（圆梦高考数学）专题6.2 数量积及最值（范围）问题（含答案及解析）

专题6.2数量积及最值（范围）问题题型一求数量积题型二求两个向量的夹角题型三求投影向量题型四垂直关系的判断及应用题型五向量的模题型六数量积的最值、范围问题（基底法）题型七数量积的最值、范围问题（坐标法）题型八数量积的最值、范围问题（数形结合法）题型一 求数量积例1．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量，，（），则（

）A．5 B． C． D．例2．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知单位向量，满足，则_______．练习1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知向量，则______．练习2．（2023·全国·高三专题练习）矩形中．，．若点，满足，，则（

）A．20 B．15 C．9 D．6练习3．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）已知是的外心，，，则（

）A．10 B．9 C．8 D．6练习4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，，则__________.练习5．（2023·广东汕头·统考三模）在中，，，，，求_________.题型二 求两个向量的夹角例3．（2023春·广东深圳·高一深圳市建文外国语学校校考期中）已知平面向量且(1)求向量与向量的坐标；(2)若向量，求向量与向量的夹角例4．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．练习6．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知向量，，.(1)若与垂直，求实数的值；(2)求的值.练习7．（2023·山东烟台·统考二模）已知向量，则与夹角的大小为_____________．练习8．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知，，与的夹角为，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围___________.练习9．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知单位向量，满足，则，夹角的余弦值为__________.练习10．（2023春·浙江温州·高三乐清市知临中学校考期中）设，.(1)求；(2)若，且，与的夹角为，求x，y的值.题型三 求投影向量例5．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知，则向量在向量上的投影向量为___________.例6．（2023春·江苏泰州·高一江苏省口岸中学校考阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量的模为（

）A．2 B． C．1 D．练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则在上的投影向量______.练习12．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．练习13．（2023·云南保山·统考二模）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．练习14．（2023春·全国·高三专题练习）已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．练习15．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（

）A．3 B．6 C．7 D．9题型四 垂直关系的判断及应用例7．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知向量，满足，，且，则_____．例8．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.练习16．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）平面向量，若，且，则（

）A．2 B．-2 C．4 D．-4练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若______，则.注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.练习18．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点，点，点在坐标轴上，且为直角，这样的点有______个．练习19．（2023春·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）在中，若非零向量与满足，，则为（

）A．三边均不相等的三角形 B．等腰直角三角形C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形练习20．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考期中）已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角．题型五 向量的模例9．（江西省2023届高三高考适应性大练兵联考数学（理）试题）已知单位向量，满足，则__________．例10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知向量满足，则（

）A． B． C． D．5练习21．（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期中）若非零向量满足，则夹角的余弦值为________．练习22．（2023·湖北·统考模拟预测）已知向量，若，则__________.练习23．（2023·北京·人大附中校考三模）已知向量，与共线，则=（

）A．6 B．20 C． D．5练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知向量是非零向量，λ、，则“”是“”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件练习25．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐标为__________．题型六 数量积的最值、范围问题（基底法）例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为______．例12．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）．(1)求的值；(2)若点满足，求的最小值，并求此时的．练习26．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则__________，的最小值为___________.练习27．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.练习28．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（

）

A． B． C． D．练习29．（2023春·全国·高三专题练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．练习30．（2023·全国·高一专题练习）在直角三角形中，在线段上，，则的最小值为___________.题型七 数量积的最值、范围问题（坐标法）例13．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知中，，，，点为边上的动点，则的最小值为_________.例14．（2023·天津滨海新·统考三模）在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________．练习31．（2023·上海·高三专题练习）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为____________．练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．2练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________．题型八 数量积的最值、范围问题（数形结合法）例15．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知平面向量，，满足，，，且，则的最大值为________．例16．（2023·上海·高三专题练习）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为______．练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．2练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________．练习36．（2022秋·湖北荆门·高二荆门市龙泉中学校考阶段练习）已知平面向量，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．练习37．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知是平面向量，其中是单位向量．若非零向量与的夹角是，向量满足，则的最小值是（

）A． B． C．2 D．练习38．（2022秋·江西吉安·高三吉安一中校考期中）已知平面向量，，，，满足，，，若，则的取值范围是________．练习39．（2023春·北京·高三北京市第一六六中学校考阶段练习）已知向量满足，则的最大值是（

