（圆梦高考数学）题型19 10类球体的外接及内切解题技巧（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定）（含答案及解析）

题型1910类球体的外接及内切解题技巧（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定）技法01技法01特殊几何体外接球的应用及解题技巧技法02墙角问题的应用及解题技巧技法03对棱相等问题的应用及解题技巧技法04侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧技法05侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧技法06二面角与球体综合的应用及解题技巧技法07数学文化与球体综合的应用及解题技巧技法08最值与球体综合的应用及解题技巧技法09内切球综合的应用及解题技巧技法10球心不确定类型的应用及解题技巧技法01特殊几何体外接球的应用及解题技巧对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通常可以直接求解对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通常可以直接求解，是高考的高频考点，常以小题形式考查，需强化训练.知识迁移球的表面积：S＝4πR2球的体积：V＝eq\f(4,3)πR3底面外接圆的半径r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半径等于斜边的一半（3）等边三角形：半径等于三分之二高（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.正棱锥类型h−R2+例1-1．（2020·天津·统考高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.例1-2．（全国·高考真题）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（

）A． B． C． D．球的直径是长方体的体对角线，所以，解得，所以球的表面积为：例1-3．（全国·高考真题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B． C． D．正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积1．（陕西·高考真题）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A． B． C． D．2．（全国·高考真题）设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A．3a2 B．6a2 C．12a2 D．24a23．（全国·高考真题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A． B． C． D．4．（四川·高考真题）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则求的表面积为（

）A． B． C． D．5．（全国·高考真题）已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为.6．（广东·高考真题）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．7．（辽宁·高考真题）若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为．8．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（

）A．B．C．D．技法02墙角问题的应用及解题技巧墙角模型（三条直线两两垂直）墙角模型（三条直线两两垂直）可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可用公式快速求解.知识迁移墙角模型（三条直线两两垂直）补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).例2．（2023·广西模拟）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，且，则球的表面积为A． B． C． D．由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，，求的外接球的表面积1．（2023·天津河西·统考二模）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2023上·浙江·高二校联考期中）在三棱锥中，PA、AB、AC两两垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国阶段练习）三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（

）A． B． C． D．技法03对棱相等问题的应用及解题技巧对棱相等可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解.对棱相等可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解.知识迁移推导过程:通过对棱相等,可以将其补全为长方体,补全的长方体体对角线为外接球直径,设长方体的长宽高为别为a,b,或者例3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（

）A． B． C． D．四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，，则故，故四面体ABCD外接球的体积为，1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（

）A． B． C． D．3．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．技法04侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧侧棱垂直底面问题可直接补形为侧棱垂直底面问题可直接补形为直棱柱，进而用公式直接计算，可快速求解.知识迁移侧棱垂直与底面-垂面型R=例4-1．（2023·宁夏银川·宁夏育才中学校考三模）三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．先计算底面截面圆半径,由R=r2+h例4-2．（辽宁·高考真题）已知是球表面上的点，，，，，则球表面积等于A．4 B．3 C．2 D．球心O为ＳＣ的中点，所以球Ｏ的半径为，所以1．（2023·山西吕梁·统考二模）在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．2．（2023·海南·统考模拟预测）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则（

）A．1 B． C． D．23．（2023·四川·校联考模拟预测）在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知正方体的棱长为2，为棱上的一点，且满足平面平面，则四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．技法05侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧侧面垂直于底面侧面垂直于底面是切接问题中相对较难的模型，需要先确定球心位置，然后求出半径即可求解，需重点强化练习.知识迁移侧面垂直与底面-切瓜模型如图：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC为小圆直径)

（1）由图知球心O必为△PAC的外心,即△PAC在大圆面上,先求出小圆面直径AC的长;

（2如图：:平面PAC⊥平面BAC（1）确定球心O的位置,由图知P,O,H三点共线;

