古典概型、概率的基本性质

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)

10.1.3-10.1.4古典概型、概率的基本性质

【考点梳理】

考点一随机事件的概率

对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件彳的概率用PU)表示.

考点二古典概型

一般地，若试验F具有以下特征：

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；

⑵等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.

考点三古典概型的概率公式

一般地，设试验£是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件彳包含其中的a个样本点，则定义

事件力的概率0(⑷=-=—~~4—.

nnQ

考点四概率的基本性质

性质1对任意的事件4都有P")三0.

性质2必然事件的概率为工，不可能事件的概率为。，即P(O)=1,^(0)=0.

性质3如果事件4与事件8互斥,那么H/U夕=P(U+P(8.

性质4如果事件4与事件8互为对立事件，那么P(B)=1一0。),P")=1一"(夕.

性质5如果4UB,那么P(A)WP(B).

性质6设48是一个随机试验中的两个事件，我们有。(40/=。(，+。(而一。(409.

【题型归纳】

题型一：基本事件

1.（2021•天津河西•高一期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2）,2个

绿色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则该试验的样本空间所包含的基本事件的个数为

（）

A.6B.9C.12D.16

2.（2022•湖南•高一课时练习）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a,b,设事件M为“方程+

法+1=0有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为（）

A.6B.17C.19D.21

3.（2019・全国•高一）同时投掷两枚大小完全相同的骰子，用3y）表示出现的结果，其中x,y分别为两枚骰子向

上的点数，则该事件的所有结果种数为

A.11B.22C.36D.66

题型二：古典概型

4.（2020•全国•高一）下列是古典概型的是（）

A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时

B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时

C.从甲地到乙地共"条路线，求某人正好选中最短路线的概率

D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止

5.（2020・全国•高一课时练习）下列试验是古典概型的为（）

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小：

②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10人站成一排，其中甲、乙两人相邻的概率.

A.①②B.②④C.①0④D.③④

6.（2020.全国.高一）下列概率模型中，是古典概型的个数为（）

①从集合｛xeR|14x410｝中任取一个数，求取到4的概率；

②从集合｛xeZ|lW10｝中任取一个数，求取到4的概率；

③从装有2个白球和3个红球的盒子中任取2个球（除颜色外其他均相同），求取到一白一红的概率;

④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现正面向上的概率.

A.1B.2C.3D.4

题型三：有放回和无放回的概率问题

7.（2021•福建省福州第一中学高一期末）从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，分别采用有放回简单随机抽样、

不放回简单随机抽样，抽到的两球都是白球的概率分别是（）

.9।19„52「25

A.—,—B.—,—C.一,—D.—,—

1622168338

8.（2021.湖南省岳阳县第一中学高一期末）从分别写有“1,2,3,4,5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再

随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（）

433

A.—B.—C.-D.—

55510

9.（2021♦全国•高一专题练习）不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只蓝色6只红色，小朋友花花想

从袋子里取到一只红色小球，第一次从袋子里随机取出一只小球，却是蓝色，不放回，再取第二次.则小朋友花花第

二次取到红色小球的概率是（）

A.-B.-C.|D.-

5533

题型四：古典概型经典类型问题

10.（2022•辽宁•高一期中）从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有

1名女性志愿者参加的概率为（）

11.（2022.陕西•宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中）宝鸡市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾

分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、"可回收垃圾”、"其它垃圾”、"有害垃圾”四种不同的垃圾桶.一天，

居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为（）

12.（2022•江西新余•高一期末）从2,3,4,5中任意选取两个不同数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的

概率为（）

1

BC.一D.—

A.\-5612

题型五：互斥事件概率公式的应用

13.（2021•江苏常州•高一期末）甲、乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2,甲不输的概率为0.7,则甲、乙下成和

