高考数学专项练习第03讲 利用导数研究函数的极值与最值含答案及解析

第03讲利用导数研究函数的极值与最值目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查求函数的极值（极值点） 1题型二：重点考查根据极值（极值点）求参数 5题型三：重点考查导函数图象与极值（极值点）的关系 8题型四：重点考查由导数求函数的最值（不含参） 13题型五：重点考查由导数求函数的最值（含参） 17题型六：重点考查由函数的最值求参数 23题型七：重点考查函数单调性，极值，最值综合应用 28题型一：重点考查求函数的极值（极值点）典型例题例题1．（2024上·陕西榆林·高二统考期末）已知函数的极小值为（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知函数，则的极小值为（

）A． B． C． D．例题3．（2023下·山东·高二济南市章丘区第四中学校联考阶段练习）已知函数在处取得极大值1，则的极小值为（

）A．0 B． C． D．例题4．（2022上·全国·高三校联考阶段练习）若函数有两个极值点且这两个极值点互为相反数，则的极小值为（

）A． B． C． D．精练核心考点1．（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的极小值为（

）A．2 B．1 C．0 D．-12．（2023下·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）若的一个极值点是，则的极大值为（

）．A． B． C． D．3．（2023下·广东茂名·高二广东高州中学校考期中）设函数，若是函数的极大值点，则函数的极小值为（

）A． B． C． D．4．（2022上·江西赣州·高三校联考期中）若是函数的极值点．则的极小值为（

）A．-3 B． C． D．0题型二：重点考查根据极值（极值点）求参数典型例题例题1．（2024上·广东潮州·高三统考期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023下·甘肃兰州·高二兰州一中校考阶段练习）已知函数在处有极值0，则实数的值为（

）A．4 B．4或11 C．9 D．11例题3．（2023上·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知是函数的极大值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题4．（2023上·山西运城·高三统考期中）若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．精练核心考点1．（2023上·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）若函数既有极大值也有极小值，则（

）A． B． C． D．2．（2023下·广西钦州·高二统考期末）已知函数在处取得极值5，则（

）A． B． C．3 D．73．（2024·全国·模拟预测）已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（

）A． B．C． D．4．（2023上·黑龙江·高三统考期中）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．题型三：重点考查导函数图象与极值（极值点）的关系典型例题例题1．（2023下·北京丰台·高二统考期中）已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（

）

A．在上单调递减B．在上单调递增C．为极值点D．为极值点例题2．（2022下·浙江·高二校联考期末）如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（

）A．，是的极大值点B．，是的极小值点C．，不是的极大值点D．，是的极值点例题3．（2022下·福建莆田·高二统考期末）定义在上的函数，其导函数为，且函数的图象如图所示，则（

）A．有极大值和极小值B．有极大值和极小值C．有极大值和极小值D．有极大值和极小值精练核心考点1．（2022下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）

设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．有两个极值点 B．为函数的极大值C．有两个极小值 D．为的极小值2．（2021下·河南南阳·高二统考期中）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值3．（2022下·浙江杭州·高二校联考期中）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（

