（圆梦高考数学）专题6.4 平面向量复数综合练（含答案及解析）

专题6.4平面向量，复数综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（

）A． B．6 C．4 D．2．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知向量，向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（

）

A． B．C． D．4．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知复数满足，则（

）A．1 B． C． D．5．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．66．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（

）A． B． C． D．7．（2023·江苏南京·校考二模）已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，（

）A． B．C． D．8．（2023春·北京海淀·高三北大附中校考期中）设，是平面向量，则“是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（2023春·山西太原·高三统考期中）已知复数、，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则C．若，则、中至少有个是D．若且，则10．（2023春·山东枣庄·高三统考期中）石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边形，正六边形为其中的一个六元环，设，P为正六边形内一点（包括边界），则下列说法正确的是（

）A． B．C．在上的投影向量为 D．的取值范围为11．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）下列说法正确的有（

）A．若，，则B．已知向量，，则C．若且，则和在上的投影向量相等D．若复数，（），其中是虚数单位，则的最大值为12．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）已知复数满足，，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（

）A．的共辄复数为 B．当时，为纯虚数C．若，则 D．若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______．14．（2023春·陕西咸阳·高三统考期中）已知复数是关于的方程的一个根，则_________.15．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的___________．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）16．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知，，，则点A、B、C、D中一定共线的三点是______.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023·高三单元测试）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；(2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值．18．（2023春·吉林·高三东北师大附中校考期中）如图，向量，为单位向量，，点在内部，，，.(1)当时，求，的值；(2)求的取值范围.19．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）若定义一种运算：.已知为复数，且.(1)求复数；(2)设为实数，若为纯虚数，将表示为的函数并求该函数的单调递增区间.20．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）已知复数，其中为实数且．(1)若，求；(2)若为纯虚数，且，求的取值范围．21．已知平面向量满足，．(1)若不共线，且与共线，求的值；(2)若的最小值为，求向量的夹角大小．22．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期中）已知向量，，．(1)若，求实数k；(2)设满足，且，求的坐标．

专题6.4平面向量，复数综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（

）A． B．6 C．4 D．【答案】D【分析】根据复数代数形式的运算法则化简，再根据复数的定义得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为，因为复数为纯虚数，所以，解得.故选：D2．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知向量，向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据投影向量的定义即可求解.【详解】由题意知，的单位向量为，所以向量在方向上的投影向量为，故选：D.3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】用向量的线性运算把向量分解成形式即可得答案.【详解】∵，∴，故选：B．4．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知复数满足，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】先利用题意算出，然后利用复数模的公式即可求解【详解】由可得，所以故选：D5．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】设，然后可得，然后根据二次函数的知识可得答案.【详解】因为在等腰直角中，斜边，所以，因为、，所以，设，则，所以当时，取得最小值，故选：B6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，船的实际速度与水流速度垂直，作出图形，求出的值，即可求得船所需的时间.【详解】若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直，作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示：由题意可知，，且，，由勾股定理可得，因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间，则.故选：B.7．（2023·江苏南京·校考二模）已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，先分别表示出，，再由向量的数量积运算得到，从而得到为的重心，即可得到结果.【详解】设，则，，，，或（舍去），为的重心，，为的中点，，故选：B．8．（2023春·北京海淀·高三北大附中校考期中）设，是平面向量，则“是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据向量数量积的定义及共线的性质，结合充分必要性定义判断条件间的推出关系，即得答案.【详解】由，即，故，所以不一定成立；由（非零向量）时，若反向共线，则，若同向共线，则，所以也不一定成立；综上，“是“”的既不充分也不必要条件.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（2023春·山西太原·高三统考期中）已知复数、，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则C．若，则、中至少有个是D．若且，则【答案】ACD【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用虚数不能比较大小可判断B选项；利用复数的三角形式的代数运算结合反证法可判断C选项；利用复数的运算性质结合C选项可判断D选项.【详解】设，，对于A选项，，所以，，因为，则，所以，，A对；对于B选项，若、中至少有一个为虚数，则、不能比较大小，B错；对于C选项，若，假设、均不为零，则，，则存在、，使得，，则，因为，则、不可能同时为零，所以，，故假设不成立，所以，、中至少有一个为零，C对；对于D选项，，则，因为，则，由C选项可知，，即，D对.故选：ACD.10．（2023春·山东枣庄·高三统考期中）石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边形，正六边形为其中的一个六元环，设，P为正六边形内一点（包括边界），则下列说法正确的是（

