材料力学：扭转

1材料力学：扭转概述薄壁圆筒的扭转传动轴的外力偶矩•扭矩及扭矩图等直圆杆在扭转时的应力•强度条件等直圆杆在扭转时的变形•刚度条件等直圆杆在扭转时的应变能等直非圆杆扭转时的应力和变形2在杆件的两端作用两个大小相等、转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。§3-1概述一、扭转的受力特点杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线的相对转动。二、扭转的变形特点3扭转受力简图mm电动机轴扭转受力简图4请判断哪一杆件将发生扭转

当两只手用力相等时，拧紧罗母的工具杆将产生扭转.5请判断哪些零件将发生扭转传动轴将产生扭转传动轴6§3-2薄壁圆筒的扭转

r0

是薄壁圆筒的厚度，r0

是平均半径。7

一、薄壁筒扭转的应力用截面法求任一横截面n—n上的内力MeMelnn8MennMelnnT横截面上的应力只能是切应力。设薄壁圆筒扭转时其任一横截面n-n上的内力为力偶矩。称为扭矩TMe9MeMe预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。1.试验10MeMe圆周线保持不变；纵向线都倾斜一个相同的角度。2.观察到的现象：3.设想：薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。横截面上各点处的切应力的方向必与圆周相切11MeMe

圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为相对扭转角

，用

表示。12MeMe

DABC

圆筒表面上每个格子的直角的改变量，称为切应变。用

表示。13dxtABCDMeMe

DABC

近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。圆周表面各点处切应力的方向于圆周相切，且数值相等。

14Mennxr二、推导公式由上述分析，就可得出薄壁筒扭转时，横截面上任一点处的切应力

都是相等的，而其方向于圆周相切。T15r为薄壁圆筒平均半径MennxrT16上式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式。Mennxr17

薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致。T18薄壁圆筒扭转19（1）在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向与y轴平行。三、切应力互等定理xydydzabdzdxc

20xydydzabdzdxc

两侧面的内力元素（

dydz）大小相等，方向相反，将组成一个力偶。由平衡方程：可知：21xydydzabdzdxc

(dydz)dx其矩为22xydydzabdzdxc

（2）要满足平衡方程23xydydzabdzdxc

在单元体的上，下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成的力偶，其矩为24xydydzabdzdxc

数量相等而转向相反，从而可得(dydz)dx25xydydzabdzdxc

切应力互等定理：单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线。26xydydzabdzdxc

纯剪切应力状态：单元体平面上只有切应力而无正应力，则称该单元体称为纯剪切应力状态。27四、剪切胡克定律mmABCD

lr

为薄壁圆筒的外半径28MeMeABCD

l薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶Me

在某一范围内时，与Me

（在数值上等于

T

）成正比

。29To

o从Mn

与

之间的线性关系，可推出

与

间的线性关系。该式称为材料的

剪切胡克定律30G

称为材料的

切变模量，其单位是Pa。剪切胡克定律只有在切应力不超过材料的剪切屈服

p极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。拉(压)、剪切弹性模量与泊松比的关系31

剪切胡克定律32思考题：指出下面图形的切应变

2

切应变为切应变为03334§3-3传动轴的外力偶矩

扭矩和扭矩图从动轮主动轮从动轮nm2m1m3一、传动轴的外力偶矩35从动轮主动轮从动轮nMe2Me1Me3一传动轴，转速为n转/min，轴传递的功率由主动轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为P千瓦（kW)，则作用在该轮上的外力偶矩Me

可按以下方法求得:36n——轴的转速(r/min)Me——作用在轴上的力偶矩，(kN.m)P

——轴传递的功率，

(kW)37nnMeMe•xMe•x在n—n截面处假想将轴截开取左侧为研究对象分析图示圆轴任一横截面n—n上的内力。仍用

截面法。二、扭矩和扭矩图38nnMeMe•xMe•xT横截面上的内力应是一个力偶称为该横截面上扭矩Me•x•T取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象数值相同但转向相反。39Me•x•nnMeMe•xTMe•xT右手螺旋法则：当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正，反之为负。扭矩符号的规定++40用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。

