得到．若方程是关于的一元二次方程，那么的值为．【答案】或0【分析】方程整理后根据一元二次方程的定义可知有两种情况：①，②，分别求解即可．【详解】解：方程整理得，∵它是关于的一元二次方程，∴有以下两种情况：①，即，∴；②，即，综上，的值为或0，故答案为：或0．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确分类讨论是解题的关键．关于x的方程是一元二次方程，则k的值为．【答案】3【分析】由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．【详解】解：∵方程是一元二次方程，∴，解得：．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程是一元二次方程．将一元二次方程化成一般式：．【答案】【分析】根据整式运算法则和移项的性质进行解答即可．【详解】解：去括号得：，移项得：，合并得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握去括号法则、合并同类项法则和移项的法则．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为．【答案】2020【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，然后整体代入所求式子解答即可．【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，∴，即，∴；故答案为：2020．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键．已知关于x的方程的解是，，则关于x的方程的解是．【答案】或【分析】把后面方程中的看作整体，相当于前面方程中的，据此求解即可．【详解】解：关于x的方程的解是，，方程可变形为，此方程中或，解得：或．故答案为：或．【点睛】本题考查了解一元二次方程及方程的解的定义，由两个方程的结构特点进行简便计算是解题关键．已知关于的一元二次方程的一个实数根是1，那么．【答案】0【分析】由题意，将代入得，，计算求解即可．【详解】解：由题意，将代入得，，解得；故答案为：0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为．【答案】4【分析】把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：把代入方程得，，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是；（2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是；（3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是；（4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．若是方程的一个根，求代数式的值．【答案】【分析】将a代入方程再将方程变换，代入所求代数式即可求解；【详解】解：∵是方程的一个根，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将方程正确进行变换是解题的关键．考点2一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法：如果，则（2）配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3）公式法：一元二次方程的求根公式是；（4）因式分解法：如果则。一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。用直接开平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解；（2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解；【详解】（1）解：，，，，．（2）解：，，，，．【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键．用配方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)原方程无实数根(2)，【分析】（1）将常数项移到方程右边，左边化的形式，方程右边小于0，故无解；（2）将方程化为，开平方求解；【详解】（1）原方程为，则，∴，∴原方程无实数根；（2）原方程为，∴，∴，∴，∴，即，．【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程；根据等式性质，将方程化为是解题的关键．用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)(3)，(4)，(5)，(6)，【分析】（1）利用配方法即可求解．（2）利用配方法即可求解．（3）利用配方法即可求解．（4）利用配方法即可求解．（5）利用配方法即可求解．（6）利用配方法即可求解．【详解】（1）解：原方程变形为：，原方程配方得：，即：，开方得：，解得：，．（2）原方程配方得：，开方得：，解得：．（3）原方程变形为：，配方得：，即：，开方得：，解得：，．（4）原方程变形为：，配方得：，即：，开方得：，解得：，．（5）原方程变形为：，配方得：，即：，开方得：，解得：，．（6）原方程变形为：，配方得：，即：，开方得：，解得：，．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)，(3)原方程没有实数根(4)【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算判别式的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；（2）先化为一般形式，然后根据公式法，即可求解；（3）根据一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算判别式的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；（4）先化为一般形式，然后根据公式法，即可求解；【详解】（1）∴，∴解得：（2）即，，解得：，（3）∴，∴原方程没有实数根；（4）即∴，∴∴【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定的值．用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)．【答案】(1)，(2)，(3)(4)，(5)，(6)原方程无实数根(7)(8)，(9)原方程无实数根【分析】利用一元二次方程的解法中的公式法进行求解即可．【详解】（1），（2），（3）（4），（5），（6）原方程无实数根（7）（8），（9）原方程无实数根【点睛】本题考查一元二次方程的解法，通常先化为一般形式，明确各项系数，再计算根的判别式的值，根据值的符号进行求解．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可；（2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可；（3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：因式分解，得．于是，，解得，；（2）移项，得，因式分解，得，于是，，解得，；（3）因式分解，得，于是，，解得，．【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法．用因式分解法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程；（2）先把方程的右边运用平方差公式因式分解，再提公因式，进而解出方程；（3）先移项，再利用平方差公式把方程的左边变形，进而解出方程．【详解】（1）解：则，，，；（2），则，，，，；（3），则，，，，．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．解下列方程：（1）x24x＋3＝0；（2）x22x3＝0；（3）10x2x3＝0；（4）(x＋6)(x7)＝14【答案】（1）；（2）；(3);(4)【详解】试题分析：把方程整理成一般形式，用十字相乘法分解因式即可．试题解析：解：（1）（x3）（x1）=0，∴，；（2）（x+1）（x3）=0，∴，；（3）（2x+1）（5x3）=0，∴，；（4），∴（x+7）（x8）=0，∴，．点睛：此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解答本题的关键．选择合适的方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【分析】（1）先移项，再用直接开平方法求解即可；（2）先化系数为1，再直接开平方求解即可；（3）两边直接开平方，即可求解；（4）两边直接开平方，即可求解；（5）用配方法，两边同时加上1，即可求解；（6）先将方程化为一般式，再用公式法求解即可；（7）根据平方差公式，用因式分解法求解即可；（8）用十字相乘法将方程左边因式分解，即可求解；（9）用公式法求解即可；（10）先将方程化为一般式，再用配方法求解即可；（11）先将方程化为一般式，再用十字相乘法将方程左边因式分解，即可求解；（12）根据平方差公式，用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：，，；（2）解：，，；（3）解：，，；（4）解：，，或，解得：；（5）解：，，，，；（6）解：，，，，∴，解得：；（7）解：，，，或，解得：；（8）解：，，或，解得：；（9）解：，，，∴，解得：（10）解：，，，；（11）解：，，，，或，解得：；（12）解：，，，，或，解得：．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法，公式法，因式分解法．考点3判别式及根与系数的关系判别式：在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．设一元二次方程为，其根的判别式为：则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程有两个根，，那么，关于的一元二次方程的根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定根的情况【答案】A【分析】根据题意得到，，，再计算，即可判断方程根的情况．【详解】解：根据题意得：，，，，关于的一元二次方程的根的情况为有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是(