）A． B．C． D．练习40．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，且，则的最大值是_______；最小值是________．

专题6.2数量积及最值（范围）问题题型一求数量积题型二求两个向量的夹角题型三求投影向量题型四垂直关系的判断及应用题型五向量的模题型六数量积的最值、范围问题（基底法）题型七数量积的最值、范围问题（坐标法）题型八数量积的最值、范围问题（数形结合法）题型一 求数量积例1．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量，，（），则（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】求出向量的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案.【详解】由题意向量，，可得，故，故选：B例2．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知单位向量，满足，则_______．【答案】/【分析】根据向量的运算法则和数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】因为，所以．故答案为：.练习1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知向量，则______．【答案】【分析】利用数量积的坐标运算法则计算可得.【详解】因为，，所以．故答案为：．练习2．（2023·全国·高三专题练习）矩形中．，．若点，满足，，则（

）A．20 B．15 C．9 D．6【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量数量积公式求出答案.【详解】四边形为矩形，建立如图所示，平面直角坐标系，，，，，，．故选：C．练习3．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）已知是的外心，，，则（

）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】A【分析】根据三角形外心的性质，结合数量积的几何意义以及数量积运算律，即可求得答案.【详解】如图，O为的外心，设为的中点，则,故,故选：A练习4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，，则__________.【答案】【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.【详解】设与交于，则且是线段的中点，，由平面向量数量积的几何意义知，.故答案为：练习5．（2023·广东汕头·统考三模）在中，，，，，求_________.【答案】/0.75【分析】根据已知条件得出,,化简应用数量积公式计算求解即得.【详解】，，，,,.故答案为：题型二 求两个向量的夹角例3．（2023春·广东深圳·高一深圳市建文外国语学校校考期中）已知平面向量且(1)求向量与向量的坐标；(2)若向量，求向量与向量的夹角【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据已知条件，结合向量平行和垂直的性质，求解，可求解；（2）根据已知条件，结合向量的夹角公式，即可求解．【详解】（1），，解得，，，解得，，；（2）由（1）可得，,,,，,,,，设向量，的夹角为，则，,，，故向量，的夹角为．例4．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得，从而可求得，再根据即可得解.【详解】由，得，即，所以，则，，则，又，所以，即向量与的夹角为.故选：D.练习6．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知向量，，.(1)若与垂直，求实数的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）确定，再根据向量垂直解得答案.（2）直接根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1），且与垂直，故，解得.（2）.练习7．（2023·山东烟台·统考二模）已知向量，则与夹角的大小为_____________．【答案】【分析】根据题意可得，结合平面向量数量积的定义计算即可求解.【详解】由，得，由，得，即，得，所以，又，所以，即与的夹角为.故答案为：.练习8．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知，，与的夹角为，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围___________.【答案】【分析】两向量夹角为锐角，则其数量积大于零，且这两个向量不共线，由此计算即可.【详解】∵向量与的夹角是锐角，∴且向量与向量不共线，由得，∴，∴，即，解得或，若向量与向量共线，则，无解，∴向量与向量不共线，∴实数的取值范围是.故答案为：.练习9．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知单位向量，满足，则，夹角的余弦值为__________.【答案】/【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示，结合数量积运算律求出，即可求出夹角的余弦值.【详解】单位向量，满足，则，因此，所以，夹角的余弦值为.故答案为：练习10．（2023春·浙江温州·高三乐清市知临中学校考期中）设，.(1)求；(2)若，且，与的夹角为，求x，y的值.【答案】(1)(2)，或，【分析】（1）根据向量夹角得坐标表示计算即可；（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.【详解】（1）由，，得，，，则，又，所以；（2）因为，，所以，又，所以，又，即，由，解得或，∴，或，.题型三 求投影向量例5．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知，则向量在向量上的投影向量为___________.【答案】/【分析】设之间的夹角为，利用题意得到，，然后用投影向量公式进行求解即可【详解】设之间的夹角为，，又，又，所以向量在向量方向上的投影向量为.故答案为：.例6．（2023春·江苏泰州·高一江苏省口岸中学校考阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量的模为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】求出在上的投影向量的坐标，从而求出投影向量的模．【详解】∵，，∴，，∴在上的投影向量为，则在上的投影向量的模为．故选：C．练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则在上的投影向量______.【答案】【分析】根据在上的投影向量即可求解.【详解】设与的夹角为，在上的投影向量.故答案为：.练习12．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量在向量上的投影向量.【详解】设向量与的夹角为，则，则在上的投影向量为．故选：B．练习13．（2023·云南保山·统考二模）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据投影向量定义可得答案.【详解】由己知条件得：，又在方向上的投影向量为.故选：D.练习14．（2023春·全国·高三专题练习）已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算律求在上的投影向量.【详解】在上的投影向量为，，所以，在上的投影向量为.故选：B练习15．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（