（2）算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=ℎ

（例5-1．（江西·高考真题）矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．如图：矩形中，因为，所以，设交于，则是和的外心，所以到点的距离均为，所以为四面体的外接球的球心，所以四面体的外接球的半径，所以四面体的外接球的体积.例5-2．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．由可知，，，可求，，，因为平面平面ABEF，平面平面，又，平面，所以平面ABEF，平面ABEF，所以，由，，得，又，同理可得得，又，所以，所以.所以MC为外接球直径，在Rt△MBC中，即，故外接球表面积为．1．（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知三棱锥中，底面为等腰直角三角形，斜边，侧面为正三角形，D为的中点，底面，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2023·江西九江·统考一模）三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2023·河南郑州·校联考二模）如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．技法06二面角与球体综合的应用及解题技巧本文梳理以二面角为背景的外接球问题，这类问题难度较大，对空间想象能力要求较高，基于此本文先给出一般结论，再对其展开详细应用本文梳理以二面角为背景的外接球问题，这类问题难度较大，对空间想象能力要求较高，基于此本文先给出一般结论，再对其展开详细应用，大家需重点强化复习.知识迁移基本原理如下图,所示为四面体P−ABC,已知二面角P−AB−C大小为α,其外接球问题的步骤如下:

(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心,分别记为O1和O2.

(2)分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线,其交点为球心,记为O.

(3)过O1作AB的垂线,垂足记为D,连接O2D如图,设O1、O2为面PAB与面CAB的外接圆圆心,其半径分别为r1、r2,两相交面的二面角P−AB−C记为α,公共弦为AB的弦长为,四面体P−ABC球O的半径R.两圆O1、O2的弦心距:DOR2=r12+r2R例6-1．（2023·河南开封·河南省杞县高中校考模拟预测）在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（

）A．60π B．45π C．30π D．20πBD=2l=6⇒l=3,面BCD,面PCD的外接圆半径分别为r例6-2．（2023上·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）已知是半径为的球体表面上的四点，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．由于设r1,r2分别为面ABC,面ABD的外接圆半径,则R=5,r1=1,r1．（2023上·浙江杭州·高二浙江省浦江中学校联考阶段练习）在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则该三棱锥外接球半径是（

）A． B． C． D．2．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（

）A． B．C． D．技法07数学文化与球体综合的应用及解题技巧数学文化与球体综合数学文化与球体综合是高考中的常考考点，从数学文化切入一方面弘扬古代数学思想，另一方面要建立数学模型，提炼解题突破口，题型难度不一，需重点强化练习例7-1．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵中，，鳖臑的外接球的体积为，则阳马体积的最大值为（

）A． B． C． D．4设的外接球半径为r，则的外接球的体积为．．又阳马的体积为，所以阳马体积的最大值为．例7-2．（2023·全国·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．如图，连接AC，BD，设，因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接，则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M．连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以，连接EP，FQ，在与中，易知，所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且．设，球O的半径为R，连接OE，OA，当O在线段上时，由球的性质可知，易得，则，此时无解．当O在线段的延长线上时，由球的性质可知，，解得，所以，所以球O的表面积，1．（2023·全国·模拟预测）米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是．

2．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为暂堵，再沿堑堵的一顶点与相对棱剖开得一四棱锥和一三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑.（注：图1由左依次是堑堵、阳马、鳖臑）上图中长方体为正方体，由该正方体得上图阳马和鳖臑，已知鳖臑的外接球的体积为，则鳖臑体积为（

）A． B． C．2 D．3．（2023·山东日照·三模）祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1运用祖暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为.

技法08最值与球体综合的应用及解题技巧最值与球体综合最值与球体综合是本节内容中难度较大的知识点，也是高考中的难点，需要同学们多总结类型题，需重点强化练习例8-1．（全国·高考真题）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A． B． C． D．【详解】

如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为例8-2．（2023·云南·统考模拟预测），，，在同一个球面上，是边长为6的等边三角形；三棱锥的体积最大值为，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【详解】如图，三角形ABC的中心为M，球心为O，当时，三棱锥体积最大，，设，则，，外接圆体积为1．（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）如图，球的表面积为，四面体内接于球，是边长为的正三角形，平面平面，则该四面体体积的最大值为（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知四棱锥的底面是矩形，.若四棱锥的外接球的体积为，设是该球上的一动点，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，分别为，，，的中点，为上一点，，当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．技法09内切球综合的应用及解题技巧内切球综合的应用内切球综合的应用在于命题载体的特殊性，特殊几何体较为简单，非特殊几何体可以用万能公式求解知识迁移内切球如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)

（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;

（2）设内切球半径为r,建立等式:V⇒VP−ABC=1结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.例9-1．（全国·高考真题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则该球体积V的最大值是A． B． C． D．【详解】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径例9-2．（2023·浙江台州·统考模拟预测）在四棱锥中，平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形.若四棱锥存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（

