北京市西城区市级名校2025届高二数学第一学期期末复习检测试题含解析

北京市西城区市级名校2025届高二数学第一学期期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为3，1，则输出的等于A.5 B.4C.3 D.22．在空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正弦值为（）A. B.C. D.3．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（）A. B.C. D.4．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.5．设拋物线的焦点为F，准线为l，P为拋物线上一点，，A为垂足．如果直线AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.86．若圆与圆外切，则（）A. B.C. D.7．直线在y轴上的截距为（）A. B.C. D.8．已知椭圆的左，右两个焦点分别为，若椭圆C上存在一点A，满足，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.9．函数的大致图象为A. B.C. D.10．方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A. B.C. D.11．为了了解某地区的名学生的数学成绩，打算从中抽取一个容量为的样本，现用系统抽样的方法，需从总体中剔除个个体，在整个过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽取的概率分别为（）A. B.C. D.12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则的面积为_________14．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，由球和圆的几何性质，可以知道，，于是.由的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以为焦点的椭圆.如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆.已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为___________.15．如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1600个点,其中落入白色部分的有700个点,据此可估计黑色部分的面积为______________16．设函数（1）求的最小正周期和的最大值；（2）已知锐角的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，且，求的面积.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列的前n项和为Sn，S9=81，，求：（1）Sn；（2）若S3、、Sk成等比数列，求k18．（12分）已知四棱锥的底面是矩形，底面，且，设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点，如图.（1）求证：平面；（2）求直线FH与平面所成角的大小.19．（12分）已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.20．（12分）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程21．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3处取得极值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在[﹣4，4]内的最值.22．（10分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，，且，求a.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：当n＝1时，a＝3，b＝2，满足进行循环的条件，当n＝2时，a，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝3时，a，b＝8，满足进行循环的条件，当n＝4时，a，b＝16，不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答2、A【解析】根据给定条件求出平面的法向量，再借助空间向量夹角公式即可计算作答.【详解】设平面的法向量为，则，令，得，令平面与平面夹角为，则，，所以平面与平面夹角的正弦值为.故选：A3、B【解析】取即可得到第一步应验证不等式.【详解】由题意得，当时，不等式为故选：B4、D【解析】利用抽样的性质求解【详解】所有学生数为，所以所求概率为.故选：D5、D【解析】由题可得方程，进而可得点坐标及点坐标，利用抛物线定义即求【详解】∵抛物线方程为，∴焦点F(2,0)，准线l方程为x=−2，∵直线AF的斜率为,直线AF的方程为，由，可得，∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为，代入抛物线方程，得P点坐标为，∴.故选：D.6、C【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.【详解】由题意，圆与圆可得，，因为两圆相外切，可得，解得故选：C.7、D【解析】将代入直线方程求y值即可.【详解】令，则，得.所以直线在y轴上的截距为.故选：D8、C【解析】根据题意可知当A为椭圆的上下顶点时，即可满足椭圆C上存在一点A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【详解】由椭圆的对称性可知，当A为椭圆的上下顶点时，最大，故只需即可满足题意，设O为坐标原点，则只需,即有，所以，解得，故选：C9、D【解析】根据函数奇偶性排除A、C.当时排除B【详解】解：由可得所以函数为偶函数，排除A、C.因为时，，排除B.故选：D.10、D【解析】由“方程表示椭圆”可求得实数的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论.【详解】若方程表示椭圆，则，解得或.故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是.故选：D.11、D【解析】根据每个个体被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的，分别由剔除的个数和抽取的样本容量除以总体个数即可求解.【详解】根据系统抽样的定义和方法可知：每个个体被抽取的概率都是相等的，每个个体被剔除的概率也都是相等的，所以每个个体被剔除的概率为，每个个体被抽取的概率为，故选：D.12、A【解析】由余弦定理计算求得角,根据三角形面积公式计算即可得出结果.【详解】由余弦定理得，,∴，∴，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据求出，由向量数量积得到，使用余弦定理得到方程组，求出，利用面积公式求出结果.【详解】因为，所以，即，而因为是锐角三角形，所以，所以，所以，因为，所以，即，因为，所以，整理得：①，其中，即，因为，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，则的面积为.故答案为：14、##0.5【解析】利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出，得出离心率.【详解】设球切于，切于E，，球半径为2，所以，，∴，又中，，，故椭圆长轴长为,,根据椭圆在圆锥中截面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球O与相切的切点为椭圆的一个焦点，且，，椭圆的离心率为.故答案：.15、9【解析】先根据点数求解概率,再结合几何概型求解黑色部分的面积【详解】由题设可估计落入黑色部分概率设黑色部分的面积为,由几何概型计算公式可得解得故答案为:916、（1）的最小正周期为，的最大值为1（2）【解析】（1）直接根据的表达式和正弦函数的性质可得到的最小正周期和最大值；（2）先根据求得角的大小为，然后在中利用余弦定理求得，最后根据三角形的面积公式即可【小问1详解】已知则的最小正周期为：则的最大值为：【小问2详解】由可得：（）或（）又为锐角，则可得：.在中，由余弦定理可得：，即又，解得：则的面积为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）Sn=n2（2）11【解析】(1)由等差数列前n项和公式与下标和性质先求，然后结合可解；(2)由(1)中结论和已知列方程可解.【小问1详解】由，解得，又∵，∴，，∴【小问2详解】∵S3，S17–S16，Sk成等比数列，∴S3Sk=(S17–S16)2=，即9k2=332，解得：k=1118、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接CH，延长交PD于点K，连接BK，根据E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，易得，再利用线面平行的判定定理证明.（2）建立空间直角坐标，求得的坐标，平面PBC一个法向量，代入公式求解.【详解】（1）如图所示：连接CH，延长交PD于点K，连接BK，因为设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，所以H为CK的中点，所以，又平面平面，所以平面；（2）建立如图所示直角坐标系则，所以，设平面PBC一个法向量为：，则，有，令，，设直线FH与平面所成角为，所以，因为，所以.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19、（1）（2）当或时，有最大值.【解析】（1）利用等比数列通项公式求解即可；（2）求出数列的前n项的乘积为，利用二次函数的性质求最值即可.【小问1详解】由已知得，数列首项，，设数列的公比为，即∴即，【小问2详解】，即当或5时，有最大值.20、（1）；（2）【解析】（1）根据抛物线的定义，结合到焦点、轴的距离求，写出抛物线方程.（2）直线的斜率不存在易得与不垂直与题设矛盾，设直线方程联立抛物线方程，应用韦达定理求，，进而求，由题设向量垂直的坐标表示有求直线方程即可.【详解】（1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是，∴，解得，则抛物线方程是（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，∴直线的斜率存在．设直线为，整理得，设，，联立直线与抛物线的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或当时，直线的方程是，不满足，舍去当时，直线的方程是，即，∴直线的方程是21、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【解析】（1）先对函数求导，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，结合方程的根与系数关系可求，（2）由（1）可求，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值.【详解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，则，解可得a