)A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根据一元二次方程有实数根可知道判别式大于等于零，解不等式及可求解；【详解】解：∵一元二次方程有实数根，∴且，∴且．故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．关于的方程有实数根，则的取值范围是（）A．且 B．且 C． D．【答案】D【分析】分两种情况讨论：①，为一元一次方程；②，为一元二次方程，根据根的判别式计算即可．【详解】解：①当时，此时方程为，有实数根；②当时，此时方程为为一元二次方程，∵方程有实数根∴，解得：综上所述：故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分两种情况讨论是解题的关键．方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根【答案】A【分析】根据根的判别式进行判断即可．【详解】解：∵方程中，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故A正确．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．已知，是方程的两个实数根，则的值是（

）A．2021 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】根据，是方程的两个实数根，得出，，变形，然后整体代入求出结果即可．【详解】解：∵，是方程的两个实数根，∴，，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．若关于的方程有两实根，那么的取值范围是．【答案】且【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义进行求解即可．【详解】解：∵关于的方程有两实根，∴方程是一元二次方程，∴且，∴且，故答案为：且．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和判别式的意义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．已知，且，则的值为．【答案】【分析】可得出与为方程的两根，利用根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论．【详解】解：根据题意得：与为方程的两根，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系，求代数式的值，解题的关键是掌握根与系数之间的关系．已知，是方程的两个根，则的值为．【答案】【分析】根据“，是方程的两个根”，结合“一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，”，得出“，”，将原式变形为，代入计算即可．【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，，原式．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将原式变形、运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．若，是方程的两个实数根，则的值为．【答案】2020【分析】先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得，，所以，故答案为：2020．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用整体代入法是本题的关键．已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，该方程总有实数根；(2)已知是方程的一个根，求的值．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得，由此可证明无论取何值，该方程总有实数根；（2）把代入方程即可求出．【详解】（1）证明：由题意得：，∴无论取何值，该方程总有实数根；（2）解：把代入方程，得：，解得：，∴的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程没有实数根，也考查了一元二次方程的根的定义以及一元一次方程的解法．已知关于x的方程．(1)试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根为3，求的值．【答案】(1)详见解析(2)2039，详见解析【分析】（1）计算出即可得出答案；（2）由方程的解的概念得出，代入到计算即可．【详解】（1）∵，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程有一个根为3，∴，整理，得：，∴．【点睛】本题主要考查根的判别式和方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系分别求得两根之和和两根之积：①，②；先通分，然后将①②代入求值；（2）利用整式的乘法展开，再整理代入①②即可；（3）把原式变为，代入①②即可．【详解】（1）解：、是方程的两个实数根，，；原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．已知a，b是方程的两个不相等的实根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)13(2)(3)【分析】（1）由根与系数的关系得出，整体代入计算可得；（2）根据，，代入即可得出答案；（3）由a是方程的一个根得到，将原式整理成，再将、的值整体代入计算可得．【详解】（1）解：∵a、b是方程的两个不相等的实根，∴，则；（2）解：由（1）得，∴；（3）解：由（1）得，∵a是方程的根，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握是一元二次方程的两根时，，．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．(1)求的取值范围；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）根据根与系数的关系得到，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，∴，∴，∴；（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，，∴，∵，∴，∴，解得或（舍去）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则；若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．已知关于x的一元二次方程(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若是上述方程的两个实数根，且满足，请求出k的值及相应的实数根．【答案】(1)见解析(2)当时，或，当时，或【分析】（1）计算其判别式，判断其为正数，即可证得结论；（2）由根与系数的关系可求得和的值，代入已知等式可得到关于k的方程，可求得k的值，再代入方程求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵是上述方程的两个实数根，∴，∵，∴，即，解得或，当时，方程为，解得或，当时，方程为，解得或．【点睛】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，利用根与系数的关系表示出两根积与两根和是解题的关键．已知：关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根均为整数，且k为正整数，求k的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）求出，由即可得到结论；（2）利用公式法求出，根据方程两个根均为整数，且k为正整数，即可得到答案．【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，，∵，∴，∴一元二次方程总有两个实数根；（2），∵，∴，，∵方程两个根均为整数，且k为正整数，∴．