）A． B． C． D．由于平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形，所以四棱锥的内切球在等边三角形的“正投影”是等边三角形的内切圆，设等边三角形的内切圆半径为，则，解得，所以内切球的半径为，其表面积为.1．（2023·广东·统考模拟预测）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（

）

A． B．C． D．3．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）已知四面体，且，，面面，则四面体的外接球与内切球的表面积之比为（

）A． B． C． D．4．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（

）A． B． C． D．技法10球心不确定类型的应用及解题技巧球心不确定类型球心不确定类型是本节内容中方法论最少的类型，需要从试题中去总结命题特点，难度最大，需重点强化复习例10．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥的底面是矩形，高为，，，，，则四棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【详解】如图，在矩形中，连接对角线，记，则点为矩形的外接圆圆心，取的中点，连接，记的外接圆圆心为，易知，且共线.因为，平面，所以平面，所以平面，平面，，，平面，所以平面，所以，所以，易得，所以由正弦定理得的外接圆半径为，即.过作平面，且，连接，由平面，可知，则四边形为矩形，所以，则平面.根据球的性质，可得点为四棱锥的外接球的球心，因为，所以四棱锥的外接球的表面积为.

题型1910类球体的外接及内切解题技巧（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定）技法01技法01特殊几何体外接球的应用及解题技巧技法02墙角问题的应用及解题技巧技法03对棱相等问题的应用及解题技巧技法04侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧技法05侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧技法06二面角与球体综合的应用及解题技巧技法07数学文化与球体综合的应用及解题技巧技法08最值与球体综合的应用及解题技巧技法09内切球综合的应用及解题技巧技法10球心不确定类型的应用及解题技巧技法01特殊几何体外接球的应用及解题技巧对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通常可以直接求解对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通常可以直接求解，是高考的高频考点，常以小题形式考查，需强化训练.知识迁移球的表面积：S＝4πR2球的体积：V＝eq\f(4,3)πR3底面外接圆的半径r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半径等于斜边的一半（3）等边三角形：半径等于三分之二高（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.正棱锥类型h−R2+例1-1．（2020·天津·统考高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.例1-2．（全国·高考真题）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（

）A． B． C． D．球的直径是长方体的体对角线，所以，解得，所以球的表面积为：例1-3．（全国·高考真题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B． C． D．正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积1．（陕西·高考真题）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D.考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.2．（全国·高考真题）设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A．3a2 B．6a2 C．12a2 D．24a2【答案】B【详解】方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以球直径为：，所以球的半径为，所以球的表面积是，故选B3．（全国·高考真题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图：则其外接球的半径为球的表面积为；故选B．4．（四川·高考真题）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则求的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正四棱锥的体积公式，列出方程，求得，再利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，设外接球的半径为，则，则正四棱锥的体积为，解得，所以球的表面积为．【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。5．（全国·高考真题）已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为.【答案】【详解】设正四棱锥的高为h，则×()2h＝，解得高h＝.则底面正方形的对角线长为×＝，所以OA＝＝，S球＝4π()2＝24π.6．（广东·高考真题）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．【答案】【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积．【详解】解：正方体的体对角线就是球的直径，设其体对角线的长为，则，所以，所以，所以.故答案为：．7．（辽宁·高考真题）若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为．【答案】【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为,球心为O,一个顶点为A,可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA,再用球的体积公式即可得到外接球的体积.【详解】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为,则球心O是的中点.正六棱柱底面边长为,侧棱长为中,,可得因此,该球的体积为故答案为.【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,属于基础题.8．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】连接，过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为，求得上、下底面所在圆的半径，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，利用球的截面圆的性质，列出方程求得，结合球的体积公式，即可求解.【详解】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，连接，过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为，因为正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，可得，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，可得，，故或，即或，解得，符合题意，所以球的体积为．故选：B.技法02墙角问题的应用及解题技巧墙角模型（三条直线两两垂直）墙角模型（三条直线两两垂直）可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解.知识迁移墙角模型（三条直线两两垂直）补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).例2．（2023·广西模拟）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，且，则球的表面积为A． B． C． D．由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，，求的外接球的表面积1．（2023·天津河西·统考二模）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为三棱锥的外接球直径长，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】在三棱锥中，平面，，，，将三棱锥补成长方体，如下图所示，所以，三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长，设三棱锥的外接球直径为，则，则，因此，三棱锥外接球的表面积为.故选：C.2．（2023上·浙江·高二校联考期中）在三棱锥中，PA、AB、AC两两垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先三棱锥补成长方体，利用长方体的外接球的半径公式，即可求解.【详解】如图，将三棱锥补成长方体，

