中考数学几何图形专项训练：圆（含答案与解析）

中考恁枯&-(8

解题方法

1、圆中常见相似三角形

不含切线

△PACs^PDB

△ABDMAEC

△ACDs^CBD—AABC

2.在圆中解三角形或四边形的常用思路

画出特殊图形:如圆中的特殊三角形、特殊四边形等,在已知条件下，以结果为导向,在这些特殊图

形中求出一些中间量。

题型归纳

题型1:圆与三角形综合

题型2：圆与四边形综合

题型3：圆有关的动态问题•••

题型4:圆与坐标系或函数

题型5:以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题

题型6：最值问题

题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆

题型8：定值问题

题型9:在圆综合中求解三角函数值

题型J：圆与三角形综合

（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知，AD.BC为。O两条弦，AD±BC于点E,连接OE,AE=CE.

⑴如图1,连接OE,求NAEO的度数：

（2）如图2,连接AC,延长EO交AC于点N,点F为AC上一点，连接E尸，在E尸上方作等腰直角三角形

EFG,且4EGF=90°,连接NG,求证：NG〃BC；

⑶在⑵的条件下，连接AB,CD,当点G落在线段4B上时，过点O做04_LOE,交CD于点入，交CE于

点T,若OE=675,EG=2CL,求。O半径的长.

题目。（2024•黑龙江哈尔滨•一模）己知：AB为。。的直径，点。为卷上一点，连接AC,点。为与心上一

点，连接AD,过点。作AB的垂线，垂足为点尸，交。O于点E,连接CE,分别交AD和AB于点H和点K,

且NAHE=90".

（1）如图1,求证：ACAD=ABAD,

（2）如图2,连接加\过点H作*'的垂线交AB于点T,求证：AB=2RT；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接BC交AD于点G,延长CD交AB的延长线于点M,若CM=AG,FT=5,

求CG的长.

题目可（2024•黑龙江哈尔滨•一模）如图1,在0O中，直径AB垂直弦8于点G,连接AD,过点C作CFJ_

AD于F,交AB于点H,交O。于点E,连接。E.

题目国〕（2024.浙江.模拟预测）如图1,AABC内接于。O,作ADJ_B。于点。.

图1图2图3

（1）连结AO,BO.求证：NAOB+2ND4C=180°；

⑵如图2,若点E为弧AC上一点，连结BE交AD于点尸，若NBAD=2NCAD,ADBF+4ZCAD=90°,

连结。尸,求证：OF平分NAFR；

（3）在（2）的条件下，如图3,点G为BC上一点,连结EG，4BGE=2ZC.若凡0=C,班+及7=3,求

。尸的长.

题型2：圆与四边形综合

题目⑸（2024.浙江杭州.模拟预测）如图，四边形ABCD内接于。O,AC为。O的直径，DELAC于点F

交于点£.

图1图2

（1）设a,试用含a的代数式表示NADE；

（2）如图2,若BE=3CE,求黑的值；

（3）在（2）的条件下，若AC,BD交于点G,设景=。，cosZBDE=y.

Ci*

①求夕关于力的函数表达式.

②若BC=B。，求g的值.

题目回（2024•广东珠海•一模）如图1,尸为正方形ABCD边BC上一点，连接AF,在AF上取一点O,以

04为半径作圆，恰好使得。O经过点8且与CD相切于点E.

图1图2

（1）若正方形的边长为4时，求G）。的半径；

（2）如图2,将AF绕点A逆时针旋转45°后，其所在直线与。O交于点G,与边CD交于点H,连接DG,

BG.

①求NADG的度数；

②求证：ABBF+AGFG=BG2.

题型3：圆有关的动态问题

题目0（2024.广东・一模）综合探究：

如图，已知AB=10,以AB为直径作半圆O,半径OA绕点O顺时针旋转得到OC,点A的对应点为C,当

点C与点B重合时停止.连接BC并延长到点使得CD=BC,过点。作DE_LAB于点E,连接AD,

AC.

题目回（2024.浙江湖州•一模）如图，在OABCD中，NB是锐角，AB=6，^,BC=10,在射线BA上取一点

P,过P作PE_LBC于点E,过P,E,C三点作。O.