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和解法，求出是解题的关键．已知关于的一元二次方程：．(1)求证：方程总有两个实根；(2)若是整数，方程的根也是整数，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）计算，即可得出结论；（2）公式法解一元二次方程，得出，根据题意，即可求解．【详解】（1）解：依题意，，方程总有两个实根．（2），，均为整数，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．考点4一元二次方程的实际应用（一）握手、比赛问题首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？【答案】参加第一轮比赛的共有15名选手【分析】设参加第一轮比赛的共有名选手，根据“每位棋手与棋手比赛一盘制，第一轮比赛共下了105场”，列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设参加第一轮比赛的共有名选手，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），参加第一轮比赛的共有15名选手．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，全班有多少名学生？【答案】全班有名同学【分析】设全班有x名学生，根据全班共送了张相片得：，解方程可得答案．【详解】解：设此班有x名同学，则，解得:，(舍去)，答：此班有名同学．【点睛】本题一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．参加研讨会的教师每两人握一次手，共握手36次，这次参加研讨会的教师共有多少名？【答案】9人【分析】设参加研讨会的教师有x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x−1）次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有x（x−1）次，设出未知数列方程解答即可．【详解】设参加研讨会的教师有x人，根据题意列方程得，x（x−1）＝36，解得x1＝9，x2＝−8（不合题意，舍去）；答：参加研讨会的教师有9人．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，理解：设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x−1）次是关键．某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．（本题第一问要求列方程作答）（1）应该邀请多少支球队参加比赛？（2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后的比赛，问实际共比赛多少场？【答案】（1）6；（2）13【分析】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为场，与总场数为15场建立方程求出其解即可；（2）用3加上余下的5支球队比赛的总场数即可．【详解】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，依题意得：，解得：或（不合题意，舍去）．答：应邀请6支球队参加比赛；（2）由题可得：（场）．答：实际共比赛13场．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时以单循环形式比赛规则的总场数作为等量关系建立方程是解题的关键．（二）传播问题某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?（2）若病毒得不到有效控制，______轮感染后机房内所有电脑都被感染．【答案】（1）3台；（2）四【分析】（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论．【详解】解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，依题意得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑．（2）经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台，经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台，，四轮感染后机房内所有电脑都被感染．故答案为：四．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？【答案】9【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是91，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据题意，可得，整理得，解得，（不合题意，舍去），答：这种植物每个支干长出的小分支个数是9．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病．(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，天后生猪发病头数会超过头吗？【答案】(1)每头发病生猪平均每天传染头生猪(2)若疫情得不到有效控制，天后生猪发病头数会超过头【分析】（1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，根据“第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据天后生猪发病头数=天后生猪发病头数，即可求出天后生猪发病头数，再将其与进行比较即可得出结论．【详解】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪，依题意，得，解得：，（不合题意，舍去）．答：每头发病生猪平均每天传染7头生猪．（2）（头），．答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染．（1）每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过1300人？【答案】（1）每轮感染中平均一个人会感染10个人；（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过1300人．【分析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据“如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每轮感染中平均一个人感染的人数；（2）利用经过三轮感染后被感染的人数＝经过两轮感染后被感染的人数×（1＋每轮感染中平均一个人感染的人数），即可求出经过三轮感染后被感染的人数，再将其与1300比较后可得出：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过1300人．【详解】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意得：1+x+x（1+x）＝121，整理得：（x+1）2＝121，解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染10个人．（2）121×（1+10）＝1331（人），∴1331＞1300，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过1300人．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（三）面积问题某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆），求这个茶园的宽．【答案】20m【分析】设这个茶园的宽为xm，则另一边的长度为m，根据茶园的面积为列出方程并解答即可．【详解】解：设这个茶园的宽为xm，则另一边的长度为m，根据题意，得，整理，得，解得，当时，，不符合题意舍去；当时，，符合题意．答：这个茶园的宽为20m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃一边的长为x米，面积为y平方米．