）A．3 B．6 C．7 D．9【答案】C【分析】先根据投影向量的公式结合题干条件得到，然后利用向量的运算将用表示，然后用向量的数量积进行运算.【详解】

根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为，由题意，，于是，即.又，∴．故选：C题型四 垂直关系的判断及应用例7．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知向量，满足，，且，则_____．【答案】/0.5【分析】根据求出，再根据夹角公式可求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.例8．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.【答案】/-0.5【分析】由得，从而求得的值.【详解】因为，所以，由题易知，，所以.故答案为：练习16．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）平面向量，若，且，则（

）A．2 B．-2 C．4 D．-4【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标表示可得m，然后结合可得.【详解】∵，，∴，解得或，又∵，∴.故选：D.练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若______，则.注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.【答案】1（答案不唯一）【分析】根据向量垂直时数量积的表示方法，运用坐标运算求解.【详解】因为是相互垂直的单位向量，不妨设，即，，即，即向量的端点在圆心为，半径为的圆周上，故可以取，即；故答案为：1.练习18．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点，点，点在坐标轴上，且为直角，这样的点有______个．【答案】4【分析】分情况讨论，设出轴上点坐标，利用向量的数量积为0建立方程，由判别式确定解得个数即可.【详解】若P在x轴上，可设，则，由为直角可得，即，，故有两解；当P在y轴上，可设，则，由为直角可得，即，，故两解.综上，四个解且无重合点，可知符合条件的点有4个，故答案为：4练习19．（2023春·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）在中，若非零向量与满足，，则为（

）A．三边均不相等的三角形 B．等腰直角三角形C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量减法及数量积的运算律，结合导出，再判断三角形形状作答.【详解】由，得，于是，则，所以是等腰直角三角形，B正确，ACD错误.故选：B练习20．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考期中）已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.【详解】（1）向量，，则，所以.（2）由，，得，解得，由，得，于是，而，则有，所以向量与向量的夹角.题型五 向量的模例9．（江西省2023届高三高考适应性大练兵联考数学（理）试题）已知单位向量，满足，则__________．【答案】/【分析】将两边平方，根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为，为单位向量且满足，所以，即，即，解得.故答案为：例10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知向量满足，则（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根据模长的坐标运算可得，分析可得同向，进而可求结果.【详解】因为，即，则同向，所以.故选：D.练习21．（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期中）若非零向量满足，则夹角的余弦值为________．【答案】/【分析】利用给定等式，结合数量积的运算律求出的表达式，再利用向量夹角公式计算作答.【详解】由，，得，则，因此，所以夹角的余弦值为.故答案为：练习22．（2023·湖北·统考模拟预测）已知向量，若，则__________.【答案】【分析】由得，根据向量数量积的坐标运算求得的值，进而求得.【详解】根据题意，因为，所以，所以，所以，所以，此时，则.故答案为:.练习23．（2023·北京·人大附中校考三模）已知向量，与共线，则=（