棋的概率为（）

A.0.5B.0.7C.0.9D.0.4

14.（2020.江苏苏州.高一期末）围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为

2

都是白子的概率为尚，则取出的2粒颜色不同的概率为（）

A.*B,1C,1D,1

531515

15.（2021・吉林・长春外国语学校高一期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为

胜•根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为:，则本次比赛中甲获胜的概率为（）

题型六：对立事件概率公式的应用

16.（2021•安徽•六安一中高一期末）下列叙述错误的是（）

A.互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件

B.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为;,甲获胜的概率是!，则甲不输的概率为二

C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件

7

D.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为正

17.（2020・广东・郁南县连滩中学高一阶段练习）口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，

从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为（）

A.0.45B.0.67

C.0.64D.0.32

18.（2019•广东湛江•高一期末）已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，7-

64

且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为

题型七：互斥、对立事件与古典概型的综合应用

19.(2022・全国・高一专题练习)掷一枚骰子，下列事件：A="出现奇数点”，B="出现偶数点"，C="点数小于3"，£>="点

数大于2"，E="点数是3倍数”.求：

(l)AnB,BC及相应的概率

(2)AUB,B+C及相应的概率：

(3)记H为事件H的对立事件，求方,ZC,月uC,方+后及相应的概率.

20.(2021・全国•高一课时练习)某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在

使用一年内需要维修1次的占15%,需要维修2次的占6%,需要维修3次的占4%.

(1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设&="一年内需要维修上次“，Z=0,1,2,3,请填写下表：

事件4AA2A,

概率

事件4,A，&是否满足两两互斥？是否满足等可能性？

(2)求下列事件的概率：

①4="在1年内需要维修“；

②B="在1年内不需要维修”；

③C="在1年内维修不超过1次”.

21.(2020・全国•高一课时练习)根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科(物理、化学、生物)和3门文

科学科(历史、政治、地理)的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料，1位同学选择生物的概率为

0.5,选择物理但不选择生物的概率为0.2,考生选择各门学科是相互独立的.

(1)求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率；

(2)某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140,求1位考生同时选择生物、物理两门学科的

概率.

【双基达标】

一、单选题

22.（2022•陕西•武功县普集高级中学高一阶段练习）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的

成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机

选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A.—B.—C.—D.—

12141518

23.（2022•全国•高一单元测试）从分别写有1,234,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的

第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

1c3c3-2

A.—B.—C.—D.一

105105

24.（2021•广东茂名•高一期末）在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1

张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）

A.-B.-C.1D.\

6323

25.（2021・全国•高一课时练习）10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取

一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（）

A.-B.-C.-D.—

53415

26.（2022・全国•高一）齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹.田忌的上等马优

于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐

王的下等马.现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为

27.（2019•河南•南阳中学高一阶段练习）已知数据1,2,3,4,x（0<x<5）的平均数与中位数相等，从这5个数中

任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为

A.-B.JC.-D.—

52510

28.（2021・全国•高一课时练习）2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式即语文、数学、英

语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择

3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（）

A.-B.-C.；D.-

4323

29.（2022.湖南•高一课时练习）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为“，再由乙猜甲刚才所想

的数字,把乙猜的数字记为数其中子6€乩2,3,45,6},^\a-b\<l

,就称“甲、乙心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()

1274

A.9-B.9-一D.9-

18

30.(2022・全国•高一单元测试)下列命题：

①对立事件一定是互斥事件；②若A,B为两个随机事件，则P(AUB)=P(A)+P(B)；③若事件A,B,C彼此互斥,

则P(A)+P(B)+P(C)=1；④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件.

其中正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【高分突破】

一：单选题

31.(2021•全国•高一)2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政

治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理“，事件B：

“他选择化学和地理”，则事件A与事件8()

A,是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件

32.(2022•陕西•西北农林科技大学附中高一期中)保险柜的密码由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的四个数字

组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就

能开锁的概率是()

33.（2021・重庆•高一期末）口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除

颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A为“取到的小球的编号为②”，事件8为“取到的小

球是黑球“，则下列说法正确的是（）

A.A与8互斥B.A与8对立C.P（A+8）=qD.P（AB）号

34.（2021・河南•济源市第五中学高一期末）我国西部一个地区的年降水量在下列区间的概率如下表所示:

年降水量

[100,150)[150,200)[200,250)[250,300]

（mm）

概率0.210.160.130.12

则年降水量在[200,300]（mm）范围内的概率为（）A.0.29B.0.41C.0.25

D.0.63

35.（2022•全国•高一课时练习）从1,2,3,30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被

5整除的数”的概率是（）

36.（2020•甘肃省岷县第二中学高一期末）袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则

①恰有1个白球和全是白球；

②至少有1个白球和全是黑球；

③至少有1个白球和至少有2个白球；

④至少有1个白球和至少有1个黑球.