(1)求y与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，的长是多少？【答案】(1)(2)7米【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出的长为米，利用矩形的面积计算公式，可用含的代数式表示，再结合边的长大于0且长度不超过米，即可得出的取值范围；（2）根据围成花圃的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】（1）解：的长为米，且篱笆的总长度为米，的长为米．花圃的面积，∵墙的长度为，∴，，∴；（2）解：依题意得：，整理得：，解得：（不符合题意，舍去），．答：的长是米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．饲养场准备利用现成的一堵“”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点在线段上．

(1)设的长为米，则______米；（用含的代数式表示）(2)若围成的饲养场的面积为平方米，求饲养场的宽的长；(3)所围成的饲养场的面积能否为平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由．【答案】(1)(2)11米(3)不能达到，理由见解析【分析】（1）据各边之间的关系，即可用含的代数式表示出的长；（2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合不超过米，即可得出饲养场的宽的长为米；（3）不能达到，设的长为米，则米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能达到．【详解】（1）设的长为米，则（米）．故答案为：．（2）依题意得：，整理得：，解得：，．当时，，不合题意，舍去；当时，，符合题意．答：饲养场的宽的长为米．（3）不能达到，理由如下：设的长为米，则米，依题意得：，整理得：，，该方程没有实数根．不能达到．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料），设栅栏的长为x米，解答下列问题：