）A．个极大值点，个极小值点 B．个极大值点，个极小值点C．个极大值点，无极小值点 D．个极小值点，无极大值点题型四：重点考查由导数求函数的最值（不含参）典型例题例题1．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）若是函数的极值点.(1)求实数的值及的单调区间；(2)求函数在区间上的值域.例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求的极值；(2)当时，求在上的最小值；例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求在上最大值及最小值；精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值；2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数在区间上的最小值；3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的图象在处的切线方程为.(1)求的值；(2)求在区间上的最值.题型五：重点考查由导数求函数的最值（含参）典型例题例题1．（2024·全国·高二假期作业）已知函数(1)当时，求极值：(2)当时，求函数在上的最大值．例题2．（2024·陕西宝鸡·校考一模）已知函数，是自然对数的底数.(1)当，时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；(2)若，且，求的最小值和最大值.例题3．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若的最小值不大于0，求的取值范围.精练核心考点1．（2023下·高二课时练习）已知函数，求函数在区间上的最小值．2．（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)求在上的最小值．3．（2023下·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）已知函数．(1)若，，求函数斜率为的切线方程；(2)若，讨论在的最大值．题型六：重点考查由函数的最值求参数典型例题例题1．（2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）已知函数（）.(1)若，求在处的切线方程；(2)若为的极大值点，求的取值范围；(3)若存在最小值，直接写出的取值范围.例题2．（2023·四川泸州·统考一模）已知是函数的极值点．(1)求的值；(2)若函数在上存在最小值，求的取值范围．例题3．（2023下·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知函数.(1)若，求在定义域内的极值；(2)当时，若在上的最小值为，求实数的值．精练核心考点1．（2023上·河南许昌·高二统考期末）已知函数.(1)若，求在处的切线方程；(2)当时，函数在上的最小值为3，求实数的值.2．（2023下·四川宜宾·高二校考期中）已知函数，．(1)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；(2)记函数，若的最小值是，求的值．3．（2023下·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知函数的定义域为，其中.(1)若是函数的一个驻点，求a的值；(2)函数在区间上严格增，求a的取值范围；(3)当时，若函数，在处取得最大值，求a的取值范围.题型七：重点考查函数单调性，极值，最值综合应用典型例题例题1．（2023上·浙江温州·高二温州中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点为，.(1)当时，求的值；(2)若（为自然对数的底数），求的最大值.例题2．（2023上·重庆渝中·高三统考期中）已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)若函数在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；(3)若对于任意恒成立，求实数的取值范围．例题3．（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数在处有极值-1.(1)求的值；(2)若函数在上单调递增，求的取值范围.精练核心考点1．（2023上·山西·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)证明：曲线在点处的切线经过定点.(2)证明：当时，在上无极值.2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与y轴垂直，．(1)求的值及的单调区间；(2)已知函数（a为正实数），若对于，总存在，使得，求实数的取值范围．3．（2023·四川南充·模拟预测）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)设，当时，若存在，对任意，使成立，求实数的取值范围；(3)当时，恒有成立，求实数的取值范围．

第03讲利用导数研究函数的极值与最值目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查求函数的极值（极值点） 1题型二：重点考查根据极值（极值点）求参数 5题型三：重点考查导函数图象与极值（极值点）的关系 8题型四：重点考查由导数求函数的最值（不含参） 13题型五：重点考查由导数求函数的最值（含参） 17题型六：重点考查由函数的最值求参数 23题型七：重点考查函数单调性，极值，最值综合应用 28题型一：重点考查求函数的极值（极值点）典型例题例题1．（2024上·陕西榆林·高二统考期末）已知函数的极小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，令得，令得，令得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为.故选：D例题2．（2023上·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知函数，则的极小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数的定义域为，求导得，，，则由，得或，由，得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，取得极小值，所以函数的极小值为.故选：A例题3．（2023下·山东·高二济南市章丘区第四中学校联考阶段练习）已知函数在处取得极大值1，则的极小值为（

）A．0 B． C． D．【答案】C【详解】的定义域为，由，得，因为函数在x＝－1处取得极大值1，所以，解得，所以，．令．解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，在处取得极小值，所以的极小值为．故选：C例题4．（2022上·全国·高三校联考阶段练习）若函数有两个极值点且这两个极值点互为相反数，则的极小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，，令，即，若函数有两个极值点且这两个极值点互为相反数，即的两个根互为相反数，不妨设两个根为，则，解得：，故，令或；令，即函数在单调递增；在单调递减.故函数在取得极小值.故选：B精练核心考点1．（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的极小值为（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】A【详解】函数，由在区间上单调递减，在区间上单调递增，则函数在处取极小值，所以有，由，得，解得，则有，由，得只有一个根，且当时，，单调递减；当时，，单调递增；故当时，满足题意，所以有极小值，且极小值.故选：A.2．（2023下·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）若的一个极值点是，则的极大值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】，因为是的极值点，所以则，令，解得或，则当或时，，单减，当时，，单增，故的极大值为.故选：C．3．（2023下·广东茂名·高二广东高州中学校考期中）设函数，若是函数的极大值点，则函数的极小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，又是函数的极大值点，，，则，，令，得或，令，解得或；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，则当时，的极小值为.故选：D.4．（2022上·江西赣州·高三校联考期中）若是函数的极值点．则的极小值为（