•••

题型4：圆与坐标系或函数

题目应（2021福建龙岩.一模）如图,抛物线y=-/+3方+4与。轴分别交于A、B两点（点A在点B的左

侧）与y轴交于点C.

⑴直接写出力、B、C三点的坐标：

（2）如图（1）,P是抛物线上异于A,B的一点，将点B绕点P顺时针旋转45°得到点Q,若点Q恰好在直线

AP上，求点P的坐标：

（3）如图（2）,AW是抛物线上异于的两个动点，直线BN与直线CA/交于点T,若直线AGV经过定点

（1,3）,求证:点T的运动轨迹是一条定直线.

题目口口（2024.江苏常州.模拟预测）定义:在平面直角坐标系。Oy中，尸、Q为平面内不重合的两个点，其中

「（。1,统）©（磔统）.若：的+夕1=02+纺，则称点Q为点P的“等和点”.

（1）如图1,已知点尸（2,1）,求点尸在直线y=o+1上''等和点'’的坐标；

（2）如图2,。A的半径为1,圆心4坐标为（2,0）.若点P（0,m）在◎A上有且只有一个“等和点”,求m的

值；

（3）若函数y=—。2+23<m）的图像记为IR,将其沿直线。=小翻折后的图像记为T4.当TR,1%两部分

组成的图像上恰有点P（0,m）的两个“等和点”，请直接写出m的取值范围.

••

题目巨〕（.江苏宿迁.一模）如图在平面直角坐标系xOy中，抛物线加与°轴分别相交于

220241,y=2+k+3

A、B两点，与y轴相交于点C,己知点A的坐标为（一1,0）,点B的坐标为（3,0）.

•••

题目匡〕（2024・江苏宿迁•二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒

的分界线.在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对''楚河汉界线”给出如下定义:点尸（。1,幼）是

图形Gi上的任意一点,点。（啊,纺）是图形G上的任意一点，若存在直线l：y=kx+b（k^O）满足yWkX1

+b且终》上+d则直线y=K+b（A：#O）就是图形G与G2的“楚河汉界线例如:如图1,直线Z：y=F

一4是函数？=旦（。＜0）的图像与正方形OABC的一条“楚河汉界线”.

X

题型5:以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题

If。（2024•陕西西安•一模）【问题提出】

（1）如图1,已知在边长为5的等边中，点D在边3。上，=3,连接AD,则△ACD的面积为」

【问题探究】

⑵如图2,已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且/EAF=45°,若EF=

5,求△AEF的面积；

【问题解决】

（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在AB=4米，AD=4四米的矩形ABCD区域内开

挖一个△AEF的工作面，其中分别在B。、CD边上（不与B、重合），且/EAF=60°,为了减少对

该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF?若存在，请求出△入£?

面积的最小值;若不存在,请说明理由.

•••

量目区（2024•陕西西安・一模）【问题提出】

⑴如图1,点。为4ABC的边BC上一点,连接AD,ABDA=ZBAC,^=,若AABD的面积为4,则

A.IDo

△ACD的面积为；

【问题探究】

（2）如图2,在矩形ABCD中，AB=6,6。=5,在射线BC和射线CD上分别取点E、F,使得祟=2,连接

CF5

AE.BF相交于点P,连接CP,求CP的最小值；

【问题解决】

（3）如图3,菱形ABCD是某社区的一块空地，经测量，AB=120米，乙4BC=60°.社区管委会计划对该空

地进行重新规划利用，在射线AD上取一点E,沿BE、CE修两条小路，并在小路BE上取点H,将CH段铺

设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，2BHC=/BCE,为了节省铺

设成本，要求休闲通道CH的长度尽可能小，问CH的长度是否存在最小值？若存在，求出S长度的最小

值;若不存在,请说明理由.

图1图2图3

•••

题型6：最值问题

题目正（2024•湖南长沙•三模）如图1,A,B,C为0O上不重合的三点,GC为0O的切线，yZG+ZA=

90°.