(1)________米．（用含x的代数式表示）(2)若围成的自行车棚的面积为平方米，求栅栏的长．(3)围成的自行车棚的面积能为平方米吗？请说明理由．【答案】(1)(2)栅栏的长为14米(3)自行车棚的面积不能为平方米，理由见解析【分析】（1）根据题意，可知且有，整理即可得出用含的代数式表示矩形的长的式子；（2）根据矩形场地面积为平方米列出方程，解出此时的值然后求出栅栏的长即可；（3）根据矩形场地面积为平方米列出方程，再根据一元二次方程的根的判别式即可得出答案．【详解】（1）解：依题意得：，，米，故答案为：；（2）解：根据图形，可列方程：，解得：，，当时，，不合题意，舍去，当时，，符合题意，栅栏的长为14米；（3）解：不能，理由如下：依题意得：，整理得：，，方程没有实数根，自行车棚的面积不能为平方米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．自我县开展文明城市创建工作以来，全县人民凝聚力量，众志成城全力打造精神文明高地，掀起了一场又一场“美丽风暴”“整治风暴”“文明风暴”．某小区原有一块宽为30m的长方形荒地，物业部门计划将其分为，，三部分，分别种植不同的花卉，美化人居环境．若，地块为正方形，地块的面积比地块的面积少，试求该长方形荒地的长．

【答案】长方形荒地的长为【分析】设地块的边长为，则长方形荒地的长为，根据“地块的面积比地块的面积少”，列出方程求解即可．【详解】解：设地块的边长为，则长方形荒地的长为，根据题意，得．解得，，因为不符合题意，舍去，所以取，此时．答：长方形荒地的长为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理清题意列出方程是解题的关键．如图，矩形草地中，m，m，点为边中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（，），若草地总面积（两部分阴影之和）为，求甬路的宽．【答案】2m【分析】设甬路的宽为m，先得出，即，再据题意列一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：设甬路的宽为m，∵矩形中，，，∴四边形是正方形，∵点为边中点，m，∴，∴，即，即据题意列方程，得：．整理，得．解得

，（不合题意，舍去）．答：甬路的宽为2m．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是得出以及找到等量关系．改善小区环境，争创文明家园．如图，某社区决定在一块长，宽的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使每一块草坪部分的面积都为，则小路的宽应为多少？

【答案】小路的宽应为【分析】设小路的宽为x米，那么草坪的总长度和总宽度分别为米，米，再根据草坪的面积得出方程，解方程即可．【详解】解：设小路的宽为x米，根据题意得：，解得：，（舍去），答：小路的宽应为．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，表示出“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．学校课外兴趣活动小组准条利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm．

