高考数学专项练习第02讲 等比数列（含答案及解析）

第02讲等比数列目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查验证是否为等比数列中的项 1题型二：重点考查判断、证明等比数列 2题型三：重点考查等比数列角标和性质 4题型四：重点考查等比数列函数特征 6题型五：重点考查等比数列基本量计算 10题型六：重点考查等比数列片段和性质 13题型七：重点考查等比数列奇偶项和 15题型一：重点考查验证是否为等比数列中的项典型例题例题1．（2020下·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）在各项均为负数的数列中，已知．且．（1）求的通项公式；（2）试问是这个数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）已知等比数列的首项为，公比．(1)求；(2)判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．题型二：重点考查判断、证明等比数列典型例题例题1．（2024上·天津河东·高二统考期末）已知数列的前项和为，若，则有（

）A．为等差数列 B．为等比数列C．为等差数列 D．为等比数列例题2．（多选）（2023上·河南濮阳·高二范县第一中学校联考阶段练习）已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（

）A． B． C． D．例题3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足，.(1)求证：数列是等比数列；精练核心考点1．（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，前项积为，满足，则（

）A．45 B．50 C．55 D．602．（2024上·广东深圳·高二统考期末）若数列的前项积为，则的前项和.题型三：重点考查等比数列角标和性质典型例题例题1．（2023·四川甘孜·统考一模）在等比数列中，是方程的两根，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知等比数列满足，，则（

）A．26 B．78 C．104 D．130例题3．（2023下·高二课时练习）已知数列为等比数列．(1)若，求；(2)若，，求公比.精练核心考点1．（2017上·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期中）若等比数列满足，则等于（

）A．6 B．±6 C．5 D．±52．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）在正项等比数列中，，则的公比为（

）A．或3 B．3 C．2或 D．23．（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）在正项等比数列中，已知，则．题型四：重点考查等比数列函数特征典型例题例题1．（多选）（2023上·重庆·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大项 D．例题2．（多选）（2023上·广东深圳·高三深圳市宝安中学（集团）校考阶段练习）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大值 D．是数列中的最小值例题3．（2022上·广东东莞·高三校考阶段练习）已知等比数列均为正数，，且，（为的前项和）(1)求数列的通项公式；(2)若是数列的前项积，请求出，及当取最大值时对应的的值.精练核心考点1．（多选）（2023上·江苏南通·高二统考期中）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且满足，，则（

）A． B．C．对任意的正整数，有 D．使得的最小正整数为40472．（多选）（2023上·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）关于递减等比数列，下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．3．（2023下·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知数列满足记，为坐标原点，则面积的最大值为.题型五：重点考查等比数列基本量计算典型例题例题1．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考开学考试）记为等比数列的前项和．若，则（

）A．24 B．12 C．6 D．3例题2．（多选）（2023上·河南三门峡·高三陕州中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项中错误的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则例题3．（2023·全国·高二课堂例题）设等比数列的前n项和为，若，，求．精练核心考点1．（2022·陕西西安·统考一模）设等比数列的前n项和为，若，公比，，，则（

）A．15 B．20 C．31 D．322．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）设正项等比数列的前项和为，若，则．3．（2023下·北京西城·高二统考期末）在等比数列中，若，，则．题型六：重点考查等比数列片段和性质典型例题例题1．（2024上·天津·高二天津市第一百中学校联考期末）已知为等比数列的前项和，，，则（

）A．3 B． C． D．例题2．（2023下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．3例题3．（2023·高三课时练习）已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为．精练核心考点1．（2024上·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校联考期末）记为等比数列的前项和，若，，则（

）A．48 B．81 C．93 D．2432．（2023下·湖北宜昌·高二校联考期中）已知等比数列的前项和为，且，若，，则（

）A．27 B．45 C．65 D．73（2023上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）设等比数列的前项和是.已知,，则.题型七：重点考查等比数列奇偶项和典型例题例题1．（2023上·重庆·高二重庆一中校考期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5例题2．（2022下·江西南昌·高一南昌二中阶段练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（

）A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8例题3．（2023上·高二课前预习）（1）在等比数列中，已知，求；（2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数.精练核心考点1．（2022下·浙江·高一校联考期中）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江宁波·统考三模）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（