）A．6 B．20 C． D．5【答案】C【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.【详解】由题意知，又，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知向量是非零向量，λ、，则“”是“”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据得，两边平方化简即可得即或，由此即可判断．【详解】若，则，两边平方可得，即，即，即或，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A．练习25．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐标为__________．【答案】/；.【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求，根据向量的模与数量积的关系由条件求，再由投影向量的定义求在上的投影向量的坐标.【详解】因为，所以，由可得，所以，即所以，所以在上的投影向量为．故在上的投影向量的坐标为.故答案为：；.题型六 数量积的最值、范围问题（基底法）例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为______．【答案】【分析】根据题意，，，利用向量的数量积运算即可求解.【详解】连接MD，则，，所以，由于为等腰直角三角形，为线段上的点，所以因此，所以，即的最小值为.故答案为：.例12．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）．(1)求的值；(2)若点满足，求的最小值，并求此时的．【答案】(1)(2)【分析】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果；（2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果.【详解】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以，所以，所以.（2）因为，所以，因为，所以，所以当时，取得最小值.练习26．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则__________，的最小值为___________.【答案】【分析】由平行四边形的面积为，可得，由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】因为平行四边形的面积为，所以，得，如图，连接，则,所以，因为三点共线，所以，得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：，.练习27．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.【答案】【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.【详解】是BC中点，，M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，，同理可得，.故答案为：.练习28．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，求出的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答.【详解】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，

因为，即是正三角形，于是，而M为AB的中点，且，所以.故选：A【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点为向量端点的向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.练习29．（2023春·全国·高三专题练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出的范围【详解】法一：因为在上，不妨设，则（其中）所以，因为，所以法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点，其中，，∴∵∴故选：D.练习30．（2023·全国·高一专题练习）在直角三角形中，在线段上，，则的最小值为___________.【答案】/【分析】由题可知，，，设，则，将模长和数量积代入由二次函数的性质求出最小值.【详解】由题可知，，，设，则则所以，当时，的最小值为.故答案为：.题型七 数量积的最值、范围问题（坐标法）例13．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知中，，，，点为边上的动点，则的最小值为_________.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算求解即可.【详解】过作，垂足为，以为原点，直线，分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图，在中，，，∴，，，由题意，设，，则，，∴，∴当时，的最小值为.故答案为：.例14．（2023·天津滨海新·统考三模）在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________．【答案】【分析】作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标法求出的最小值.【详解】过点作垂直于点，则向量为向量在向量上的投影向量，由题意知点为线段的中点，所以，所以，又为锐角，故.以点为坐标原点，为轴建系如图，则，，.因为，所以.因为点为线段上的动点，所以设，故点.，.当时，取到最小值.故答案为：；.

练习31．（2023·上海·高三专题练习）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为____________．【答案】4【分析】建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案.【详解】由在直角梯形中．，则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，设，则，故，所以，故，当且仅当即时取得等号，即的最小值为4，故答案为：4练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.【详解】构建如下直角坐标系：，令，，由可得：，则且，所以当时，的最大值为.故选：C练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.【详解】如图建立平面直角坐标系，则，∴，设，，∴，又，∴，解得，∴，即的最小值为.故选：B.练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.【答案】6【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.【详解】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），因为，所以，所以，所以，所以，所以当，即时，的最小值为6.故答案为：6练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________．【答案】【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示求得的表达式，配方后即可求得答案.【详解】如图，以正六边形的中心为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则,设点，则,故，故当，即P点坐标为时，取到最小值为，故答案为：【点睛】方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得的表达式即可求解最值.八、未命题型八 数量积的最值、范围问题（数形结合法）例15．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知平面向量，，满足，，，且，则的最大值为________．【答案】/【分析】设，由题意分析知，所求为的最大值，设，的中点，由可得，即点的轨迹方程为以为圆心，半径为的圆，求解即可.【详解】设，因为，所以，所求为的最大值，当在同一平面时，有最大值，如图建系，不妨设，的中点，由条件可知，，，，由可知，，消参可得：，即点的轨迹方程为以为圆心，半径为的圆，所以的最大值为，故的最大值为.故答案为：.例16．（2023·上海·高三专题练习）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为______．【答案】【分析】由向量平行的坐标表示可得，在坐标系中，，将按向量平移至，根据轨迹为直线，将问题化为最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.【详解】由，又向量与互相平行，所以，故，令，，则，所以，将按向量平移至，所以是直线上的动点，如下图示，所以，故，由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.故答案为：练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.【详解】构建如下直角坐标系：，令，，由可得：，则且，所以当时，的最大值为.故选：C练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.【详解】如图建立平面直角坐标系，则，∴，设，，∴，又，∴，解得，∴，即的最小值为.故选：B.练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.【答案】6【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.【详解】如图，以点为坐标原点，