）A．-3 B． C． D．0【答案】A【详解】函数，求导得：，因是函数的极值点，即，解得，，当或时，，当时，，即是函数的极值点，函数在处取得极小值.故选：A题型二：重点考查根据极值（极值点）求参数典型例题例题1．（2024上·广东潮州·高三统考期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】的定义域为，，要函数在上有极值，则在上有零点，即在上有实数根.令，则，当且仅当时等号成立，所以.当时，，函数单调递增，则函数在上没有极值，故.故选:D.例题2．（2023下·甘肃兰州·高二兰州一中校考阶段练习）已知函数在处有极值0，则实数的值为（

）A．4 B．4或11 C．9 D．11【答案】D【详解】，则，即，解得或.当时，，不符合题意，舍去；当时，，令，得或；令，得．所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意，则．故选：D例题3．（2023上·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知是函数的极大值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，则，，当时，令得或，令得，此时在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，符合是函数的极大值点；当时，恒成立，函数不存在极值点，不符合题意；当时，令得或，令得，此时在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，符合是函数的极小值点，不符合题意；综上，要使函数在处取到极大值，则实数的取值范围是.故选：C.例题4．（2023上·山西运城·高三统考期中）若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，则函数的定义域为，则，令，解得：或，当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极大值，不符合题意，舍去；当时，即，则恒成立，此时函数单调递增，没有极值，不符合题意，舍去；当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极小值，符合题意.故选：C.精练核心考点1．（2023上·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）若函数既有极大值也有极小值，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以函数定义域为，，由题意，方程，即有两个不相等的正根，设为，则，解得，即的取值范围为，故选：A.2．（2023下·广西钦州·高二统考期末）已知函数在处取得极值5，则（

）A． B． C．3 D．7【答案】A【详解】函数，则，因为在处取极值5，所以，解得：，经检验满足题意.故.故选：A3．（2024·全国·模拟预测）已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意，得，关于x的一元二次方程的两根为b，2b，又极小值点为，极大值点为，所以，即，由韦达定理得到，所以，，得到．故选：A．4．（2023上·黑龙江·高三统考期中）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为定义域为，则因为函数有两个极值点，所以方程有两个不同的正根，，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：C题型三：重点考查导函数图象与极值（极值点）的关系典型例题例题1．（2023下·北京丰台·高二统考期中）已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（

）

A．在上单调递减B．在上单调递增C．为极值点D．为极值点【答案】D【详解】A，因时，，则在上单调递减，故A正确；B，因时，，则在上单调递增，故B正确；C，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，故C正确；D，由图可得在上单调递增，则不为极值点，故D错误.故选：D例题2．（2022下·浙江·高二校联考期末）如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（

）A．，是的极大值点B．，是的极小值点C．，不是的极大值点D．，是的极值点【答案】B【详解】由题得，的几何意义为当x取同值时，到的距离．根据题意，当时，单调递减，当时，单调递增，又，则有是的极小值点，故选:B．例题3．（2022下·福建莆田·高二统考期末）定义在上的函数，其导函数为，且函数的图象如图所示，则（

）A．有极大值和极小值B．有极大值和极小值C．有极大值和极小值D．有极大值和极小值【答案】B【详解】解：由函数图像可知，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以有极大值和极小值，故选：B精练核心考点1．（2022下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）

设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．有两个极值点 B．为函数的极大值C．有两个极小值 D．为的极小值【答案】C【详解】解：，并结合其图像，可得到如下情况，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；当时，，在单调递增∴在和处取得极小值，故B，D错，C正确；在处取得极大值.所以有3个极值点，故A错.故选:C.2．（2021下·河南南阳·高二统考期中）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值【答案】B【详解】由图知：当时，有、，∴，，又时，而则，即递增；时，而则，即递减；时，而则，即递增；时，而则，即递增；综上，、上递增；上递减.∴函数有极大值和极小值.故选：B3．（2022下·浙江杭州·高二校联考期中）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（

