（圆梦高考数学）专题5.2 诱导公式及三角恒等变换（含答案及解析）

专题5.2诱导公式及三角恒等变换题型一利用诱导公式进行化简与求值题型二利用互余互补关系进行求值题型三三角恒等变换的简单化简与求值题型四辅助角公式的应用题型五给角求值型题型六给值求值型题型七给值求角型题型八三角恒等式的证明题型一 利用诱导公式进行化简与求值例1．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知，则的值为（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，终边经过点．(1)求的值；(2)求的值．练习1．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）（

）A． B． C． D．练习2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知，，且满足，则（

）A． B． C． D．练习3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______．练习4．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求的值.练习5．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知点是角终边上一点，则（

）A． B． C． D．题型二 利用互余互补关系进行求值例3．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知，则___________．例4．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）若，则__________.练习6．（2021·高三课时练习）已知，则＝（）A． B． C． D．练习7．（2023春·浙江宁波·高三校考阶段练习）已知，则等于（

）A． B． C． D．练习8．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．练习9．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知向量，，若，则等于（

）A． B．C． D．练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为______.题型三 三角恒等变换的简单化简与求值例5．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）下列各式中，值为的是（

）A． B． C． D．例6．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．练习11．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）已知，则的值为（

）A． B． C． D．练习12．（2023春·江苏泰州·高三江苏省口岸中学校考阶段练习）（

）A． B． C． D．练习13．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）如图，三个相同的正方形相接，则__________.练习14．（2023春·北京·高三北京八中校考期中）的值为____________.15．（甘肃省顶级名校2022-2023学年高三下学期期中考试数学试题）（

）A． B．4 C． D．2题型四 辅助角公式的应用例7．（2023·广西·校联考模拟预测）的值所在的范围是（

）A． B． C． D．例8．（2023春·山东青岛·高三校考期中）函数的最大值为__________.练习16．（2023春·广东深圳·高三深圳中学校考期中）函数的最小正周期和振幅分别是（

）A． B． C． D．练习17．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的最小正周期是______．练习18．（2023·全国·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．练习19．（2023·北京·高三专题练习）若函数的最大值为2，则__________，的一个对称中心为__________.练习20．（2021春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）已知函数.(1)求的周期和最大值；(2)若，求的值.题型五 给角求值型例9．（2022春·高三课时练习）求________.例10．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考阶段练习）（多选）下列各式中值为的是（

）A． B．C． D．练习21．（2022·全国·高一专题练习）的值为（）A． B． C． D．练习22．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若，则实数的值为（

）A． B． C． D．练习23．（2022春·江苏淮安·高三淮阴中学校考阶段练习）（多选）下列式子成立的是（

）A． B．C． D．练习24．（2023春·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）计算：（）A． B． C． D．练习25．（2023春·重庆铜梁·高三铜梁中学校校考阶段练习）（多选）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．题型六 给值求值型例11．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．例12．（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校联考期中）已知都是锐角，.(1)求的值；(2)求的值.练习26．（2023春·福建三明·高三永安市第九中学校考阶段练习）若＝2，则tan＝____________.练习27．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知，且，那______.练习28．（2023春·四川成都·高三成都七中统考阶段练习）若，则（

）A．－1 B．1 C．－2 D．2练习29．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考期中）若，，，，则（

）A． B． C． D．练习30．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）若，，则（

）A． B． C． D．题型七 给值求角型例13．（2023春·江苏泰州·高二江苏省口岸中学校考阶段练习）已知，且，.(1)求的值；(2)求的值.例14．（2023春·辽宁·高一校联考期中）已知，.(1)求的值；(2)若，且，求的值.练习31．（2022秋·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）写出一个使等式成立的的值为_______.练习32．（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知，，，，则（

）A．或 B．C． D．练习33．已知，且．(1)求的值；(2)求的值．练习34．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考期中）已知，.(1)求的值；(2)若，，求的值.练习35．（2023春·江苏镇江·高三统考期中）已知，，且，．(1)求；(2)求角的大小．题型八 三角恒等式的证明例15．证明下列恒等式.（1）；（2）.例16．（2022·高一课时练习）证明下列恒等式.（1）；（2）；（3）.练习36．求证：．练习37．（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）求证：．练习38．（2023春·上海浦东新·高三校考阶段练习）求证：(1)；(2)在非直角三角形ABC中，练习39.证明下列各恒等式：；；．练习40．证明：（1）求证：；（2）求证：;