图1图2

—

题目叵（2024•重庆•模拟预测）如图,在直角△ABC中，90°.点。为△4BC内一点，且/ADB=

60°,E为线段BO的中点，连接AE.

•••

题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆

:题目叵（2024•福建泉州•一模）如图1,在OABCD中，BE平分/ABC交AO于点E,尸是CD上一点，且

DF=DE.

图1图2

•••

题型8：定值问题

［题目叵（2024•浙江•模拟预测）如图1,E点为2轴正半轴上一点，。右交必轴于4B两点，P点为劣弧BC

上一个动点，且4—l,0）、E（l,0）.

—

题型9:在圆综合中求解三角函数值

题目为（2024•湖南长沙•一模）如图1,在电△ABC中，乙45。=90°,47=30°,反7=4如;。是的中

点.经过A,B,。三点的。。交AC于点E,连接BE.

⑴求AE和BE的长；

（2）如图2,两动点P、Q分别同时从点A和点。出发匀速运动，当点P运动到点E时，点Q恰好运动到点

B,P、Q停止运动，连接PQ.

①记AP=2,当馍。。的面积最大时，求c的值；

②如图3，连接BP并延长交OO于点F,连接AF、FE.当BE平分AFBC时,求sinZABF的值.

—

遮目包］（2024•上海杨浦・一模）已知以AB为直径的半圆。上有一点C,CD_L04垂足为点。，点E是半

径OC上一点（不与点。、C重合），作EFLOC交弧BC于点F,连接OF.

（1）如图1,当FE的延长线经过点A时，求

（2）如图2,作FG,AB,垂足为点G,连接EG.

①试判断EG与CD的大小关系,并证明你的结论；

②当4EFG是等腰三角形,且sinZCOZ）=”,求染的值.

5OD

—

中考人枯殿-圆

解题方法

1、圆中常见相似三角形

不含切线含切线（4。是。。的切线）

B4cs"08

LABD^LAEC

2.在圆中解三角形或四边形的常用思路

画出特殊图形:如圆中的特殊三角形、特殊四边形等,在已知条件下，以结果为导向,在这些特殊图

形中求出一些中间量。

题型归纳

题型1：圆与三角形综合

题型2：圆与四边形综合

题型3：圆有关的动态问题

题型4：圆与坐标系或函数

题型5:以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题

题型6：最值问题

题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆

题型8：定值问题

题型9:在圆综合中求解三角函数值

题型1：圆与三角形综合

,题日①（2024.黑龙江哈尔滨.一模）已知，为③。两条弦，40,8。于点后,连接。£；,AE=CE.

（1）如图1,连接OE,求AAEO的度数；

（2）如图2,连接AC,延长EO交AC于点N,点F为AC上一点，连接EF,在EF上方作等腰直角三角形

EFG,且NEGF=90°,连接NG,求证:NG〃BC；

（3）在（2）的条件下，连接AB,CD,当点G落在线段AB上时，过点。做交CD于点乙，交CE于

点T,若OE=6叵EG=2CL,求30半径的长.

【答案】（1）45。

（2）见详解

（3）675

【分析】本题考查了圆与三角形的综合，涉及到全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线成比

例，勾股定理，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练灵活运用知识点是解决本题的关键.

（1）连接OAOC,证明△AEO经△CEO即可；

（2）过点G作GR_LGN交EN于点A,先证明△GER24GFN，得GR=GN,

所以/GNR=/GRN=45°,得到4GNR=4NEC,故GN//BC.

（3）过G作GA_LGN交NE的延长线于点R,连接。D,OC,作OK_LCD于点、K,OH_LCE于点先证

明^\ABE咨ACDE,：.EG=卷CD，设CL=a,EG=2a,AB=。。=4a,DL=3a,则。。=OG=2V2a,

OK=OK=2a,KL=a■，证出AKOL=AOCT,则tan/KOL=tanZOCT,

最后在AtZXOCH中运用勾股定理求OC=

【解析】（1）连接040。，

•••OAOC为。O半径，

：.OA^OC,

,:EA=ECQE=OE,

：.△AEOn△CEO,

NAEO=/CEO,

•：AD±BC,图1

ZAEC=90°,•••

・・.AAEO=ZCEO=yZAEC=45°;