）A．个极大值点，个极小值点 B．个极大值点，个极小值点C．个极大值点，无极小值点 D．个极小值点，无极大值点【答案】A【详解】，由下图可知，有3个零点，由图可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.故为极小值点，为极大值点，故有个极小值点，1个极大值点.故选：A.题型四：重点考查由导数求函数的最值（不含参）典型例题例题1．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）若是函数的极值点.(1)求实数的值及的单调区间；(2)求函数在区间上的值域.【答案】(1)，函数的单调减区间为，单调增区间为：(2).【详解】（1）因为函数的定义域为：，所以，又是函数的极值点，所以，此时因为，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以有是函数的一个极小值点，此时，且函数的单调减区间为，单调增区间为：（2）由（1）知，若，由（1）知：函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数，又，，因为，所以，所以函数在区间上的值域为：例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求的极值；(2)当时，求在上的最小值；【答案】(1)极大值为，没有极小值.(2)0【详解】（1）当时，，定义域：，，令，则，变化时，，的变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减则的极大值为：，没有极小值；（2）当时，，定义域：，，令，定义域：，，则在上是增函数，则，所以，即在上是增函数，则.例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求在上最大值及最小值；【答案】(1)最小值是0，最大值是【详解】（1）函数的定义域为，当时，，；时，，单调递减；时，，单调递增；是函数的极小值，即的最小值；又，；的最大值是；函数在上的最小值是0，最大值是；精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值；【答案】(1)；(2)；【详解】（1）因为，所以，则，又，所以曲线在点处的切线方程为.（2）令，则，当时，，在上单调递增.因为，，所以，使得.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数可能在或处求得最大值，又，，所以.2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数在区间上的最小值；【答案】(1)【详解】（1）的定义域为，故，令，，当时，，所以在上单调递减，且，，所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使又当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，，所以函数在区间上的最小值为.3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的图象在处的切线方程为.(1)求的值；(2)求在区间上的最值.【答案】(1)(2)最大值为8，最小值为【详解】（1）解：，又函数的图象在处的切线方程为，所以，解得.（2）由（1）可知，令，解得，或.当或时，；当时，.故的增区间为和的减区间为因为，所以在上的最大值为8，最小值为.题型五：重点考查由导数求函数的最值（含参）典型例题例题1．（2024·全国·高二假期作业）已知函数(1)当时，求极值：(2)当时，求函数在上的最大值．【答案】(1)的极大值为，极小值为(2)【详解】（1）当时，，，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，在处取得极小值，综上，的极大值为，极小值为；（2），，故，，令得或，因为，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以，所以；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以；综上：例题2．（2024·陕西宝鸡·校考一模）已知函数，是自然对数的底数.(1)当，时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；(2)若，且，求的最小值和最大值.【答案】(1)(2)，.【详解】（1）解：当，时，，∴，∴当时，，∴，故是上的增函数，同理是上的减函数，，，，故当时，，当时，，故当时，函数的零点在内，∴满足条件.同理，当时，函数的零点在内，∴满足条件，综上.（2）由已知①当时，由，可知，∴；②当时，由，可知，∴；③当时，，∴在上递减，上递增，∴当时，，而，设，∵（仅当时取等号），∴在上单调递增，而，∴当时，，即时，，∴即.例题3．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若的最小值不大于0，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）由函数，则其定义域为，求导可得，令，解得，当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增.当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减.综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知，当时，无最小值；则当时，在单调递减，在单调递增，则，由题意可得：，由，则，解得.精练核心考点1．（2023下·高二课时练习）已知函数，求函数在区间上的最小值．【答案】答案见解析【详解】，令，得，.①当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.②当时，，在区间上单调递增，所以.③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.综上所述，当时，；当时，；当时，.2．（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)求在上的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）函数的定义域为，则．当时，在上恒成立，故此时在上单调递减；当时，由，得,由，得，故此时在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知，当时，在上单调递减，所以在上单调递减，所以；当时，(i)若，即时，在上单调递增，此时，；(ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，；(iii)若，即时，在上单调递减，此时，．综上所述，．3．（2023下·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）已知函数．(1)若，，求函数斜率为的切线方程；(2)若，讨论在的最大值．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）已知，函数定义域为，当，时，函数，可得，不妨设切点为，此时，因为切线斜率为1，所以，解得，所以，此时切点坐标为，则曲线在点处的切线方程为，即；（2）若，即，此时，函数定义域为，可得，令，解得，当，即时，，此时函数在定义域上单调递增，则；当，即时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，又，，当，即时，可得，所以当时，；当，即时，可得，所以当时，；当，即时，，此时函数在定义域上单调递减，则，综上，当时，函数的最大值为0；当时，函数的最大值为．题型六：重点考查由函数的最值求参数典型例题例题1．（2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）已知函数（）.(1)若，求在处的切线方程；(2)若为的极大值点，求的取值范围；(3)若存在最小值，直接写出的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为则，若，可得，即切点坐标为，切线斜率，所以在处的切线方程为.（2）由（1）可知：，因为，令，解得或，若，则，令，解得或；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，所以为的极大值点，符合题意；若，则恒成立，所以在上单调递增，无极值，不合题意；若，则，令，解得或；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，所以为的极小值点，不合题意；综上所述：的取值范围.（3）因为，可知：当x趋近于时，趋近于0，当x趋近于时，趋近于，结合（2）中单调性可知：存在，使得且，即且，则，解得，所以的取值范围为.例题2．（2023·四川泸州·统考一模）已知是函数的极值点．(1)求的值；(2)若函数在上存在最小值，求的取值范围．【答案】(1)12(2)【详解】（1）因为，所以，因为是函数函数的极值点，所以，，此时，所以在上，在上，在上，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时为函数极值点，故所求的值为12.（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，，因为，所以，所以，所以的取值范围.例题3．（2023下·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知函数.(1)若，求在定义域内的极值；(2)当时，若在上的最小值为，求实数的值．【答案】(1)极小值，无极大值(2)【详解】（1）解：当时，，的定义域是，且，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以在有极小值，无极大值.（2）解：因为，则，因为，