在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（）

A.②B.①C.③D.@

37.（2020.陕西.西安中学高一期中）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都

为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至多有一个白球”中的哪

几个（）

A.①③B.②③C.①②D.①②③

38.（2021・全国•高一）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝,事件3=｛抽到二等品｝,事件C=｛抽

到三等品｝,且已知P（A）=0.7,P（B）=0.2,P（C）=0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）

A.0.7B.0.2C.0.1D.0.3

39.（2021•甘肃・兰州一中高一期中）袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事

件是（）

A.“至少有一个黑球”和“没有黑球”B.“至少有一个白球”和“至少有一个红球”

C.“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个"D.“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”

40.（2022•全国•高一单元测试）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率,，乙解出这个问题的概率

4

是那么其中至少有1人解出这个问题的概率是

A.-B.-C.-D.-

4888

41.（2022♦天津•高一期中）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2

个球，则所取出的2个球颜色相同的概率等于（）

二、多选题

42.（2021•全国•高一）下列有关古典概型的说法中，正确的是（）

A.试验的样本空间的样本点总数有限

B.每个事件出现的可能性相等

C.每个样本点出现的可能性相等

D.已知样本点总数为〃，若随机事件A包含4个样本点，则事件A发生的概率尸（A）=K

n

43.（2022・全国•高一专题练习）甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表，其中

乙的第5次成绩的个位数被污损，用x代替，则

第1次第2次第3次第4次第5次

甲9186889293

乙878586999x

A.甲的平均成绩为91分

B.从甲的5次成绩中任取2次成绩，均大于甲的平均成绩的概率是二3

C.当x=3时，甲、乙两人的平均成绩相等

3

D.乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是而

44.（2022・全国•高一专题练习）某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选

对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是C。，且甲、乙、丙、丁四位同学都不

会做，下列表述正确的是（）

A.甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是:

B.乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是,

C.丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是g

D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是L

45.（2022•全国•高一）下列说法正确的为（）

A.在袋子中放有2白2黑大小相同的4个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两

球同色则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为

B.做〃次随机试验，事件4发生的频率可以估计事件A发生的概率•

C.必然事件的概率为1.

D.在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验为古典概型.

46.（2022・全国•高一专题练习）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数

1005518

记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件4投中三分球为事件8,没投中为事件C,用频率估计概率的

方法，得到的下述结论中，正确的是（）A.P（A）=0.55B.P（B）=0.18

C.P（C）=0.27D.P（B+C）=0.55

47.（2022•全国•高一课时练习）某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成

员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（)

A.他只属于音乐小组的概率为］B.他只属于英语小组的概率为］Q

313

C.他属于至少2个小组的概率为《D.他属于不超过2个小组的概率为百

48.（2021・湖南•高一期末）下列说法中正确的是

A.若事件A与事件B是互斥事件，贝”（AnB）=O

B.若事件A与事件8是对立事件：则P（AuB）=l

C.某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件”至多有一次中靶”是对立事件

D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是

红牌''是互斥事件

三、填空题

49.（2022•广西钦州•高一期末）调查某高中1000名学生的肥胖情况，得到的数据如表:

偏瘦正常肥胖

女生人数88175y

男生人数126211Z

若y2193,z>194,则肥胖学生中男生不少于女生的概率为.

50.（2022•江西・景德镇一中高一期末）我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题

画竹》》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠现从1,2,3,4,5,6中随机选取2个

不同的数字组成1咆*（。工1）,则恰好能使得1强/<1的概率是.