(2)证明：过点G作GR_LGN交EN于点A,

・・.ZRGN=90°,

・・・4RGN=Z.EGF,

・・・ARGN-4RGF=AEGF-ARGF,

・•.AEGR=AFGN,AE=CE,/AEN=Z.CEN,

:・EN工AC,AN=CN,

・・.ZENC=90°,

：.AENC=90°=AEGF,

："GEN=NGFN,图2

叉♦・,GE=GF,

・・・/\GER^/\GFN,

:.GR=GN,

：.AGNR=ZGRN=45°,

：.4GNR=/NEC,

・・.GN//BC.

⑶过G作GALGN交NE的延长线于点儿连接QD,O。,作OK,CO于点K,OH_LCE于点、H,

由(2)得/\GFN注AGER,得GN〃BC,

.ANAG

"CZV-BGJ

・・•AN=CN,

・・.AG=BG,AAEB=90°,

：.EG=AB,ABAD=/BCD,AE=CE,/AEB=ACED,

・・・AABE名/\CDE,

:,AB=CD,

；.EG=fcD,

设CL=a,EG=2Q,AB=CD=4a,DL=3Q,ZEAC=90°—/AEN=45°,

・・.Z£>OC=90°,

・・・4DOK=/COK=45°,

・・・4ODC=4OCD=45°,

则OD—OC—2〃5a,OK—DK—2a,KL—a,

在Rt/XOKL中，tan/LOK=

•：OL_LOEf

：.NEOL=90°,

・・・/OED=/OTE=45°,

・・・AKOL+ZLOC=45°,/OCT+ZLOC=45°,

・・・/KOL=/OCT,

：.tanZATOL=tanZOCT,

OE=6A/2,OH=6,HC=12,

在Rt/\OCH中，OEOH\HC2,

:.OC—6A/5.•••

题目区（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知：AB为。。的直径，点。为卷上一点，连接AC,点。为后心上一

点，连接AO,过点D作AB的垂线，垂足为点F,交OO于点E,连接CE,分别交AD和AB于点H和点K,

且/AHE=90°.

⑴如图1,求证：ACADABAD

⑵如图2,连接成，过点H作上田的垂线交AB于点T,求证：AB=2FT；

⑶如图3,在⑵的条件下,连接B。交AO于点G,延长CD交AB的延长线于点M，若CM=AG,FT=5,

求CG的长.

【答案】（1）见详解

（2）见详解

⑶寺

O

【分析】（1）证明4AHC〜△AFD,即可得出结论；

（2）连接证明AAH"^AHK（ASA）,得至［CH=KH,ZACH=乙4KH,证明ATKHs/\FDH,得到

Z.HTK=AHFD,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出毋,得到NTHK=ZACH,推

出AC//TH,证明4AKC〜ZYTKH,得到第=等==2,再证明4ABC〜/\TFH,即可证明结

1HHKHK

论；

⑶连接GK,过点M作CB的垂线，垂足为点N,证明4AHC^^AHK（ASA）,得到CH=KH,AC=AK,

进而推出/4。3=乙4的,证明434?＜笃^^0?/（＞145＜）,得到＞1。=＞17＜=。^,进而推出GK=MN=

CG,1正明△GBKW4MBN（AAS）,得至UBK=BN,设BK=BN=a,则AK=AC=CN=10-a,CB=10

—2a,求出BK=2,47=8,BC=6,设CG=GK=M，则GB=6—利用勾股定理即可求解.

【解析】（1）解：••,AB_LDE,

ZAFL＞=90°

乙4HE=90°,4c=2D

：.AAHC-4AFD

:"CAD=2DAB;