专题5.2诱导公式及三角恒等变换题型一利用诱导公式进行化简与求值题型二利用互余互补关系进行求值题型三三角恒等变换的简单化简与求值题型四辅助角公式的应用题型五给角求值型题型六给值求值型题型七给值求角型题型八三角恒等式的证明题型一 利用诱导公式进行化简与求值例1．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由诱导公式化简，再根据商数公式弦化切即可得答案.【详解】.故选：B.例2．（2023秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，终边经过点．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据任意角三角函数的定义运算求解；（2）根据诱导公式化简求值.【详解】（1）由题知角终边经过点，则，∴，，故.（2）由（1）知，则，故.练习1．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.【详解】.故选：C.练习2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知，，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意结合诱导公式分析判断.【详解】因为，可得，结合，可得，又因为，，则，所以，整理得.故选：B.练习3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______．【答案】7【分析】由已知条件利用同角三角函数关系式求出，从而得出，再利用诱导公式，弦化切即可得结果.【详解】因为，且，所以，所以．所以．故答案为：7.练习4．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)-1【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求得的值；（2）方法：1：由（1）知，结合诱导公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，代入，即可求解；方法2：利用三角函数的定义求得，结合诱导公式，代入即可求解.【详解】（1）解：因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点，由三角函数的定义，可得.（2）解：方法1：由（1）知，则.方法2：由角终边过点，可得，则，，所以.练习5．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知点是角终边上一点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数定义得到，再根据诱导公式计算得到答案.【详解】点是角终边上一点，故，.故选：D题型二 利用互余互补关系进行求值例3．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知，则___________．【答案】/【分析】由，再结合诱导公式，即可求解.【详解】因为，故答案为：例4．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）若，则__________.【答案】/【分析】根据三角函数诱导公式即可求解.【详解】.故答案为：.练习6．（2021·高三课时练习）已知，则＝（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．【详解】∵，则，故选：B．练习7．（2023春·浙江宁波·高三校考阶段练习）已知，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过，利用诱导公式变形计算.【详解】.故选：A.练习8．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）因为，所以，再由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可求出答案；（2）由诱导公式可将所求表达式化简为，即可得出答案.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以.（2）.练习9．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知向量，，若，则等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，则，可求得，然后利用诱导公式求解即可.【详解】因为，所以，即，则，所以.故选：B.练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为______.【答案】【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.【详解】由可得，故答案为：题型三 三角恒等变换的简单化简与求值例5．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）下列各式中，值为的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.【详解】对于A，，A不符合；对于B，，B不符合；对于C，，C符合；对于D，，D不符合.故选：C例6．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为，所以.故选：A.练习11．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】确定得到，，展开计算得到答案.【详解】，，，故，.故选：A练习12．（2023春·江苏泰州·高三江苏省口岸中学校考阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式求解．【详解】．故选：B．练习13．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）如图，三个相同的正方形相接，则__________.【答案】/【分析】根据给定的几何图形，利用差角的正切求解作答.【详解】依题意，，所以.故答案为：练习14．（2023春·北京·高三北京八中校考期中）的值为____________.【答案】2【分析】由变形求解.【详解】解：因为，所以，所以.故答案为：215．（甘肃省顶级名校2022-2023学年高三下学期期中考试数学试题）（