）A．4 B．6 C．8 D．103．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为

第02讲等比数列目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查验证是否为等比数列中的项 1题型二：重点考查判断、证明等比数列 2题型三：重点考查等比数列角标和性质 4题型四：重点考查等比数列函数特征 6题型五：重点考查等比数列基本量计算 10题型六：重点考查等比数列片段和性质 13题型七：重点考查等比数列奇偶项和 15题型一：重点考查验证是否为等比数列中的项典型例题例题1．（2020下·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）在各项均为负数的数列中，已知．且．（1）求的通项公式；（2）试问是这个数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．【答案】（1）;（2）是这个数列中的项，是第6项【详解】解：（1）．，又∵数列的各项均为负数，，∴数列是以为公比的等比数列，，，，又，，又，，．（2）令，则，，是这个数列中的项，且是第6项．精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）已知等比数列的首项为，公比．(1)求；(2)判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．【答案】(1)(2)不是，理由见解析【详解】（1）由等比数列的通项公式可知；（2），设18是数列中的第n项，则，化简得，因为这个方程无正整数解，所以18不是数列中的项．题型二：重点考查判断、证明等比数列典型例题例题1．（2024上·天津河东·高二统考期末）已知数列的前项和为，若，则有（

）A．为等差数列 B．为等比数列C．为等差数列 D．为等比数列【答案】B【详解】AB选项，当得，解得，①，当时，，②式子①-②得，故，所以为，是公比为的等比数列，A错误，B正确；CD选项，由于，故，故不是等差数列，由于，故不是等比数列，CD错误.故选：B例题2．（多选）（2023上·河南濮阳·高二范县第一中学校联考阶段练习）已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】不妨设等比数列的公比为.对于A选项，不妨取数列展开为，则展开为，显然不是等比数列，故A项错误；对于B选项，由则数列为等比数列，故B项正确；对于C选项，由则数列为等比数列，故C项正确；对于D选项，当时，数列为首项为0的常数列，显然不是等比数列，故D项错误.故选：BC.例题3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足，.(1)求证：数列是等比数列；【答案】(1)证明见详解【详解】（1）因为，，所以，，又，所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列.精练核心考点1．（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，前项积为，满足，则（

）A．45 B．50 C．55 D．60【答案】D【详解】根据题意：，两式作差可得，当时，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，故选：D．2．（2024上·广东深圳·高二统考期末）若数列的前项积为，则的前项和.【答案】【详解】因为数列的前项积为所以当时，，当时，，因为当时，，所以.因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.故答案为：.题型三：重点考查等比数列角标和性质典型例题例题1．（2023·四川甘孜·统考一模）在等比数列中，是方程的两根，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为是等比数列，且，是方程的两根，所以：，且，.根据等比数列的性质，得：，且，所以∴.故选：A例题2．（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知等比数列满足，，则（

）A．26 B．78 C．104 D．130【答案】B【详解】设等比数列公比为，根据已知可得，，所以，，解得，所以，.故选：B.例题3．（2023下·高二课时练习）已知数列为等比数列．(1)若，求；(2)若，，求公比.【答案】(1)或(2)【详解】（1）∵，∴，∴.又，∴是方程的两根和.当时，，；当时，，；（2）∵，∴，∴.精练核心考点1．（2017上·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期中）若等比数列满足，则等于（

）A．6 B．±6 C．5 D．±5【答案】B【详解】解：∵等比数列满足，∴，∴.故选：B.2．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）在正项等比数列中，，则的公比为（

）A．或3 B．3 C．2或 D．2【答案】D【详解】由题意得，得，由，得，得或（舍去）.故选：D.3．（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）在正项等比数列中，已知，则．【答案】16【详解】因为，所以，因为，所以，所以，，所以，，所以.故答案为：16.题型四：重点考查等比数列函数特征典型例题例题1．（多选）（2023上·重庆·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大项 D．【答案】AB【详解】，或，，，同号，且，，即数列前项大于，从第项开始小于1，对于A，，且易知，故，A正确，对于B，易知，故，，B正确，对于C，由题意知是递减数列，且，，故是数列中的最大项，故C错误，对于D，，故D错误，故选:AB例题2．（多选）（2023上·广东深圳·高三深圳市宝安中学（集团）校考阶段练习）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大值 D．是数列中的最小值【答案】AB【详解】当时，则，不合乎题意；当时，对任意的，，且有，可得，可得，此时，与题干不符，不合乎题意；故，故A正确；对任意的，，且有，可得，此时，数列为单调递减数列，则，结合可得，结合数列的单调性可得，，故，，∴，故B正确；因为，数列为单调递减数列，所以是数列中的最大值，故CD错误.故选：AB.例题3．（2022上·广东东莞·高三校考阶段练习）已知等比数列均为正数，，且，（为的前项和）(1)求数列的通项公式；(2)若是数列的前项积，请求出，及当取最大值时对应的的值.【答案】(1)(2)或【详解】（1）设数列的公比为，则，当时，，不合题意；当时，由条件可得，化简得，则；故，又，解得，从而所以数列的通项公式为（2）若是数列的前项积，则取最大值时，当且仅当取最大值因为，又，所以当或时，取最大值故当取最大值时或.精练核心考点1．（多选）（2023上·江苏南通·高二统考期中）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且满足，，则（