⑵解:如图2:连接BC,

由（1）知/。＞1D=/_DAB,

•/AAHK=ZAHC=90°,AH=AH,

：.AAHC^/XAHK^ASA）,

CH=KH,AACH=/LAKH,

•：ABAD+Z.AKH=ABAD+ZADF=90°,图2

ZADF=Z.AKH,

•：TH±FH,

：.ZTHK+Z.FHK=AFHK+ZFHD=90°,

：.4THK=4FHD,

•••

・・.NTKH~/\FDH,

：.4HTK=4HFD,

・・,点F是。石的中点，/EHD=90°,

：.HF=DF,

：.乙FHD=ZFDH,

：.NTHK=4TKH,

•：4TKH=/ACH,

・・・4THK=4ACH,

：.ACIITH,

・・・dAKC〜dTKH

.AC=CK=2HK=

HK~

・・・ACIITH

：.4CAB=/HTB,

・・・4ACB=/THF=90°

・・・/\ABC〜/\TFH

.=J4C=9

・,TFTH

・・.AB=2FT;

⑶解:如图3,连接GK,过点M作CB的垂线，垂足为点N,

・・・ACAD=/BAD,/AHC=4AHK=90°,AH=AH

：.△AHC空△AHK(4S4)

:・CH=KH,AC=AK

・・.ZACK=AAKC

：.CG=GK

・・.ZGCK=AGKC

：.AACK+AGCK=AAKC+AGKC

：.4ACG=4AKG

・・・AB是。O直径

・・・AACB=AAKG=AGKB=90°

・・・4AKG=4CNM=90°,4GAK=/MCN,AG=CM

・・・AGAK艺/\MCN(AAS)

・・.AC=AK=CN

:・GK=MN=CG

・・,AGKB=AMNB=90°,/GBK=AMBN

：./\GBK^/XMBN^AAS)

:・BK=BN

VTF=5,AB=2FTf

：.AB=109OA=OB=5f

设BK=BN=Q,则AK=AC=C7V=10—a,CB=10—2。

在Rt/\ABC中,AC2+BC2=AB2

即(10—a)2+(10—2a)2=102

a=2或a=10(舍去)

：.BK=2,AC=8,BC=6

设CG=GK=M，则GB=6—m,—

在Rt/\GKB中,GK2+BK2=GB1

即m2+22=(6—m)2

.8

..m——

o

.♦.CG=*

【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性

质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形，全等三角

形.

，题白Q(2024.黑龙江哈尔滨.一模)如图1,在。。中，直径AB垂直弦CD于点G,连接AD,过点。作CF，

40于F,交AB于点H,交⑷。于点E,连接OE.

图1图2图3

—

:,乙CHG=AADC,

又・・・ZADC=ZBf

：.ZCHG=ZBf

:・CH=CB,

由⑴知：NE=2NECD,

：.CD=2DE,

•：CD=2BC,

：.DE=BCf

:・DE=BC=CH・,

⑶连接OC,AE,则：ZABB=90°,

•：OH=2OG9

设OG=力，则OH=2x,

：.HG=OH+OG=3x,

由⑵知，BC=CH,

・・・ABVCD,

:.BG—GH—3力,

:.OB—BG+OG—4x,

OC—4x,AB—8x,AH—2x,

•・・ZCfffi=NAHE,ACBH=Z.CEA,且ACHB=ACBH,

・・・4AHE=/CEA,

:.AE—AH—2x,

/.Rt/\ABE中，BE=-JAB2—AE2=2V15x,

RtAOGC中，CG=VOC2-OG2=V15a;,

Rt^HGC中，CH=y/CG2+GH2=2娓x,

•：DE=BC=BD,

/BAD=NDCE,

sinZ.BAD—sin/DCE,即：„=„,

A.HOH

•VW=3z：

"2x~2V6X'

•/些

.・力3’

BE—2V152：=20,BG=3c=2VlK,AB—8x—,

o

・・・/ABE=4GBN,/BGN=ZAEB=9Q°,

：・/\BGN〜/\BEA,

.BN=BG

,•布―南，

.BN=BGYB=2E中

BE20'

:.EN=BE—BN=\2.

【点睛】此题主要考查圆的综合问题，涉及到垂径定理，圆周角定理，弧、弦、角之间的关系，解直角三角形，相

似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，熟悉圆的相关性质，会结合题意灵活运用勾股定理和方程思

想，会借助相似三角形构建等量关系是解题的关键.