）A． B．4 C． D．2【答案】B【分析】根据两角差的正弦公式和二倍角的正弦公式可求出结果.【详解】．故选：B题型四 辅助角公式的应用例7．（2023·广西·校联考模拟预测）的值所在的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用辅助角公式变形，再探讨角所在区间即可判断作答.【详解】，而，则，即有，所以的值所在的范围是.故选：A例8．（2023春·山东青岛·高三校考期中）函数的最大值为__________.【答案】【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简函数为，可得最大值.【详解】，其中，所以的最大值为.故答案为：练习16．（2023春·广东深圳·高三深圳中学校考期中）函数的最小正周期和振幅分别是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用辅助角公式化简可得，结合最小正周期和振幅的概念即可求解.【详解】，所以最小正周期为，振幅为1.故选：A.练习17．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的最小正周期是______．【答案】【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可由周期公式求解.【详解】所以最小正周期为，故答案为：练习18．（2023·全国·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用诱导公式和三角恒等变换化简，得到，再对进行配凑，利用诱导公式和二倍角公式求解即可．【详解】因为，，所以，．故选：A练习19．（2023·北京·高三专题练习）若函数的最大值为2，则__________，的一个对称中心为__________.【答案】（答案不唯一）【分析】根据辅助角公式求出A，再由余弦型函数求出对称中心.【详解】由知，，解得，所以，令，可得，即函数的对称中心为，则满足条件的点如，等都可以.故答案为：；（答案不唯一）练习20．（2021春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）已知函数.(1)求的周期和最大值；(2)若，求的值.【答案】(1)，最大值(2)【分析】（1）将化为一般式，求周期与最大值；（2）将两边平方可求的值.【详解】（1），周期，最大值，当时取最大值.（2）由得，两边平方得：，.题型五 给角求值型例9．（2022春·高三课时练习）求________.【答案】/0.5【分析】首先切化弦，然后辅助角公式、诱导公式及二倍角公式化简求值即可.【详解】故答案为：.例10．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考阶段练习）（多选）下列各式中值为的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用二倍角余弦公式以及诱导公式可判断A选项；利用诱导公式以及两角差的正弦公式可判断B选项；利用二倍角正弦公式以及辅助角公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项.【详解】对于A选项，；对于B选项，；对于C选项，，；对于D选项，因为，所以，.故选：BC.练习21．（2022·全国·高一专题练习）的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件逆用二倍角的正弦公式，再用诱导公式化简即得.【详解】.故选：A练习22．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.【详解】由已知可得.故选：A.练习23．（2022春·江苏淮安·高三淮阴中学校考阶段练习）（多选）下列式子成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据两角和差的正切公式及同角三角函数的基本关系一一计算可得；【详解】解：对于A：而，故A错误；对于B：，所以，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：BD练习24．（2023春·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）计算：（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.【详解】因为，所以原式故选：C练习25．（2023春·重庆铜梁·高三铜梁中学校校考阶段练习）（多选）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据三角函数的二倍角的余弦和正切公式计算，即可判断A，C；根据同角的三角函数关系以及诱导公式和二倍角公式化简可判断B；由两角和的正切公式化简可判断D.【详解】，A正确；，B正确；，C错误；因为，故，所以，D正确，故选：ABD题型六 给值求值型例11．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式、倍角余弦公式有，将条件代入求值即可.【详解】.故选：C例12．（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校联考期中）已知都是锐角，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的余弦公式，得解；（2）由，结合二倍角的余弦公式，即可得出答案．【详解】（1）解：因为与都是锐角，所以，，又，所以，，所以，，所以；（2）因为，，，所以，解得：(负值舍去).练习26．（2023春·福建三明·高三永安市第九中学校考阶段练习）若＝2，则tan＝____________.【答案】【分析】根据弦切互化可得，由正切的二倍角公式可得，进而利用正切的和角公式即可代入求值.【详解】，解得，所以，故故答案为：练习27．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知，且，那______.【答案】【分析】利用同角三角函数的关系求出，再利用诱导公式转化，即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以.故答案为：.练习28．（2023春·四川成都·高三成都七中统考阶段练习）若，则（

）A．－1 B．1 C．－2 D．2【答案】A【分析】解法一：将与展开并用和差公式化简得，从而求得值.解法二：令，则，代入条件利用和差公式化简得，从而求得值.【详解】解法一：由题得，所以，即，即，显然，故.解法二：令，则，所以可化为，即，所以，即，所以，则，，所以，.故选：A.练习29．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考期中）若，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案.【详解】因为，，所以，所以，.又，所以.所以，.故选：C.练习30．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的范围和，得到和的值，即可求出的值【详解】由题意，，，∴，，∴，，∴，故选：D.题型七 给值求角型例13．（2023春·江苏泰州·高二江苏省口岸中学校考阶段练习）已知，且，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函数关系式可求得，根据，利用两角和的正弦公式可求得结果；（2）根据同角三角函数关系式可求得，由，结合两角差的余弦公式和的范围可求得结果.【详解】（1），，，；（2），，，，，，.例14．（2023春·辽宁·高一校联考期中）已知，.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由两角差公式可得，根据齐次式问题运算求解；（2）根据题意可得，根据两角和差公式分析运算即可.【详解】（1）因为，解得，所以.（2）因为，则，则，可得，所以，则，又因为，则，所以.练习31．（2022秋·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）写出一个使等式成立的的值为_______.【答案】（答案不唯一）【分析】利用通分，两角和的正弦公式及正弦的二倍角公式化简，找出条件关系，求出满足条件的一个角即可【详解】因为所以所以解得：当时，所以使等式成立的的一个值为：故答案为：（答案不唯一）练习32．（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知，，，，则（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根据角度范围得到，，计算，得到答案.【详解】，，，故，故；，，，，故，；，，故.故选：C练习33．已知，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用运算求解；（2）先求出，再分析得到，即得解.【详解】（1）由题意可得：.（2）由（1）可知：，则，∵，，则，，可得，故练习34．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考期中）已知，.(1)求的值；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二倍角的余弦及正切公式化简求值即可；（2）结合角的范围解一元二次方程得，然后根据两角和正切公式求出，然后根据角的范围确定角的大小.【详解】（1）因为，所以，所以，所以（2）因为，所以或.因为，所以，所以.所以因为，，所以，所以.练习35．（2023春·江苏镇江·高三统考期中）已知，，且，．(1)求；(2)求角的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）综合利用同角间的三角函数的关系，二倍角公式和两角和的余弦公式进行计算；（2）根据已知条件，利用两角和差和倍角三角函数公式依