黑龙江省孙吴县第一中学2025届高二上数学期末质量检测模拟试题含解析

黑龙江省孙吴县第一中学2025届高二上数学期末质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是A. B.C. D.2．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）A. B.1C. D.3．如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（）A. B.C. D.24．函数f(x)＝－1＋lnx，对∀x0，f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是（）A(－∞，2] B.[2，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)5．设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A. B.C. D.6．已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R，f(－x)≠f(x)B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x)C∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)7．设是等比数列，且，，则（）A.12 B.24C.30 D.328．曲线在处的切线如图所示，则（）A.0 B.C. D.9．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，过双曲线上一点作轴的垂线足为，若，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.10．“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（）A.充要条件 B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件11．下列求导不正确的是（）A B.C. D.12．如图，点A的坐标为，点C的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数有零点，则的取值范围是___________.14．已知函数f(x)=x3－3x2+2，则函数f(x)的极大值为______15．已知数列，点在函数的图象上，则数列的前10项和是______16．已知曲线在处的切线方程为，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足（1）求A的大小；（2）若，的面积为，求的周长18．（12分）已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，点关于坐标原点对称，过点作轴的垂线，为垂足，直线与抛物线交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）设直线与轴交点分别为，求的值；（3）若，求.19．（12分）已知圆C：x2+y2+2ax﹣3＝0，且圆C上存在两点关于直线3x﹣2y﹣3＝0对称.（1）求圆C的半径r；（2）若直线l过点A（2，），且与圆C交于MN，两点，|MN|＝2，求直线l的方程.20．（12分）新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆的吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：（1）求的值；（2）估计该样本数据的平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；（3）根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：纤维长度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等级二等品一等品特等品从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.21．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限（单位：年）1234567失效费（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费参考公式：相关系数线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，参考数据：，，22．（10分）设AB是过抛物线焦点F的弦，若，，求证：（1）；（2）（为弦AB的倾斜角）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.【详解】,，且a,b为正数，，当且仅当，即时，，若不等式对任意实数x恒成立，则对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，，，故选：A【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.2、B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到直线的距离公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由已知，得，，，，，所以在上的投影为，所以点到直线的距离为故选：B3、A【解析】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可【详解】因为平面，平面，平面，所以，，因为所以如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，即.在上的投影向量的长度为，故点到直线的距离为.故选：A4、B【解析】由导数求得的最小值，由最小值非负可得的范围【详解】定义域是，，若，则在上恒成立，单调递增，，不合题意；若，则时，，递减，时，，递增，所以时，取得极小值也是最小值，由题意，解得故选：B5、B【解析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6、C【解析】利用偶函数的定义和全称命题的否定分析判断解答.【详解】∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.故选C【点睛】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7、D【解析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题8、C【解析】由图示求出直线方程，然后求出，，即可求解.【详解】由直线经过，，可求出直线方程为：∵在处的切线∴，∴故选：C【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：.9、A【解析】根据条件可知四边形为正方形，从而根据边长相等，列式求双曲线的离心率.【详解】不妨设在第一象限，则，根据题意，四边形为正方形，于是，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：A.10、A【解析】由椭圆的标准方程结合充分必要条件的定义即得.【详解】若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；反之，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则；所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充要条件.故选：A.11、C【解析】由导数的运算法则、复合函数的求导法则计算后可判断【详解】A：；B：；C：；D：故选：C12、A【解析】分别由矩形面积公式与微积分几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用导数可求得函数的最小值，要使函数有零点，只要，求得函数的最小值，即可得解.【详解】解：，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，因为函数有零点，所以，解得.故答案为：.14、2【解析】利用导数研究函数的单调区间，从而得到极大值.【详解】，令，解得：，00极大值极小值所以当时，函数取得极大值，即函数的极大值为.故答案为：15、【解析】将点代入可得，从而得，再由裂项相消法可求解.【详解】由题意有，所以，所以数列的前10项和为：.故答案为：16、1【解析】先求导，由，代入即得解【详解】由题意，故答案为：1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）通过正弦定理将边化为角的关系，可得，进而可得结果；（2）由面积公式得，结合余弦定理得，进而得结果.【小问1详解】∵∴由正弦定理，得∴∵，∴，故【小问2详解】由（1）知，∵∴∵由余弦定理知，∴，故∴，故∴的周长为18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）运用抛物线的定义进行求解即可；（2）设出直线的方程，与抛物线的方程联立，可求得点和的纵坐标，结合直线点斜式方程、两点间距离公式进行求解即可；（3）利用弦长公式求得，由两点间距离公式求得和，再解方程即可.【小问1详解】抛物线的准线方程为：，因为点到抛物线焦点的距离为，所以有；小问2详解】由题意知，，，设，则，，，，所以直线的方程为，联立，消去得，，解得，设，，，，不妨取，，直线的斜率为，其方程为，令，则，同理可得，所以，而，所以；【小问3详解】，其中，，，因为，所以，化简得，解得（舍负），即，所以【点睛】关键点睛：运用抛物线的定义、弦长公式进行求解是解题的关键.19、（1）r＝2（2）x﹣2＝0或x+﹣3＝0【解析】（1）由已知根据对称性可知直线m过圆心C.代入后可求a，进而可求半径；（2）先求出圆心到直线l的距离，然后结合直线与圆相交的弦长公式可求.【小问1详解】解：圆C的标准方程为，圆心为.因为圆C关于直线m对称，所以直线m过圆心C.将代入，解得.此时圆C的标准方程为，半径r＝2.【小问2详解】解：设圆心到直线距离为d，则d＝＝＝1，①当直线l斜率不存在时，直线方程l为x＝2，符合条件.②当直线l斜率存在时，设直线l方程为y﹣＝k（x﹣2），即x﹣y﹣2k+＝0，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得，k＝﹣，直线l的方程为x+﹣3＝0，综上所述，直线l的方程为x﹣2＝0或x+﹣3＝0.20、（1）（2）（3）【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可求出答案.（2）根据平均数的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纤维长度达到特等品的概率，然后分恰好有一根和两根棉花小问1详解】由解得【小问2详解】该样本数据的平均数为：【小问3详解】由题意一根棉花纤维长度达到特等品的概率为：两根棉花中至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率21、（1）答案见解析；（2）；失效费为6.3万元【解析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数可得结果；（2）根据公式求出和可得关于的线性回归方程，再代入可求出结果.【详解】（1）由题意，知，，∴结合参考数据知：因为与的相关系数近似为0.99，所以与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系（2）∵，∴∴关于