(1)如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值；(2)如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解；（2）可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解．【详解】（1）解：四边形是矩形，，由题意得：，整理得：，解得：，，，不合题意舍去，．答：当苗圃园的面积为60时，x的值为．（2）解：四边形是矩形，，，解得：，由题意得：，整理得：，解得：，，不合题意舍去，．答：当苗圃园的面积为60时，x的值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程在面积问题中的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式是解题的关键．（四）增长率问题台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【答案】(1)捐款增长率为(2)第四天该单位能收到元捐款【分析】（1）设捐款增长率为x，根据“第一天收到捐款元，第三天收到捐款元，第二天、第三天收到捐款的增长率相同”列方程，解方程即可得到答案；（2）用第三天收到的捐款乘以即可得到答案．【详解】（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，，解得，（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为.（2）第四天收到捐款为：（元），答：第四天该单位能收到元捐款．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人．(1)求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；(2)预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】(1)这两个月平均增长率为(2)6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．【详解】（1）解：设这两个月平均增长率为，根据题意，得解得，，（舍）答：这两个月平均增长率为．（2）解：设6月份后20天日均接待游客人数是万人，山题意可得，答：6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．(1)求进馆人次的月平均增长率；(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．【答案】(1)；(2)能，见解析．【分析】（）设进馆人次的月平均增长率为，再分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，最后根据三个月进馆人次等于的等量关系列方程解答即可；（）根据（）计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，最后与比较即可．【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：，化简得：，∴，∴或（舍）；答：进馆人次的月平均增长率为．（2）解：能，理由：∵进馆人次的月平均增长率为，∴第四个月的进馆人次为：．即校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．随着我国数字化阅读方式的接触人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．某市2020年数字阅读市场规模为500万元，2022年为845万元．(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率．(2)若年平均增长率不变，问2023年该市数字阅读市场规模是否可以达到1000万元？【答案】(1)(2)可以达到【分析】（1）设两次平均增长率为x，（）；据此模型列方程即可求解；（2）可得，可预计出2023年该市数字阅读市场规模，将其与700万元比较后即可求解．【详解】（1）解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为，根据题意得，解得，（不符合题意，舍去）．答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为．（2）解：由题意得（万元）．，预计2023年该市数字阅读市场规模能达到1000万元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，掌握典型模型是解题的关键．某楼盘7月份的均价为16000元/，受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，开发商连续两次下调房价，9月份的均价为14440元/．(1)求该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率；(2)林叔叔决定等到均价低于14000元/时买房子，按这样的月平均下降率，林叔叔能在10月份买房子吗？【答案】(1)该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为(2)林叔叔能在10月份买房子【分析】（1）设该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为，根据题意列出一元二次方程求解即可；（2）根据题意列式求出10月份的均价，然后比较求解即可．【详解】（1）设该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为，根据题意，得，，解得，（不合题意，舍去），∴，答：该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为；（2）10月份的均价为（元/m2），∵，∴林叔叔能在10月份买房子．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．（五）利润问题返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液，去市场购买时，发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液．(1)当时，每瓶洗手液的价格是元；当时，每瓶洗手液的价格是元．(2)如果家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？【答案】(1)8；(2)一共购买了200瓶洗手液．【分析】（1）根据题意，分别计算出当以及时，每瓶洗手液的价格即可；（2）100瓶洗手液价格为800，由花费1200元可得购买瓶数超出了100瓶，设一共购买了x瓶洗手液，根据题意表示出每瓶单价进而表示出花费，列方程，解出x的值，再根据最低价不能低于每瓶5元对x的值进行取舍即可．【详解】（1）解：当时，每瓶洗手液的价格是8元；当时，（元）．故答案为：8；；（2）解：，，，解得：，当时，洗手液单价为：（元）；当时，洗手液单价为：（元）．最低价不能低于每瓶5元，，．答：一共购买了200瓶洗手液．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题关键．某商场销售一批A型衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了增加盈利并尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若商场平均每天赢利元，每件衬衫应降价多少元？(2)在（1）的定价情况下，衬衫的成本价是120元，为了更快的盈利和清理库存，商店选择一种领带与A型衬衫成套出售，领带的成本价不高于衬衫成本价的一半，领带按照标价的8折出售，领带标价是其成本价的2倍，每套的利润为w元，领带的成本价为m元，当m为多少元时，才能使每套的利润最大，最大值是多少？【答案】(1)每件衬衫应降价20元(2)当m＝60时，有最大利润，每套最大利润为56元【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每天多销售件．根据平均每天赢利元列出方程，解方程即可得到答案；（2）由题意得到，根据一次函数的性质即可得到答案．【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元，则每天多销售件．，或，∵为了增加盈利并尽快减少库存∴每件衬衫应降价20元．（2）由题意得：∵领带的成本价不高于衬衫成本价的一半，∴，∵，∴w随m的增大而增大∴当时，有最大利润，每套最大利润为元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，读懂题意，正确列出函数解析式和方程是解题的关键．