三棱锥的外接球就是长方体的外接球，所以，则三棱锥外接球的表面积.故选：C3．（2023·全国阶段练习）三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积.【详解】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设，，，则，，，解得，，，.则长方体的对角线的长为.所以球的直径是，半径长，则球的表面积，故选：C.技法03对棱相等问题的应用及解题技巧对棱相等可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解.对棱相等可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解.知识迁移推导过程:通过对棱相等,可以将其补全为长方体,补全的长方体体对角线为外接球直径,设长方体的长宽高为别为a,b,或者例3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（

）A． B． C． D．四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，，则故，故四面体ABCD外接球的体积为，1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.【详解】三棱锥中，，，，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，因此三棱锥外接球的直径为，所以三棱锥外接球的表面积为．故选：A2．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解.【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.所以四面体外接球表面积是.故答案为：B.3．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，证明平面，再确定球心O的位置，求出球半径作答.【详解】在三棱锥中，如图，，则，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，则，，令的外接圆圆心为，则平面，，有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，从而，四边形为平行四边形，，又，因此球O的半径，所以球的表面积.故选：A技法04侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧侧棱垂直底面问题可直接补形为侧棱垂直底面问题可直接补形为直棱柱，进而用公式直接计算，可快速求解.知识迁移侧棱垂直与底面-垂面型R=例4-1．（2023·宁夏银川·宁夏育才中学校考三模）三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．先计算底面截面圆半径,由R=r2+h例4-2．（辽宁·高考真题）已知是球表面上的点，，，，，则球表面积等于A．4 B．3 C．2 D．球心O为ＳＣ的中点，所以球Ｏ的半径为，所以1．（2023·山西吕梁·统考二模）在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设中点，中点，由直角三角形外接圆为斜边中点，且由题意可知，所以底面，则为三棱锥外接球的球心，可解.【详解】设中点，中点，由，，所以的外接圆直径，且圆心为，由于底面，，所以底面，则为三棱锥外接球的球心，所以外接球的直径，所以外接球的体积．故选：B

2．（2023·海南·统考模拟预测）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】由球体积公式求球体半径，正余弦定理求外接圆半径，结合线面垂直模型求即可.【详解】由题意，设球的半径为，则，由，外接圆半径，根据线面垂直模型知：.

故选：A3．（2023·四川·校联考模拟预测）在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用正弦定理求出外接圆的半径，然后利用求出三棱锥外接球的半径，即可算出表面积.【详解】设外接圆的半径为，圆心为，根据正弦定理，则，故，设三棱锥外接球的半径为，球心为O，

由，可知为等腰三角形，过作于，则为中点，由平面，平面，故，则共面，因为平面，平面，所以，又，故，于是四边形为平行四边形，因为，所以四边形为为矩形，则，故三棱锥的外接球的表面积为.故选：A.4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知正方体的棱长为2，为棱上的一点，且满足平面平面，则四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】确定平面，得到，根据勾股定理确定为中点，将四面体放入长方体中，计算半径得到表面积.【详解】如图所示：为的中点，连接，，，

，则，平面，平面平面，平面平面，故平面，平面，故，设，则，，，，即，解得，将四面体放入长方体中，设四面体的外接球半径为，则，，外接球的表面积.故选：A.技法05侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧侧面垂直于底面侧面垂直于底面是切接问题中相对较难的模型，需要先确定球心位置，然后求出半径即可求解，需重点强化练习.知识迁移侧面垂直与底面-切瓜模型如图：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC为小圆直径)

（1）由图知球心O必为△PAC的外心,即△PAC在大圆面上,先求出小圆面直径AC的长;

（2如图：:平面PAC⊥平面BAC（1）确定球心O的位置,由图知P,O,H三点共线;