51.（2022・辽宁•大连二十四中高一期末）己知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计

该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命

中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组

随机数：

137960197925271815952683829436730257

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.

52.（2022•江苏•南京市秦淮中学高一期中）一个三位数，百位、十位、个位上的数字依次记为。，b,c（a,b,c

互不相同），当且仅当〃，〃，c中有两个数字的和等于剩下一个数字时，称这个三位数为“等和数”（如358等）.现从1,

2,3,4这四个数字中任取三个组成无重复数字的三位数，则这个三位数为“等和数”的概率为.

53.（2020.天津一中高一期末）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，，事件A表示“出现小于5的偶数点”,

事件8表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件AU豆（豆表示事件5的对立事件）发生的概率为.

54.（2022•全国•高一单元测试）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A=''取

出的两球同色“，8="取出的2球中至少有一个黄球“，C="取出的2球至少有一个白球"，3=”取出的两球不同色”,

E="取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为.

①A与。为对立事件；②8与C是互斥事件；③C与E是对立事件：④P（CU©=1；⑤P（8）=P（C）.

四、解答题

55.（2022•广东・红岭中学高一期中）2021年广东省高考实行“3+1+2”模式.“3+1+2”模式是指："3”为全国统考科

目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择1科；

“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科，共计6个考试科目.并规定：化学、生物、

政治、地理4个选考科目的考生原始成绩从高到低划分为仇（7+,（?,。+,。,£八个等级.参照正态分布原则，确

定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%/6%,7%,3%,选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的

考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],|61,70],[51,60],[41,50],[31,40],

[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩.

考蝌目：地理

考试成绩：61分

成绩区间：（”等级

（转区换间分数区：5间8〜：6粉1〜7啰

原始成绩区间向等级成绩区间的投影

69-6170-JT

假设小明转换后的等级成绩为'分,则回=刁,所以X=63.45,63（四舍五入取整），小明最终成绩为63

分.某校2019级学生共1000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据,

其中化学成绩获得等级A的学生原始成绩统计如下:

成绩93919088878685848382

人数1142433327

设化学成绩获得A等的学生原始成绩为无分，xe{82,83,84,85,86,87,88,90,91,93},等级成绩为V

93—x100—V0

分,由题意得该分数段的转换公式为：口TE，即产1T(>82)+91.

(1)求化学获得等级A的学生等级成绩的平均分(四舍五入取整数);

(2)从化学原始成绩不小于90分的学生中任取2名同学，求2名同学等级成绩不相等的概率.

56.(2022・全国•高一单元测试)某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随

机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式

分成八组：第一组［65,75),第二组［75,85),L第八组［135,145］,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方

(1)根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间

的中点值代表该组数据平均值);

(2)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.

57.(2022・安徽•高一)2021年9月15日，安徽省举行新闻发布会，正式公布了高考综合改革方案.按照方案的要

求，高考选科采用“3+1+2”的模式：“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物

理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再

选，，两门学科，以等级分计入高考成绩.某校对其高一学生的首选学科意向进行统计，得到如下表格:

科目性别物理历史合计

男46040500

女340160500

合计8002001000

(1)令4="从选历史的同学中任选一人，求此人是女生"，3=“从选物理的同学中任选一人，求此人是女生“，判断

随机事件42的概率尸(A),P(8)的大小关系；

(2)按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级，各等

级人数所占比例及赋分区间如下表：

等级ABCDE

人数比例15%35%35%13%2%

赋分区间[86,1001[71,85][56,70][41,55][30,40]

Y-YT-T

将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为£-7=半一彳，其

中匕，匕分别表示原始分区间的最低分和最高分，(，n分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，丫表示考生的

原始分，r表示考生的等级分，规定原始分为Y时，等级分为T，原始分为丫/寸，等级分为心，计算结果四舍五入

取整.该校某次化学考试的原始分最低分为50,最高分为98,呈连续整数分布，其频率分布直方图如图所示:

①按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩等级的原始分区间；

②用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90分，试计算其等级分.