商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件．如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？【答案】这种衬衫的销售价定为70元【分析】设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为元，根据总利润＝一件利润×销售数量列方程解答．【详解】解：设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为元，整理，得解得：．为使顾客获得更多的优惠，∴．∴答：这种衬衫的销售价定为70元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的关系式．某商店进了一批服装，进价为每件50元．按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件．今商店计划获利12000元且销售成本不超过24000元，问销售单价应定为多少元？此时应进多少件服装？【答案】这种服装销售单价应定为80元为宜，这时应进400件服装．【分析】设销售单价应定为x元，则销售量为件，然后根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．【详解】解：（件），设销售单价应定为x元，则销售量为件，由题意得，，整理得：，解得或，当时，，不合题意，舍去，当时，，∴销售单价应定为80元，此时应进400件服装．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元．(1)求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？(2)当蛋黄粽子销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？【答案】(1)蛋黄粽子每袋进价50元，红豆粽子每袋进价20元(2)52元【分析】（1）设蛋黄粽子的进价是元袋，红豆粽子的进价是元袋，根据“第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设蛋黄粽子的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润每袋的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设蛋黄粽子的进价是元袋，红豆粽子的进价是元袋，根据题意得：，解得：．答：蛋黄粽子的进价是50元袋，红豆粽子的进价是20元袋；（2）设蛋黄粽子的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋，根据题意得：，解得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：当蛋黄粽子每袋的销售价为52元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．兰溪联华超市今年三月初以每件元的进价购进一批水磨年糕，当年糕售价为每件元时，三月份共销售件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．(1)求四、五两个月销售量的月平均增长率；(2)从六月份起，在五月份的基础上，联华超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，该年糕每件降价2元，月销售量增加件，在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少元时，联华超市六月份仍可获利为元？【答案】(1)(2)每件降价4元【分析】（1）设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，根据五月份的销售量达到件列方程求解即可得到答案；（2）设年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为元，根据利润列方程求解即可得到答案；【详解】（1）解：设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，由题意得，，解得：，（不合题意，舍去），∴四、五两个月销售量的月平均增长率为；（2）解：设年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为元，由题意，得：，化简，得：，解得：或，顾客获得最大实惠的前提下，，∴在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价4元时，六月份仍可获利为元；【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了．(1)设该景区4月份的游客人数为万人，请用含的代数式分别表示5月份和6月份的游客人数；(2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率；(3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件；若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？【答案】(1)五月的人数为万人，六月的人数为万人(2)(3)50元【分析】（1）先根据增长的情况，计算出五月份的人数，再计算出六月份的人数即可；（2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为，根据四月份人数和六月份的人数列出方程求解即可；（3）设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，根据利润不变列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵该景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了，且该景区4月份的游客人数为万人，∴该景区5月份的游客人数为万人，∴6月份的游客人数为万人．∴五月的人数为万人，六月的人数为万人；（2）解：设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为；（3）解：设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：每件售价应定为50元．【点睛】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为400件，由此等量关系列出方程求出x的值即可解答；（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，再利用“销量每件商品的利润4250”列出方程求解即可．【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：，解得：，（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%．（2）解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：，解得：，（不合题意舍去）．答：当商品降价5元时，商品获利4250元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意、找到等量关系列出方程是解题的关键．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，利用五月份的销售量三月份的销售量（月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得到答案；（2）设商品降价元，则每件获利元，月销售量为件，利用商场销售该商品月销售利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，根据题意得：，解得：或（不符合题意，舍去）；四、五这两个月的月平均增长百分率为；（2）解：设商品降价元，则每件获利元，月销售量为件，根据题意得：，整理得：，解得：或（不符合题意，舍去）；当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．（六）动点问题如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B匀速运动，点Q以的速度向终点D匀速运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．