）A． B．C．在上的投影向量为 D．的取值范围为【答案】BCD【分析】建系，利用向量坐标的运算判断A、B、C，对于D：结合向量的投影分析运算.【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得.对于A：因为，则，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：因为，则，所以在上的投影向量为，故C正确；对于D：分别过、作直线的垂线，垂足分别为、，则，可得在上的投影的取值范围为，且，所以的取值范围为，故D正确；故选：BCD.11．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）下列说法正确的有（

）A．若，，则B．已知向量，，则C．若且，则和在上的投影向量相等D．若复数，（），其中是虚数单位，则的最大值为【答案】CD【分析】取可判断A；根据平面向量的坐标运算直接计算可判断B；根据投影向量公式直接求解可判断C；利用复数的几何意义可判断D.【详解】选项A，若，满足，，但与不一定共线，故A错误；选项B，因为向量，，所以，故B错误；选项C，因为且，在上的投影向量为，在上的投影向量，所以．故C正确；选项D，由题意可得，对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，对应的点为，如图所示，则，故D正确．故选：CD．

12．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）已知复数满足，，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（

）A．的共辄复数为 B．当时，为纯虚数C．若，则 D．若，则【答案】CD【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A，B,根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C，结合复数模长公式即可判断D.【详解】A选项：由于，所以的共轭复数为，故选项A错误，,B选项：当当时，，若，则为为实数，故选项B错误；C选项：易知，，又，则，即，故选项C正确;D选项：由于，则，，，故，选项D正确．故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______．【答案】【分析】由，求得，再设，求得，进而得到的取值范围.【详解】因为向量，，由，可得，解得，设，可得，即，解得，此时向量与共线，所以当与的夹角是锐角时，则满足或，所以的取值范围是.故答案为：.14．（2023春·陕西咸阳·高三统考期中）已知复数是关于的方程的一个根，则_________.【答案】【分析】根据实系数方程虚根成对原理可得复数也是方程的一个根，利用韦达定理及复数代数形式的运算法则求出、，即可求出其模.【详解】因为复数是关于的方程的一个根，所以复数也是关于的方程的一个根，所以，所以、，所以.故答案为：15．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的___________．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）【答案】外心【分析】为中点，连接，计算，，得到，得到答案.【详解】如图所示：为中点，连接，，，故，即，故的轨迹一定经过的外心.故答案为：外心16．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知，，，则点A、B、C、D中一定共线的三点是______.【答案】A、B、D【分析】根据已知向量，结合向量加法法则、共线基本定理判断向量是否共线，即可判断点共线.【详解】由不存在实数使成立，故A，C，D三点不共线，同理A、B、C以及B、C、D均不共线，又，故与共线，故三点A、B、D共线.故答案为：A、B、D四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023·高三单元测试）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；(2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由向量的加法和数量积运算将转化为，再由的值和的范围可求得结果.（2）令可得点T在BC上，再将转化为，由、的范围可求得结果.【详解】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N．所以O为MN的中点，所以，所以．因为Q是BC的中点，所以，，所以，即的取值范围为；（2）令，则，∴，即：∴∴点T在BC上，又因为O为MN的中点，所以，从而，，因为，所以，即的最小值为．18．（2023春·吉林·高三东北师大附中校考期中）如图，向量，为单位向量，，点在内部，，，.(1)当时，求，的值；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）以为原点，建立平面直角坐标系，设，其中，根据，得到，再由，得到，联立方程组求得，结合，列出方程，即可求解；（2）根据题意得到，其中，结合，求得，得到，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：以为原点，以所在的直线为轴，以过点垂直轴的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为向量，为单位向量且，可得，设，其中，可得，又因为，可得，即，由，可得，联立方程组，解得，又由，可得，可得.（2）解：因为且，可得，所以，其中，又因为，可得，可得，解得，所以，因为，可得，当时，即，此时，可得取得最大值，又由，所以的取值范围为.19．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）若定义一种运算：.已知为复数，且.(1)求复数；(2)设为实数，若为纯虚数，将表示为的函数并求该函数的单调递增区间.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）根据新定义运算可得，设，根据共轭复数的概念及复数相等即可求解；（