（2）算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=ℎ

（例5-1．（江西·高考真题）矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．如图：矩形中，因为，所以，设交于，则是和的外心，所以到点的距离均为，所以为四面体的外接球的球心，所以四面体的外接球的半径，所以四面体的外接球的体积.例5-2．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．由可知，，，可求，，，因为平面平面ABEF，平面平面，又，平面，所以平面ABEF，平面ABEF，所以，由，，得，又，同理可得得，又，所以，所以.所以MC为外接球直径，在Rt△MBC中，即，故外接球表面积为．1．（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知三棱锥中，底面为等腰直角三角形，斜边，侧面为正三角形，D为的中点，底面，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设三棱锥外接球的球心为O，确定球心的位置，即球心落在过底面外心的垂线上，利用图形的几何性质求得外接球半径，即可求得答案.【详解】如图，设E是的中点，连接，D为的中点，故,底面为等腰直角三角形，即,故；设三棱锥外接球的球心为O，连接，因为底面为等腰直角三角形，E是的中点，即E为的外心，故平面,在等腰直角三角形中，斜边，则.因为是正三角形，所以，因为，所以三棱锥是正三棱锥，所以O在底面上的射影F是的重心，则点F在上，所以.因为底面，故,而底面，故,又因为，平面,故平面，而平面,故,故四边形是矩形，所以，所以，所以三棱锥外接球的半径，其表面积为，故选：D.2．（2023·江西九江·统考一模）三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中点，连接，，可得平面，平面，取的外心，的外心，分别过，作平面与平面的垂线交于点，即为球心，结合球的性质求得半径，可得三棱锥外接球的表面积.【详解】

解：如图，取中点，连接，，则，，因为平面平面，所以可得平面，平面，取的外心，的外心，分别过作平面与平面的垂线交于点，即为球心，连接，易得，，，.故选：B.3．（2023·河南郑州·校联考二模）如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意说明为等腰直角三角形，根据面面垂直性质推出平面，进而结合球的几何性质，确定三棱锥外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案.【详解】由于，，故，即为等腰直角三角形，取AC的中点为M，连接，

因为，即为正三角形，故,由于平面平面，平面平面，平面，故平面，平面，故；又M为的外心，则三棱锥外接球的球心必在BM上，设的中心为O，则O在BM上且，而，则，即，即O点即为三棱锥外接球的球心，故外接球半径为，所以外接球表面积为，故选：B【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据条件，结合球的几何性质，确定出三棱锥外接球球心的位置，进而求得半径.技法06二面角与球体综合的应用及解题技巧本文梳理以二面角为背景的外接球问题，这类问题难度较大，对空间想象能力要求较高，基于此本文先给出一般结论，再对其展开详细应用本文梳理以二面角为背景的外接球问题，这类问题难度较大，对空间想象能力要求较高，基于此本文先给出一般结论，再对其展开详细应用，大家需重点强化复习.知识迁移基本原理如下图,所示为四面体P−ABC,已知二面角P−AB−C大小为α,其外接球问题的步骤如下:

(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心,分别记为O1和O2.

(2)分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线,其交点为球心,记为O.

(3)过O1作AB的垂线,垂足记为D,连接O2D如图,设O1、O2为面PAB与面CAB的外接圆圆心,其半径分别为r1、r2,两相交面的二面角P−AB−C记为α,公共弦为AB的弦长为,四面体P−ABC球O的半径R.两圆O1、O2的弦心距:DOR2=r12+r2R例6-1．（2023·河南开封·河南省杞县高中校考模拟预测）在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（

）A．60π B．45π C．30π D．20πBD=2l=6⇒l=3,面BCD,面PCD的外接圆半径分别为r例6-2．（2023上·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）已知是半径为的球体表面上的四点，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．由于设r1,r2分别为面ABC,面ABD的外接圆半径,则R=5,r1=1,r1．（2023上·浙江杭州·高二浙江省浦江中学校联考阶段练习）在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则该三棱锥外接球半径是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由三棱锥外接球的定义找到其球心位置，然后代入计算，即可得到结果.【详解】

因为为等边三角形，所以的外心为的重心，连接并延长交于点，则为中点，记的外心为，球心为，连接，，，，则平面，平面，球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，因为平面，平面，所以，，因为，平面，所以平面，而，平面，，所以平面，所以平面与平面重合，即四点共面，所以平面，所以，因为，所以，，，因为，所以，所以，，因为二面角的平面角为为，所以，即，因为，所以四点共圆且为直径，所以，所以，所以，所以，即三棱锥外接球半径是.故选：C2．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用点均在球的表面上可得四点共圆，先证明平面，得出二面角的平面角为，可计算出，再利用勾股定理可得出四边形外接圆的直径为，则，最后利用外接球的表面积公式代入即可得出答案.【详解】因为，所以，因为点均在球的表面上，所以四边形内接于圆，所以，所以，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又，所以二面角的平面角为，所以，在中，因为，所以，由余弦定理可得：，即，即或（舍去），所以，所以外接圆的直径为：，即四边形外接圆的直径为，因为平面，所以，四棱锥外接球的半径为：所以四面体外接球的表面积为.