58.(2021•全国•高一课时练习)袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一

球，得到黑球或黄球的概率是?5，得到黄球或绿球的概率是2:，试求：

(1)袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？

(2)从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是多少？

(3)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？

59.(2022・全国•高一)已知某大学的一个图书室中只有中文版和英文版的书，现从该图书室中任选一本书，设A=｛选

到一本数学书),8=｛选到一本中文版的书｝,C=｛选到一本2010年后出版的书｝.

(DApIBnC,Ac(加元)分别指什么事件?

(2)在什么条件下有An8nc=A?

(3)如果那么是否意味着图书室中所有的数学书都是英文版的？并说明理由.

【答案详解】

1.A

【解析】

【分析】

样本数量少，可以通过列举法.

【详解】

解：由题意，该试验的样本空间所包含的基本事件有：

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）共6个,

故选：A.

2.C

【解析】

【分析】

根据从24.可得随机事件中含有的基本事件的个数.

【详解】

；方程/+8+1=0（”0）有实数解，A=b2-4a>0,

则“含有的样本点为：

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）；

（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,5）,（5,6）,（6,5）,（6,6）,

共19个,

故选：C.

3.C

【解析】

根据题意，列举投掷两枚骰子，出现的点数的全部情况即可得结果.

【详解】

先后投掷两枚骰子，出现的点数情况有:

(1,1),(I,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

共有36种可能结果,

故选C

【点睛】

本题考查列举法的应用，注意正确列举全部的基本事件，做到不重不漏.

4.C

【解析】

【分析】

根据古典概型的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】

A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；

B项中的样本点是无限的，故B不是；

C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；

D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型的判断，属简单题；注意古典概型中基本事件的等可能性和有限性即可.

5.C

【解析】

根据古典概型中基本事件的个数是有限的，且每个基本事件等可能这两个特点逐一判断，即可得出结论.

【详解】

①②④中的基本事件都是有限个，且每个基本事件都是等可能的，符合古典概型的定义和特点；③不是古典概型,

因为不符合等可能性，受多方面因素影响.

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型的判断，理解古典概型的两个特点是判断的关键，属于基础题.

6.B

【解析】

根据古典概型的定义判断，即试验结果个数是不是有限的，每个结果出现是不是等可能的.

【详解】

解题提示：判断一个概率模型是否为古典概型，关键是考查它是否满足两个条件：①有限性；②等可能性.

解析：①不是古典概型.因为从区间口，10］内任取一个数，虽满足等可能性，但由于区间内有无数个对象可取，所

以它不具备“有限性''这个条件.

②是古典概型.因为试验结果只有10个，并且每个数被抽到的可能性相等，所以它不仅具备“有限性”,而且还具备“等

可能性

③是古典概型，任取2球的试验结果只有10个，并且每个结果发生的可能性相等，.

④不是古典概型，虽然试验的结果只有2种，但是这枚硬币的质地不均匀，故它不具备“等可能性

故选：B

【点睛】

本题考查古典概型的定义，紧紧抓住两个条件：有限性和等可能性即可判断.

7.A

【解析】

【分析】

分别利用独立事件概率的乘法公式求解即可.

【详解】

从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，采用有放回简单随机抽样抽到的两球都是白球的概率是=J；

4416

从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，采用不放回简单随机抽样，抽到的两球都是白球的概率是:321

故选：A.

8.B

【解析】

【分析】

根据题意，列出所有可能结果，结合古典概率计算即可.

【详解】

根据题意可知，所有抽取结果如下:

(1,2),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),

(1,3),(2,3),(3,2),(4,2),(5,2),

(1,4),(2,4),(3,4),(4,3),(5,3),

(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,4),

共20种结果，其中两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数有12种,

故抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率为1为2=：3

故选：B.

9.C

【解析】

【分析】

先分析第二次摸球时袋子里小球情况，直接求概率即可.