①当时，即当，则在上恒成立，此时在上单调递减，所以，所以（舍去）；

②当时，即当时，由可得，由可得，所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以，所以.

综上，.精练核心考点1．（2023上·河南许昌·高二统考期末）已知函数.(1)若，求在处的切线方程；(2)当时，函数在上的最小值为3，求实数的值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）当时，，求导得，则，而，所以函数在点处切线方程为，即.（2）函数，求导得，，当时，，函数在上单调递增，，解得，矛盾，当时，由，得，函数递减，由，得，函数递增，因此，解得，从而，当时，，函数在上单调递减，，解得，矛盾，所以.2．（2023下·四川宜宾·高二校考期中）已知函数，．(1)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；(2)记函数，若的最小值是，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，则，由题意知在区间内恒成立，所以，在区间内恒成立．令，，因为恒成立，所以在区间内单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为．（2）解：，其中．因为，①当时，对任意的恒成立，所以在区间内单调递增，此时，无最小值，不合题意；②当时，令，则或（舍去），当时，；当时，.所以，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，则是函数的极小值点，也是最小值点，所以，解得，合乎题意.综上所述，.3．（2023下·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知函数的定义域为，其中.(1)若是函数的一个驻点，求a的值；(2)函数在区间上严格增，求a的取值范围；(3)当时，若函数，在处取得最大值，求a的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），.是的一个驻点，，解得.时，，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，是的一个驻点.综上，.（2）①当时，在区间上是增函数，符合题意；②当时，，令得：，当时，对任意，(符合题意)，当时，当时，，(符合题意)，综上所述，.（3），，令，即，显然有，设方程的两个根为，由式得，不妨设，当时，为极小值，所以在上的最大值只能为或，当时，由于在上是单调递减函数，所以最大值为，所以在上的最大值只能为或，又已知在处取得最大值，所以，即，解得，又因为，所以.题型七：重点考查函数单调性，极值，最值综合应用典型例题例题1．（2023上·浙江温州·高二温州中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点为，.(1)当时，求的值；(2)若（为自然对数的底数），求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）易知函数的定义域为，则，当时可得，，因此可知当或时，；当时，；所以在和上单调递增，在上单调递减；可得和是函数的两个极值点，又，所以；所以可得，即当时，；（2）易知，又，所以是方程的两个实数根，由韦达定理可得，所以，设，由可得，令，则，所以在上单调递减，可得，故可知的最大值为.例题2．（2023上·重庆渝中·高三统考期中）已知函数