41扭转内力42m4ABCDm1m2m3n例题1：一传动轴如图所示，其转速n=300/min，主动轮输入的功率为有P1=500kW。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW。试做扭矩图。43解：计算外力偶矩ABCDm4ABCDm1m2m3n44ABCD用外力偶作用面将轴分段。该轴分为BC，CA，AD

三段m4ABCDm1m2m3n45ABCD22计算CA段内任横一截面

2-2截面上的扭矩。假设T2

为正值。结果为负号，说明T2应是负值扭矩BCx由平衡方程(-)46ABCD在BC段内在AD段内1133注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号相同。(-)(+)47+4.789.566.37最大扭矩在CA段内。ABCD作出扭矩图T图（kN.m）48§3-4等直圆轴扭转时的应力•强度条件一、横截面上的应力

预先在圆杆的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。49MeMe等直圆杆扭转变形后，两圆周线绕杆件的轴线相对旋转了一个角度，两圆周线的形状和大小均未改变;在变形微小的情况下，纵向线则倾斜了一个相同的角度

。试验结果：50刚性平面假设：变形前垂直于轴的圆形横截面，在变形后仍保持为同样大小的圆形平面。且半径仍为直线。MeMe51aabATTdxDb1.几何方面d是b—b截面相对于a—a截面象刚性平面一样绕杆轴转动的一个角度。倾角

是横截面圆周上任一点A处的切应变52EG也倾斜了一个角度

是横截面半径上任一点E处的切应变。aabATTdxDbGE经过半径O2D上任一点G的纵向线EG。53此时式说明：同一半径

圆周上各点切应变

均相同，且其值与

成正比。aabATTdxDbGE542.物理方面由剪切胡克定律同一圆周上各点切应力

均相同

，且其值与成正比，

垂直与半径。553.静力学方面整个横截面上的内力元素

的合力必等于零，并组成一个力偶这就是横截面上的扭矩。roTdAdA56roTdAdA57上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的切应力计算公式roTdAdA58称为横截面对圆心的

极惯性矩式中：T

为横截面上的扭矩；

为求应力的点到圆心的距离：59oT（1）横截面周边各点处，切应力将达到最大值。说明：切应力与

成正比。且垂直于半径。指向与T的转向一至。圆心处的切应力为零。60WP

称作扭转截面系数，单位为mm3

或m3。61圆轴扭转62扭转截面系数公式二、极惯性矩及抗扭截面模量极惯性矩公式63do实心圆截面

64Ddo空心圆截面其中65ebfabcdxnfe三、斜截面上的应力66efb截面的外法线n与x

轴间的夹角为

规定：并x

轴至截面的外法线

n逆时针转向为正，反之为负x67efbx假设ef

的面积为dAeb

的面积为dAcos

bf

的面积为dAsin

68efbefb69斜截面上应力的计算公式ebfabcdxnfe70abcdxnfe71在

=-450

和

=+450

的两斜截面上正应力分别为

中的最大值和最小值，它们的绝对值都等于

，但一个为拉应力，一个为压应力。且在这两截面上切应力等于零。abcdxnfe72以上结论是纯剪切应力状态的特点，并不限于等直圆杆扭转时这一特殊情况。73

圆轴扭转时，杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强度条件应该是横截面上的最大工作切应力

max

不超过材料的许用切应力

[]

。四、强度条件圆轴扭转时的最大工作切应力

max

发生在最大扭矩所在横截面（危险截面）的周边上的任一点处（危险点），74

根据上述条件，可以解决三个方面的问题（1）强度校核（2）截面设计

（3）确定许可荷载强度条件为75ABC例题2：图示阶梯圆轴，AB段的直径d1=120mm，BC段的直径d2=100mm。扭转力偶矩为mA=22kN.m，

mB=36kN.m

，mC=14kN.m

。已知材料的许用切应力[]=80MPa，试校核该轴的强度。76ABC解：作轴的扭矩图+2214mA=22kN.mmB=36kN.mmC=14kN.m单位（kN.m）77