:题目回（2024.浙江.模拟预测）如图1,△48。内接于。。，作AD，于点D•••

DG7C

（1）连结A。，BO.求证：ZAOB+2ZDAC=180°；

（2）如图2,若点E为弧AC上一点,连结BE交AD于点、F,若ABAD=2ACAD,ADBF+4/CAD=90°,

连结。F,求证：O尸平分/AFB；

⑶在⑵的条件下，如图3,点G为BC上一点，连结EG,4BGE=2"若AO=«,BD+EG=3,求

DF的长.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】

⑴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，且结合AD±BC,即可作答；

（2）先根据三角形的外角性质，得NABF=ABAD=2a,等角对等边，得BF=AF,即可证明ZV/lOF笃

△BOF（SSS）,结合全等三角形的对应角相等，即可作答；

（3）根据同弧所对的圆周角是相等，得=90°-a,由三角形的内角和，得=90°—a,等角对等

边，得AB=BE,进而证明△ABDZ4BEM（AAS）,得ME=BD,等角对等边，得EG=EN,故MN=ME

+EN=3,因为AMBE=NMNB,BMN=NBMN=90°,证明4BME〜/XNMB，得手=嘤^，解得ME=

2,由勾股定理建立式子，即可作答.

【解析】（1）证明：：ADYBC,

：.ZADC=90°,

：./C+/ZMC=90°,

••.2/C+2/DAC=180°,

ZAOB=2/C,

AAOB+2/D4C=180°;

（2）证明：设/CAD=a,

•/ABAD=2ACAD,ADBF+4/CAD=90°,

ABAD=2a,AFBD=90°-4a,

/BFD=4a,

：.4ABF=/RAD=2w,

：.BF=AFf

,：OB—OA,OF—OF,

・・・/XAOF^ABOF（SSS）,

・・・/BFO=/AFO,

・・・O尸平分乙4尸B;

（3）解:连接4E,过点后作矶f_LAB于点“交BC的延长线于点N,•••

由(2)得，乙4cB=90°—a,

・・.AAEB=9Q°—a,

・・・/ABF=/BAD=2a,

/./ABE=2a,

・・・ABGE=2NC,且/。=90°—a,

・・・/BAE=180°-/LABE-AAEB=90°-a,ABGE=180°—2。,

・・・/.BEA=/BAE,ZEGC=2a,

/.AB—BE,

・・•/.BAD=/ABE,ABME=AADB=90°,

・•・/\ABDn相EM(AAS),

・・.ME=BD,AD=MB=®AMEB=/DBA=90°-2a,

・・・AEBN=90°—4a,

・・.NN=2a,

・・・AEGC=/ENG,

・・.EG=EN,

・；BD+EG=3,

：,MN=ME+EN=3,

・・・4MBE=4MNB,BMN=乙BMN=90°,

,MBME〜ANMB,

.BM=ME

"NM~^B9

.正=ME

•〒一词’

:.ME=2,

：.ME=BD=2,

•：BD2+DF2=BF2,

：.2\DF2=(V6-OF)2,

・・.DF=乎.

6

【点睛】本题考查了圆综合，涉及圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质，勾股定理等综合内容，难度较大，综合性较强，学会灵活运用等角对等边以及作出正确的辅助线是

解题的关键.

题型2：圆与四边形综合

:题目回(2024•浙江杭州•模拟预测)如图，四边形ABCD内接于。O,AC为。。的直径，DELAC于点F

交BC于点E.

图1图2

(1)设/DBC=a,试用含a的代数式表示NADE：•••

⑵如图2,若BE=3CE,求黑的值；

UB/

⑶在⑵的条件下，若47,_8。交于点G,设^^=x,cosABDE=y.

CJT

①求沙关于，的函数表达式.

②若求"的值.