(1)当时，求四边形的面积；(2)当t为何值时，为？(3)当___，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】（1）先求出，再直接用梯形的面积公式即可；（2）分当，当，两种情况过点作于点，先表示出，再用勾股定理建立方程求解即可；（3）分三种情况，利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：由题意知，，，，∵在矩形中，，∴，，，．当时，，，，．（2）解：如图1所示，当，即，即时，过点作于点，则四边形是矩形，，，在中，由勾股定理得：，，或(舍去)．

如图2，当，即，即时，过点作于点，则四边形是矩形，，在中，由勾股定理得：，，或(舍去)．

综上所述：当为或时，为．（3）解：在中，由勾股定理得，∴，．点，，为顶点的三角形是等腰三角形，，①当时，即：，，(舍去)或．②当时，即：，，(舍去)或．③当时，即，，或．综上所述：当的值为或或或时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，解本题的关键是用时间表示出，用方程的思想是解本题的难点．如图，在中，，点P由点A沿方向以1个单位每秒的速度运动，同时点Q从B沿方向以2个单位每秒的速度运动．连，设运动时间为t秒，：

(1)t为何值时，四边形的面积为9；(2)是否存在某一时刻t，使P点在线段的垂直平分线上？【答案】(1)当时，四边形的面积为9．(2)当时，P点在线段的垂直平分线上．【分析】（1）先表示出四边形的面积为，令，求解即可；（2）由题意可得：、，运用勾股定理可得，再根据垂直平分线的性质可得，据此列一元二次方程求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：∴四边形的面积为，由题意可得：，即，解得：或（舍）∴当时，四边形的面积为9．（2）解：由题意可得：，，∴，∵P点在线段的垂直平分线上，∴,即，解得：或（舍），∴当时，P点在线段的垂直平分线上．【点睛】本题主要考查了四边形的动点问题、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，用t表示出相关线段是解答本题的关键．如图所示，中，，，．

(1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，经过几秒，使的面积等于？(2)在（1）的运动情况下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．(3)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，问几秒后，的面积为？【答案】(1)经过2秒或4秒，的面积等于(2)线段不能将分成面积相等的两部分，理由见解析(3)经过秒或5秒或秒后，的面积为【分析】(1)设经过秒，使的面积等于，解方程即可．(2)设经过秒，线段将分成面积相等的两部分，判断方程根的情况即可．(3)分类求解即可．【详解】（1）设经过秒，使的面积等于，依题意得：，解得：，，经检验，均符合题意．即经过2秒或4秒，的面积等于．（2）设经过秒，线段将分成面积相等的两部分，依题意得：的面积，的面积，整理得：，∵，∴此方程无实数根，∴线段不能将分成面积相等的两部分．（3）①点在线段上，点在线段上，设经过秒，的面积为，依题意得：，整理得：，解得：，，经检验，不符合题意，舍去，；②点在线段上，点在射线上，设经过秒，的面积为，依题意得：，整理得：，解得：，经检验，符合题意．③点在射线上，点在射线上，设经过秒，的面积为，依题意得：，整理得：，解得：，，经检验，不符合题意，舍去，；综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积为．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解一元二次方程，根的判别式，分类思想，熟练掌握解方程和根的判别式是解题的关键．已知：如图，在中，．点从点开始沿边向点以的速度匀速运动，同时点从点开始沿边向点以的速度匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．

(1)________后，的面积为；(2)几秒后，的长度为？(3)的面积能否为？请说明理由．【答案】(1)1(2)后，的长度为(3)不能，理由见解析【分析】（1）设经过x秒钟，的面积为，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解；（2）根据，利用勾股定理，求出即可；（3）通过判定方程的根的判别式即可判定能否达到．【详解】（1）解：由题意得：，由，得，整理，得，解得．当时，，说明此时点越过点，不符合要求，舍去，所以后，的面积为．故答案为：1．（2）解：由题意得：，在中，由勾股定理得：，得，整理，得，解得（不合题意，舍去），，答：后，的长度为；（3）解：不能．理由：假设的面积为，则由题意，得，整理，得，因为，所以此方程无实数根，所以的面积不能为．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得出等量关系是解决问题的关键．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接．设运动时间为t秒．

(1)______，______．(2)当t为何值时，的面积为．(3)是否存在某一时刻t，使是以为底边的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)3；6(2)当t为1或2时，的面积为(3)存在；当，使是以为底边的等腰三角形【分析】（1）根据矩形的性质和含角的直角三角形的性质解答即可；（2）过点Q作于点H，，，，根据直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可；（3）根据是以为底边的等腰三角形，得，再