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文档简介
PAGE8.3简洁几何体的表面积与体积8.学习目标核心素养1.通过对棱柱、棱锥、棱台的探讨,驾驭棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法.(重点)2.会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积.(难点、易错点)1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算,培育数学运算素养.2.通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究,提升逻辑推理的素养.胡夫大金字塔底边原长230米,高146.59米,经风化腐蚀,现降至136.5米,塔的底角为51°51′.假如把建立金字塔的石块凿成平均一立方英尺的小块,平均每块重2.5吨,像一辆小汽车那样大.问题:(1)如何计算建此金字塔需用多少石块?(2)假如在金字塔的表面涂上一层爱护液以防止风化腐蚀,如何计算爱护液的运用量?1.棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.2.棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高);棱锥的体积公式V=eq\f(1,3)Sh(S为底面面积,h为高);棱台的体积公式V=eq\f(1,3)h(S′+eq\r(S′S)+S).其中,棱台的上、下底面面积分别为S′、S,高为h.思索:简洁组合体分割成几个几何体,其表面积不变吗?其体积呢?[提示]表面积变大了,而体积不变.1.思索辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和. ()(2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和. ()(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同. ()(4)在三棱锥PABC中,VPABC=VAPBC=VBPAC=VCPAB. ()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√2.棱长为3的正方体的表面积为()A.27 B.64C.54 D.36C[依据表面积的定义,组成正方体的面共6个,且每个都是边长为3的正方形.从而,其表面积为6×32=54.]3.长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则长方体的体积与表面积分别为()A.6,22 B.3,22C.6,11 D.3,11A[V=1×2×3=6,S=2(1×2)+2(1×3)+2(2×3)=22.]4.棱长都是3的三棱锥的表面积S为________.9eq\r(3)[因为三棱锥的四个面是全等的正三角形,所以S=4×eq\f(\r(3),4)×32=9eq\r(3).]简洁几何体的表面积【例1】现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.[解]如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,对角线A1C=15,B1D∴a2+52=152,b2+52=92,∴a2=200,b2=56.∵该直四棱柱的底面是菱形,∴AB2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq\s\up12(2)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))eq\s\up12(2)=eq\f(a2+b2,4)=eq\f(200+56,4)=64,∴AB=8.∴直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成基本几何体,再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差,从而获得几何体的表面积,另外有时也会用到将几何体绽开求其绽开图的面积进而得表面积.eq\o([跟进训练])1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是()A.eq\f(3+\r(3),4)a2 B.eq\f(3,4)a2C.eq\f(3+\r(3),2)a2 D.eq\f(6+\r(3),4)a2A[∵侧面都是等腰直角三角形,故侧棱长等于eq\f(\r(2),2)a,∴S表=eq\f(\r(3),4)a2+3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)=eq\f(3+\r(3),4)a2.]简洁几何体的体积【例2】在三棱台ABCA1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1ABC,三棱锥BA1B1C,三棱锥CA1B1[解]设三棱台的高为h,S△ABC=S,则S△A1B1C1=4S∴VA1ABC=eq\f(1,3)S△ABC·h=eq\f(1,3)Sh,VCA1B1C1=eq\f(1,3)S△A1B1C1·h=eq\f(4,3)Sh.又V台=eq\f(1,3)h(S+4S+2S)=eq\f(7,3)Sh,∴VBA1B1C=V台-VA1ABC-VCA1B1=eq\f(7,3)Sh-eq\f(Sh,3)-eq\f(4Sh,3)=eq\f(2,3)Sh,∴三棱锥A1ABC,BA1B1C与CA1B1C求几何体体积的常用方法eq\o([跟进训练])2.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1eq\f(1,6)[利用三棱锥的体积公式干脆求解.VD1EDF=VFDD1E=eq\f(1,3)S△D1DE·AB=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1=eq\f(1,6).]棱台与棱锥之间关系的综合问题【例3】已知正四棱台(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6,高和下底面边长都是12,求它的侧面积.
[解]如图,E,E1分别是BC,B1C1的中点,O,O1分别是下、上底面正方形的中心,则O1O为正四棱台的高,则O1O连接OE,O1E1,则OE=eq\f(1,2)AB=eq\f(1,2)×12=6,O1E1=eq\f(1,2)A1B1=3.过E1作E1H⊥OE,垂足为H,则E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,HE=OE-O1E1=6-3=3.在Rt△E1HE中,E1E2=E1H2+HE2=122+32=32×17,所以E1E=3eq\r(17).所以S侧=4×eq\f(1,2)×(B1C1+BC)×E1E=2×(6+12)×3eq\r(17)=108eq\r(17).在本例中,把棱台还原成棱锥,你能利用棱锥的有关学问求解吗?[解]如图,正四棱台的侧棱延长交于一点P.取B1C1,BC的中点E1,E,则EE1的延长线必过P点(以后可以证明).O1,O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCDCC1的延长线过P点,且有O1E1=eq\f(1,2)A1B1=3,OE=eq\f(1,2)AB=6,则有eq\f(PO1,PO)=eq\f(O1E1,OE)=eq\f(3,6),即eq\f(PO1,PO1+O1O)=eq\f(1,2).所以PO1=O1O=12.在Rt△PO1E1中,PEeq\o\al(2,1)=POeq\o\al(2,1)+O1Eeq\o\al(2,1)=122+32=32×17,在Rt△POE中,PE2=PO2+OE2=242+62=62×17,所以E1E=PE-PE1=6eq\r(17)-3eq\r(17)=3eq\r(17).所以S侧=4×eq\f(1,2)×(BC+B1C1)×E1E=2×(12+6)×3eq\r(17)=108eq\r(17).解决有关正棱台的问题时,常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中去解决;二是把正棱台还原成正棱锥,利用正棱锥的有关学问来解决.方法必备1.棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面绽开图的面积,因此弄清侧面绽开图的形态及侧面绽开图中各线段的长,是驾驭它们的表面积有关问题的关键.2.计算棱柱、棱锥、棱台的体积,关键是依据条件找出相应的底面面积和高,要充分运用多面体的有关截面,将空间问题转化为平面问题.3.在几何体的体积计算中,留意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”.1.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1ACDA.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.1A[三棱锥D1ADC的体积V=eq\f(1,3)S△ADC×D1D=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)=eq\f(1,6).]2.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥B1ABCA.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)[答案]D3.若正方体的棱长为eq\r(2),则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为()A.eq\f(\r(2),3) B.2eq\r(3)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(2),6)B[所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1,高为eq\f(\r(2),2)的四棱锥的侧面积之和,如图,四棱锥的侧棱长l=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(12+12),2)))eq\s\up12(2))=1,所以,以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S=8×eq\f(1,2)×1×1×sin60°=2eq\r(3).故选B.]4.把一个棱长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则全部小正方体的表面积为________.18a2[原正方体的棱长为a,切成的27个小正方体的棱长为eq\f(1,3)a,每个小正方体的表面积S1=eq\f(1,9)a2×6=eq\f(2,3)a2,所以27个小正方体的表面积是eq\f(2,3)a2×27=18
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