【答案】⑴90°—a

（2）2

2

⑶①V=

6+1

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，结合三角形的内角和定理，即可得解；

⑵圆周角定理得到乙4。。=90°=乙4FD,进而得到/D4C=/CDF,推出△DCE〜△BCD,得到黑=

L）E

综=察，设CE=a，求出CD的长，即可得出结果；

CDCE

（3）①过点G作GH//DE,得到△CEF〜△SG,ABHG〜ABED，进而得到需=桀=第,黑=

CHCGGHDE

需=暮,根据等=g8£=33；,推出。3=^BD,DF=产、•DE,利用"=cosABDE=熹

r>n/r>U（^ro3（/+1）DG

结合黑=2进行求解即可；

DE

②作EW_LB_D于W,根据已知条件推出BD=4CE,DE=2CE,设CE=a,DW=M,勾股定理求出巾=

日a,再根据y=cosZBDE=*善求解即可.

oUE/

【解析】（1）解：•・,四边形ABCD内接于。O,

・・・/DAC=/CBD=a,

•：DE±AC,

：.ZAFD=90°f

：.NADE=90°-ZDAC=90°-a;

（2）V4。为。。的直径，

・・.ZADC=90°=ZAFD,

・・.ZDAC=ZCDF=90°-AADF,

・・•ZDBC=/DAC,

：.ADBC=乙CDF,

・・・4DCE=/BCD,

.-.△nCE-ABCD,

.BD=BC=CD

''^E~~CD~~CE"

•：BE=3CE,

：.设CE=a，则：BE=3a,

・・・BC=4a,

・・・CD?：石。・五=4Q.Q=402,

・・.CD=2Q（负值舍去）；

,BD=BC=4a=2.

"DE-CD-2^-；

（3）①过点G作GH7/DE,

则：/\CEF〜4cHG,/\BHG~4BED,

.CE=CF=EFGH=BH=BG

一~CH~~CG~~GH^^E~~BE~~BD

77=a:,BE=3CE,

Ur

：.EF=^--GHCH=(x+l)CE

x-rlff

：.BH=BC-CH=^CE-O+1)CE=(3—c)CE,

•：BE=3CE,

.BG__GH_BH_3—x

"BDDEBE3，

3-7Q9_3-CD7~)

•••KJll——3un,,-oCr3BD，

・・.DG=:BD—BG=弓RD斤—1「口―DE，

o/+1'3(^+1)

:・DF=DE—EF=产、・DE,

3(z+l)

n/?_3(3.DE

••,〃y，一5ccG/anz?—ui

DGfBD

由（2）知：萼=2,

UrL/

4x

3Q+1)2

3/

②如图，作EW±BD于W,

・・・BC=BD,BD=2DE,BC=4CE,

:・BD=4CE,DE=2CE,

设CE=a,DW:BD=4a,DE=2a,BE=3a,BW=BD—DW—^a—m,

・・・EW2=DE2-DW2=BE2-BW2,

4a2—m2=9a2—(4a—m)2,

解得：m—耳a,

o

DW_晋。_11

y=cos/BDE=

DE2a16

【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及到圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，求函数解析

式，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，掌握圆周角定理，添加辅助线，构造特殊图形和相似三

角形，是解题的关键，注意计算的准确性.

题目回（2024.广东珠海・一模）如图1,F为正方形4BCD边上一点，连接AF,在AF上取一点O,以

OA为半径作圆，恰好使得。。经过点B且与CD相切于点E.

图1图2

（1）若正方形的边长为4时，求。O的半径；

（2）如图2,将AF绕点A逆时针旋转45°后，其所在直线与。O交于点G,与边CD交于点连接DG,

BG.

①求/ADG的度数；

②求证：ABBF+AGFG=BG2.

【答案】⑴

（2）①45°;②证明见解析

【分析】（1）连接OB、OE,如图所示,先证明AF是。。的直径，再证明OE是梯形的中位线，设。。的半径

为r,由梯形中位线性质及正方形性质得到FC=2r-4,BF=8-2r,AF=2T,在RtAABF中，由勾股定理

列方程求解即可得到答案；

（2）①连接BD交。。于如图所示，利用正方形性质、旋转性质及圆周角定理得到BG与重合，即可

得到答案;②过点G作GM_LBC于河，GN_LAB于N,如图所示，得到四边形BMGN是矩形，进而结合等

腰直角三角形的判定、全等的判定与性质、正方形的判定与性质得到相应边的关系，设正方形的边长

为a,AN=b,则AB=BN+AN=a+b,BF=BM-FM=a-b,在RtLGMF中，由勾股定理可得

GF?=及，在RtdGMB中，由勾股定理可得GB?=2a2,即可得到所证等式成立.