）A． B．C．对任意的正整数，有 D．使得的最小正整数为4047【答案】BD【详解】由于为正项等比数列，所以，由，得，所以，若，则为单调递减的等比数列，由于，所以，此时不满足，故A错误，当时，此时，显然不满足，当，则为单调递增的等比数列，由于和可得，，因为，所以，所以B正确；对于C,当时，，当时，，则的最小值为，故对任意的正整数，有，故C错误，对于D，又，则，故，，，所以使得的最小正整数为4047，故D正确．故选：BD．2．（多选）（2023上·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）关于递减等比数列，下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．【答案】AC【详解】A．当，时，从第二项起，数列的每一项都小于前一项，所以数列递减，A正确；B．当，时，为摆动数列，故B错误；C．当，时，数列为递减数列，故C正确；D．，当时，，此时，当时，，，故D错误．故选：AC．3．（2023下·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知数列满足记，为坐标原点，则面积的最大值为.【答案】4【详解】因为，所以，即，因为，所以是以4为首项为公比的等比数列，所以，由累加法得：所以因为，所以，令函数，则.当时，，而，所以在上单调递减.，故面积的最大值为4.故答案为：4.题型五：重点考查等比数列基本量计算典型例题例题1．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考开学考试）记为等比数列的前项和．若，则（

）A．24 B．12 C．6 D．3【答案】B【详解】设等比数列的公比为，若，则，两式相除得，即，解得，从而，则.故选：B.例题2．（多选）（2023上·河南三门峡·高三陕州中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项中错误的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】ACD【详解】对A选项：由等比数列等距片段的性质有，即，解得，故A错误；对B选项：，，，即，故B正确；对C选项：由，又，解得或，当时，即，解得，故，故C错误；对D选项：由，有，即，故或，故D错误.故选：ACD.例题3．（2023·全国·高二课堂例题）设等比数列的前n项和为，若，，求．【答案】【详解】设等比数列的公比为，若，则，这与已知，是矛盾的，所以，从而，．将上面两个等式的两边分别相除，得，解得，由此可得，因此．精练核心考点1．（2022·陕西西安·统考一模）设等比数列的前n项和为，若，公比，，，则（

）A．15 B．20 C．31 D．32【答案】A【详解】在等比数列中，，，则为递增数列，，由已知条件可得，解得，，，因此，.故选：A.2．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）设正项等比数列的前项和为，若，则．【答案】16【详解】解：因为，所以，即，即，解得或（舍去），又，即，即，即，解得，所以，故答案为：163．（2023下·北京西城·高二统考期末）在等比数列中，若，，则．【答案】【详解】设等比数列的公比为，由已知条件得，，以上两式相比得，则，故答案为：.题型六：重点考查等比数列片段和性质典型例题例题1．（2024上·天津·高二天津市第一百中学校联考期末）已知为等比数列的前项和，，，则（

）A．3 B． C． D．【答案】C【详解】由题意知，为等比数列的前n项和，则成等比数列，由等比中项，得，即，解得或（舍去）.故选：C例题2．（2023下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【详解】法一：设等比数列的公比为，若，则，所以；由，得，即，所以，解得，则.故选：C.法二：设等比数列的公比为，若，则，所以；由等比数列的性质知成等比数列，其公比为，设，显然，则，，所以，所以.故选：C.例题3．（2023·高三课时练习）已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为．【答案】【详解】解：设公比为.当时，，则，此时有；当时，因为，，，所以，，所以，，所以，当时，有最小值为.综上所述，的最小值为.故答案为：.精练核心考点1．（2024上·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校联考期末）记为等比数列的前项和，若，，则（

）A．48 B．81 C．93 D．243【答案】C【详解】设等比数列的公比为，因为，，若，则，得，则，故，则，所以，所以，所以.故选：C.2．（2023下·湖北宜昌·高二校联考期中）已知等比数列的前项和为，且，若，，则（

）A．27 B．45 C．65 D．73【答案】C【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，所以有，即，整理可得，解得（舍）或.又因为，所以有，解得.故选：C.3．（2023上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）设等比数列的前项和是.已知,，则.【答案】13【详解】因为是等比数列的前项和且，所以，，也成等比数列，则.因为,，所以，解得.所以.故答案为：.题型七：重点考查等比数列奇偶项和典型例题例题1．（2023上·重庆·高二重庆一中校考期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】因为等比数列有项，则奇数