故选：B.3．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】取AC的中点M，可得即为二面角的平面角，△ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，在平面ABC内，设，然后表示出外接球的半径，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求得答案.【详解】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接，因为，DA=DC，所以，，故即为二面角的平面角，△ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；在平面ABC内，设，则，，因为，所以，所以，所以

令，则，所以，当且仅当时取等，故选:B【点睛】关键点点睛：本题主要考查了三棱锥外接球的求法、三角函数的最值问题，解题的关键是根据题意找出外接球的球心位置，考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力，考查学生的推理运算能力，属于难题.技法07数学文化与球体综合的应用及解题技巧数学文化与球体综合数学文化与球体综合是高考中的常考考点，从数学文化切入一方面弘扬古代数学思想，另一方面要建立数学模型，提炼解题突破口，题型难度不一，需重点强化练习例7-1．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵中，，鳖臑的外接球的体积为，则阳马体积的最大值为（

）A． B． C． D．4设的外接球半径为r，则的外接球的体积为．．又阳马的体积为，所以阳马体积的最大值为．例7-2．（2023·全国·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．如图，连接AC，BD，设，因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接，则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M．连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以，连接EP，FQ，在与中，易知，所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且．设，球O的半径为R，连接OE，OA，当O在线段上时，由球的性质可知，易得，则，此时无解．当O在线段的延长线上时，由球的性质可知，，解得，所以，所以球O的表面积，1．（2023·全国·模拟预测）米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是．

【答案】【分析】首先根据正四棱台的对称性得到外接球的球心所在位置，根据垂直关系列出方程组，解方程组得外接球半径，最后求出外接球表面积即可．【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为，由棱台的性质可知，外接球的球心落在线段上，由题意该四棱台上下底面边长分别为8和6，侧棱长为10，则，，，所以，设外接球的半径为，，则，因为垂直于上下底面，所以，即，又，即，联立解得，，所以该米斗的外接球的表面积为．故答案为：

2．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为暂堵，再沿堑堵的一顶点与相对棱剖开得一四棱锥和一三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑.（注：图1由左依次是堑堵、阳马、鳖臑）上图中长方体为正方体，由该正方体得上图阳马和鳖臑，已知鳖臑的外接球的体积为，则鳖臑体积为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据鳖臑和正方体有相同的外接球，结合球的体积公式计算正方体的棱长，从而利用鳖臑的形成过程求解体积.【详解】鳖臑的外接球和正方体的外接球是同一外接球，由鳌臑的外接球的体积为，得外接球的半径为，即正方体的体对角线长度是，故正方体的棱长为2，所以鳖臑体积为.故选：B3．（2023·山东日照·三模）祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1运用祖暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为.

【答案】【分析】根据条件和图1可得半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积，然后在图2中运用此原理可求得答案.【详解】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径，球体半径为，则，截面圆面；圆柱中截面小圆半径，大圆半径为，则截面圆环面积，所以，又高度相等，所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积.同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积.

如图2，设球体和水接触的上部分为，没和水接触的下部分为，小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积.已知球体半径为，为等边三角形，，根据祖暅原理，，设图2中轴截面为梯形的圆台体积为，，故答案为：.技法08最值与球体综合的应用及解题技巧最值与球体综合最值与球体综合是本节内容中难度较大的知识点，也是高考中的难点，需要同学们多总结类型题，需重点强化练习例8-1．（全国·高考真题）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A． B． C． D．【详解】