【解析】⑴解:连接OB、OE,如图所示：

----、D

OA=OB,OE±DC,

：.ABAC=AOBA,OE//ADIIBC,

在正方形ABCD中，NABF=90°,则ZBAC+/APB=90°,AOBA+AOBF=90°,

NOBF=/OF5,则05=OF,即OA=OB=OF,

.•.O为4F的中点，

•：OE//AD//BC,

.•・嫖=黑=1,即E是。。中点，

：.OE是梯形的中位线，则OE=5（4。+FC）,

设。O的半径为r,则FC=2r-4,

:.BF=4—FC=8—2T,AF=2r,

在RtAABF中，由勾股定理可得AB2+BF2=AF2,即42+（8-2r）（2吟,,解得r=*

（2）解:①连接BD交OO于/，如图所示：,4^D

在正方形ABCD中，NABD=45°,/IV

♦.•力P是OO的直径，且将AF绕点4逆时针旋转45°到AH,I

AFAH=45°,AAGF=90°,I/\E

・w—,

・・•AG=AG,*----------

乙4BG=/AFG=45°,

ABG与重合，则AADG=45°;

②过点G作GAf_LBC于W,GN_LAB于N,如图所示:

四边形BMGN是矩形,

由①知AABG=45°,则AGBF=45°,

二△BMG是等腰直角三角形，即MG=MB,

四边形BMGW是正方形，

GN=GM,

由①知△AGF是等腰直角三角形，即GA=GF,

：.Rt^GNA空Rt4GMF(HL),

AN=FM,

设正方形BMGN的边长为a,AN=FM=b,则AB=BN+AN=a+b,BF=BM-FM=a-b,

在RtAGMF中，由勾股定理可得GF2=GMAFM三a2+62,

在Rt^GMB中，由勾股定理可得Gpz=GM2+BM2^a2+a2^2a2,

AB-BF+AG-FG

=ABBF+FGFG

=(a+b)(a—b)+(o2+b2)

=2a2

=BG2,

：.ABBF+AG-FG=BG2.

【点睛】本题难度较大，综合性强，涉及圆周角定理、梯形中位线的判定与性质、勾股定理、旋转性质、圆周角

定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识,

熟练掌握相关几何性质与判定，根据问题作出相应辅助线求解是解决问题的关键.

题型3：圆有关的动态问题

〔题目〔7〕(2024.广东.一模)综合探究：

如图，已知48=10,以AB为直径作半圆O,半径。入绕点。顺时针旋转得到OC,点A的对应点为。，当

点。与点B重合时停止.连接BC并延长到点D，使得CD=8。,过点。作。E，于点E,连接AD,

AC.

—

（3）PC_LAO.理由见解析

【分析】⑴由圆周角定理得到AC_LBC,结合已知条件CD=BC和等腰三角形“三线合一”性质推知AD

=AB=10,再由等腰“三线合一”性质得到AD=BD,即可得到结论；

⑵分类讨论：点E在线段AO和线段OB上，借助勾股定理求得BC的长度；

⑶由三角形中位线定理知OC7/AD,又由切线的性质知PC_LOC,根据平行线的性质即可得到答案.

【解析】是等边三角形，理由如下：

如图1,♦.•48是圆。的直径，

AC±BC,

丸•：CD=BC,口

：.AD=AB=10,/K

E•.•点ES与点。重合，T

Ao（玲E

-：AD=AB,3

图1

AD=AB=DB,

：.△ABD是等边三角形；

（2）VAB=10,

/.AO=BO=5,

当点E在？IO上时，

则AE=AO—OE=4,BE=BO+OE=6,

,/AD=W,DE±AO,

：.在Rt/\ADE和RtABDE中，

由勾股定理得AD2-AE2=BD2-BE2,

即102—42=802—62,

解得BD=2西，

.-.BC=yBD=VSO;

22

当点E在OB上时，同理可得1。2-62=B£>-4,

解得=后，

：.BC=^-BD=2V5-,

综上所述，BC的长为百或2遍