【详解】

第一次从袋子里随机取出一只蓝球，不放回，还剩下9个小球，其中蓝球3个，红球6个,

所以第二次取到红色小球的概率P=1=|,

故选：C

10.D

【解析】

【分析】

根据题意列举样本空间，共包含10个样本点，其中符合题意得样本点个数为7,代入公式计算.

【详解】

将3名男性志愿者分别设为访b,C,2名女性志愿者分别设为d,e,这个实验的样本空间可记为

Q={(a,Z>),(a,c),(a,J),(a,e),(&,c),(/7,J),(/7,e),(c,t/),(c,^),(t/,e)),共包含10个样本点,

记事件A为至少有1名女性志愿者参加，则4={(凡4),(“6),伍,4),伍,6),(64),(0*),(40},A包含的样本点个数

为7,

所以尸(4)=(・

故选：D.

11.D

【解析】

【分析】

对4个垃圾桶编号，4袋垃圾编号，利用列举法结合古典概率公式计算作答.

【详解】

记“厨余垃圾可回收垃圾”、"其它垃圾”、"有害垃圾'’的垃圾桶分别为1,2,3,4,

小陈提的“厨余垃圾”、"可回收垃圾，“其它垃圾”、“有害垃圾”分别为a,b,

每桶投一袋的不同投法有:

(〃1,b2,c3,d4),(〃1,b2,c4,d3),⑷，b3,c2,J4),(al,b3,c4fd2),(〃1,M,c3fdl),(〃1,b4,C29d3).

(a2fc3,d4).(〃2,bl,c4,d3),(〃2,b3,cl,J4),(«2,63,c4,JI),(a2fM,c3,dl),(a2,b4,cl,J3),

(a3,bl,cl,t/4),(〃3,bl,c4,J2),33,bl,cl,J4),(。3,b2,c4,JI),33,M,cl,J2),33,c2,dl).

(“4,bT,c3,d2)f(〃4,bl,c2,d3),(〃4,b2,c3,dT),(〃4,b2,c\,d3),(〃4,b3.c\,t/2),(〃4,b3,c2,d\),

共24个，它们等可能,

恰好有两袋垃圾投对的事件A有：

(al,bl,c,4,43),(al,b3,cl,J4),(al,M,c3,d2),(a2,bl,c3,<74),(a3,b2,cl,44),(a4,b2,c3,t/l).

共6个，

所以恰好有两袋垃圾投对的概率为P(A)=(=：

故选：D

12.B

【解析】

【分析】

利用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，从2,3,4,5中任意选取两个不同数字组成两位数为：

23,24,25,32,34,35,42,43,45,52,53,54,共有12个不同的数字，

其中这个两位数能被4整除的为：24,32,52,共有3个，

所以这个两位数能被4整除的概率P=2=

124

故选：B.

13.A

【解析】

【分析】

利用互斥事件的概率加法公式即可得出.

【详解】

解：•甲不输包含甲、乙两人下成和棋与甲获胜，

且甲、乙两人下成和棋与甲获胜是互斥事件，

二甲、乙下成和棋的概率P=0.7-0.2=0.5.

故选：A.

14.D

【解析】

【分析】

先计算2粒都是黑子或2粒都是白子的概率，而取出的2粒颜色不同的对立事件是2粒都是黑子或2粒都是白子，

利用对立事件的概率公式求得答案.

【详解】

2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为g+福=£,

取出的2粒颜色不同的概率为1-5=*

故选：D.

【点睛】

本题考查了互斥事件的概率加法公式，和对立事件的概率计算公式，属于基础题.

15.D

【解析】

【分析】

根据题意，可知甲获胜情况有三种：第一局胜、第二局胜，第一局胜、第二局负、第三局胜，第一局负、第二局胜、

第三局胜，由互斥事件概率加法运算即可求解.

【详解】

甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜，甲在每局比赛中获胜的概率为:，

则甲获胜有以下三种情况：

224

第一局胜、第二局胜，则甲获胜概率为=

4

21?=-

第一局胜、第二局负、第三局胜，则甲获胜概率为5X3X3

274

1?2=一