因此，该轴满足强度要求。分别校核两段轴的强度ABC+2214单位（kN.m）78ll例题3：实心圆轴１和空心圆轴２，材料、扭转力偶矩m和长度l

均相等，最大切应力也相等。若空心圆轴的内外径之比为

=0.8，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比。79解：设实心圆截面直径为d1，空心圆截面的内、外径分别为

d2、D2。已知两轴扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为T

。ll80已知：所以ll81因此解得ll82两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比。

在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。83例题4：图示空心圆轴外径D=100mm，内径d=80mm，

m1=6kN.m，m2=4kN.m，材料的切变模量G=80GPa。(1)画轴的扭矩图(2)求轴的最大切应力，并指出其位置。m1m2ABCll84(1)画轴的扭矩图m1m2ABCllBC段：1m2CT1T1+m2=0(-)2m2Cm1BT2T2+m2-m1=0T2=2kN.m

AB段：(+)4kN.m-+2kN.mT1=-4kN.m最大扭矩发生在BC段Tmax=4kN.m85(2)求轴的最大切应力，并指出其位置m1m2ABCll

max

最大切应力发生在截面的周边上，且垂直于半径。861.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角

来度量的§3-5等直圆轴扭转时的变形•刚度条件是计算等直圆杆相对扭转角的依据。一、扭转时的变形87其中d

代表相距为dx

的两横截面间的相对扭转角。长为l的一段杆两端面间的相对扭转角

可按下式计算88对于同一材料制成的等直圆轴（G

，Ip为常量），当只在两端受一对外力偶作用时（T

为常量）

，从上式可得GIP

称作扭转刚度892.单位长度扭转角90

在扭转问题中，通常限制最大的单位长度扭转角

’max

不超过许可扭转角[

′]

。[

′]

称作许可单位长度扭转角。二、刚度条件91圆轴扭转时的刚度条件是92例题5：图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知：m1=1592N.

m，m2=955N.m

，m3=637N.

m。截面

A与截面B、C之间的距离分别为lAB=300mm和lAC=500mm。轴的直径d=70mm，钢的切变模量为G=80GPa。试求截面C对截面B的相对扭转角。BCA1293解法1：设截面B

固定不动BCA1294BCA12TABTAB=m295BCA12TAB=m2TACTAC=-m396BCA12转向与m3同97BCA12解法2

：假设A截面不动，先分别计算截面B、C

对截面A

的相对扭转角

AB

和

AC

。98BCA12与转向同99BCA12与转向同100BCA12截面C对截面B的相对扭转角

BC

为转向与m3相同101解法3：设截面B固定不动，先分别计算m1、m3单独作用下截面C对截面B的相对扭转角

BC1和

BC2，然后叠加，即采用叠加法。BCA12102BCA12

BA

BC1m1单独作用下截面C

对截面B

的相对扭转角

BC1103BCA12

BC2m3

单独作用下截面C对截面B

的相对扭转角

BC2，104转向与m3同C

截面对截面B的相对扭转角105例题6：某汽车的主传动轴是用40号钢的电焊钢管制成，钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，轴传递的转矩m=1.98KNm,材料的许用切应力

[]=100MPa，切变模量为G=80GPa，轴的许可扭角[]=2/m

。试校核轴的强度和刚度。Ddtmm106Ddtmm解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内、外径之比107Ddtmm108由刚度条件由强度条件

109将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使

max=96.1MPad=47.2mm实心轴的直径为实心轴的截面面积为空心轴的截面面积为110两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比，

在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。111例题7：

轴上有三个齿轮。轴的转速为n=183.5r/min,G=80GPa。齿轮2的传动功率P2=0.756kW，齿轮4的传动功率P4=2.98kW。轴的[]=40MPa，[’]=1.50/m。设计轴的直径。m2m3m4112m2m3m4画轴的扭矩图+-39.3N.m155N.m113由强度条件114由刚度条件取D=30mm115例题8：圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的许用剪应力[]=40MPa，轴的许用单位扭转角

[’]=0.8°/m，切变模量G=80GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m116d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m解：画扭矩图+8kN.m3kN.m满足强度要求117d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m解：+8kN.m3kN.m满足刚度要求118例题9：图示等直杆，已知直径d=40