如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为例8-2．（2023·云南·统考模拟预测），，，在同一个球面上，是边长为6的等边三角形；三棱锥的体积最大值为，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【详解】如图，三角形ABC的中心为M，球心为O，当时，三棱锥体积最大，，设，则，，外接圆体积为1．（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将三棱锥可以补成长方体，从而得到为三棱锥的外接球的直径，要想体积最小，则最小即可，设，表达出，从而得到，进而求出外接球体积的最小值.【详解】根据题意三棱锥可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中为长方体的对角线，则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小．设，则，，，所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为，所以．故选：A2．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）如图，球的表面积为，四面体内接于球，是边长为的正三角形，平面平面，则该四面体体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据球的表面积求得求得半径，再根据题意得出当时，点到底面的距离最大，求出点到底面的距离即可求出最大值.【详解】因为球的表面积为，所以，由题意知底面三角形的面积为定值，要使四面体体积的最大，只须顶点到底面的距离最大即可，又因为平面平面，可知当时，点到底面的距离最大，外接圆的半径，则到面的距离为，且到面的距离为，设点到平面的距离为，则，解得，此时体积最大值为.故选：B.3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正六棱锥和球的几何性质，结合球的表面积公式、棱锥的体积公式、导数的性质进行求解即可.【详解】设该正六棱锥的高，侧棱长为，设该正六棱锥外接球的半径为，如图，因为正六棱锥外接球的表面积为，所以有，因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，所以，设，在正六边形中，因为正六边形边长为，所以，在中，由余弦定理可知，在直角三角形中，，所以有，由勾股定理可知，因为，所以，因此有4，而，所以，该正六棱锥的体积，，当时，单调递增，所以，，因此该正六棱锥的体积的取值范围是，故选：C4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知四棱锥的底面是矩形，.若四棱锥的外接球的体积为，设是该球上的一动点，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】易得四边形ABCD和三角形PAD的外接圆的圆心，分别再作垂线从而得到外接球的球心，再由为直角三角形，得到其外接圆直径PB，再结合外接球的半径求得球心到面PAB的距离,再加上外接球的半径，得到M到面PAB的最大值距离求解.【详解】解：如图，

在矩形中，连接对角线，记，则点为矩形的外接圆圆心，设，在中，由余弦定理得，即，的外接圆半径为.记的外接圆圆心为，则，取的中点，连接，显然，，且共线，因为，所以平面，即平面，平面，有，而平面，所以平面.过作平面，使，连接，于是，则四边形为矩形，有，则平面，根据球的性质，得点为四棱锥外接球的球心，因为球的体积为，所以，解得，而，在中，，所以外接圆直径.取的中点，连接，显然为外接圆圆心，则平面，且，所以四棱锥的外接球上的点到平面的距离的最大值为8，即三棱锥的高的最大值为8，而，故三棱锥的体积的最大值为.故选：D.5．（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，分别为，，，的中点，为上一点，，当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，，根据中位线性质得到线线平行关系，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，设，，根据得到，得到，再根据基本不等式即可求出最值，再转化为长方体外接球问题即可.【详解】连接，，因为，，，分别为，，，的中点，所以，，，则，因为平面，所以平面，平面，平面，所以，所以，平面，所以．设，，则，，，因为，所以，即，整理得，所以．由基本不等式得，当且仅当，即，时等号成立，所以当取得最小值时，，．因为，平面，所以可将三棱锥补形为如图所示的长方体，则三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易知该长方体外接球的直径为，故三棱锥外接球的半径为，故三棱锥外接球的表面积为，故选：B．【点睛】方法点睛：求解有关三棱锥外接球的问题时，常见方法有两种：一种是补形，解题时要认真分析图形，看能否把三棱锥补形成一个正方体（长方体），若能，则正方体（长方体）的顶点均在外接球的球面上，正方体（长方体）的体对角线为外接球的直径；另一种是直接法，三棱锥中过任意两个面的外接圆圆心的垂线的交点即三棱锥外接球的球心．技法09内切球综合的应用及解题技巧内切球综合的应用内切球综合的应用在于命题载体的特殊性，特殊几何体较为简单，非特殊几何体可以用万能公式求解知识迁移内切球如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)

（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;

（2）设内切球半径为r,建立等式:V⇒VP−ABC=1结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.例9-1．（全国·高考真题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则该球体积V的最大值是A． B． C． D．【详解】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径例9-2．（2023·浙江台州·统考模拟预测）在四棱锥中，平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形.若四棱锥存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（

）A． B． C． D．由于平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形，所以四棱锥的内切球在等边三角形的“正投影”是等边三角形的内切圆，设等边三角形的内切圆半径为，则，解得，所以内切球的半径为，其