【整合课件】5.3.2-函数的极值2

5.3.2函数的极值与导数(二)学习目标1.能根据极值点与极值的情况求参数范围.2.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题.问题导学1.极小值点与极小值(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都

，并且f′(a)＝0.(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.(3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.小2.极大值点与极大值(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都

，并且f′(b)＝0.(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.(3)结论：点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.大3.用导数求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(3)求出方程f′(x)＝0在定义域内的所有实根，并将定义域分成若干个子区间；(4)以表格形式检查f′(x)＝0的所有实根两侧的f′(x)是否异号，若异号则是极值点，否则不是极值点.题型探究类型一由极值的存在性求参数的范围解析

f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.(－∞，1)(2)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)√解析

∵f(x)＝x(lnx－ax)，∴f′(x)＝lnx－2ax＋1，且f(x)有两个极值点，∴f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，解

f′(x)＝x2－2x＋a，由题意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值.引申探究1.若本例(1)中函数的极大值点是－1，求a的值.解

由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不等正根，设为x1，x2，2.若本例(1)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围.故a的取值范围是(0,1).反思与感悟函数的极值与极值点的情况应转化为方程f′(x)＝0根的问题.当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在x＝1处取得极大值.类型二利用函数极值解决函数零点问题∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，解

由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f′(x)＝3x2－12x＋9，则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点.∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：x4(4，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗极大值↘极小值↗反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.跟踪训练2若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围.解

令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x(－2,0)0(0，＋∞)g′(x)＋0－g(x)↗极大值↘由上表可知，函数在x＝0处取得极大值，极大值为g(0)＝2ln2＋b.故实数b的取值范围是(－2ln2,2－2ln3].达标检测123451.下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的函数是①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.A.①② B.②③C.③④ D.①③√解析

①④为单调函数，无极值.2.函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为A.1，－3 B.1,3C.－1,3 D.－1，－3√解析

∵f′(x)＝3ax2＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，123453.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为A.(－1,2) B.(－3,6)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析

f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.因为函数f(x)既有极大值又有极小值，所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.12345√4.若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0,1)内有极小值，则a的取值范围为_____.(0,1)解析

f′(x)＝3x2－3a.当a≤0时，在区间(0,1)上无极值.12345123455.已知函数f(x)＝x3－12x＋4，讨论方程f(x)＝m的解的个数.解

由题意知，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)极小值＝f(2)＝－12，f(x)极大值＝f(－2)＝20.又因为f(x)的定义域是R，画出函数图象(图略)，所以当m>20或m<－12时，方程f(x)＝m有一个解；当m＝20或m＝－12时，方程f(x)＝m有两个解；当－12<m<20时，方程f(x)＝m有三个解.x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗123451.研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f