【整合课件】5.2-第3课时复合函数求导数

第3课时简单复合函数的导数学习目标1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数).问题导学知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2).思考这两个函数有什么共同特征？答案

函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)都是由两个基本函数复合而成的.梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成

，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝

.复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝

，即y对x的导数等于___________

.x的函数f(g(x))yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积1.函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(

)2.函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx.(

)3.函数y＝cos(3x＋1)由函数y＝cosu，u＝3x＋1复合而成.(

)[思考辨析判断正误]√××题型探究类型一求复合函数的导数命题角度1单纯的复合函数求导例1求下列函数的导数.解

y＝设y＝

，u＝1－2x2，(2)y＝log2(2x＋1)；解

设y＝log2u，u＝2x＋1，(3)y＝ecosx＋1；解

设y＝eu，u＝cosx＋1，则yx′＝yu′·ux′＝eu·(－sinx)＝－ecosx＋1sinx.反思与感悟

(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.跟踪训练1求下列函数的导数.(1)y＝(x2－4)2；(2)y＝ln(6x＋4)；解

y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x＝4x3－16x.(3)y＝103x－2；解

y′＝(103x－2ln10)·(3x－2)′＝3×103x－2ln10.(6)y＝cos2x.解

y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x.命题角度2复合函数与导数运算法则结合求导例2求下列函数的导数.反思与感悟

(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导.跟踪训练2求下列函数的导数.(1)y＝sin3x＋sinx3；解

y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin2xcosx＋3x2cosx3.(2)y＝xln(1＋2x).解

y′＝x′ln(1＋2x)＋x[ln(1＋2x)]′类型二复合函数导数的应用解

由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率.反思与感悟复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.解

由y＝esinx，得y′＝(esinx)′＝cosxesinx，即

＝1，则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.达标检测12345C.ex－e－x D.ex＋e－x√√12345123453.已知函数f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝_____.1234512345－1解析

由函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，得y′＝(1＋cos2x)′＝－2sin2x，5.曲线

y＝

在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为____.e2令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，12345解析求简单复合函数f(ax＋b)的导数实质是运用整体思想，先把