教辅：高考数学复习练习之解答题8

解答题(八)

17.(2020.山东济宁嘉祥县萌山高级中学五模)已知等比数列｛z｝的公比夕＞1,

且⑶，。3的等差中项为10,42=8.

(1)求数列他”｝的通项公式；

n

(2)设及=不求数列｛瓦｝的前〃项和

Cln

ai(l+</2)=20,

解(1)由题意可得

a\q=8,

：.2g1-5q+2=0.

a\=4,

q>l

0=2,

数列｛〃”｝的通项公式为an=2/1(〃€N*).

n

几.cJ_2_2

(2)。〃=2〃+1,…=22+23+2彳+…+2〃+]，

121n

,+2〃+1+2〃+2，

上述两式相减可得畀弓+揖丧+…

11

J_J_J__1_n22"+in〃+2

,-in=21+22+23++2n-2M+1=1-2"+1=]-2"+1,

2

18.(2020.北京高考)在△ABC中，a+b=\\,再从条件①、条件②这两个条

件中选择一个作为已知，求：

(Da的值;

(2)sinC和△ABC的面积.

条件①：c=7,cosA=

19

条件②：cosA=g,cosB=讳.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

解选择条件①：⑴,•,c=7,cosA=-y,a+b=11,

由余弦定理a2=b2+c2-IbccosA,得

/=(11-a)2+72-2(ll一a)X7X(-；),

.,.a=8.

(2),.'cosA=­y»A€(0,71),

_______4r:

/.sinA1_cos2A=

/.AABC的面积S=^?csinA=gx(U-8)X7X砰=6小.

19

选择条件②：(l).「cosA=w，cos8=A,(0,兀),

/.sinA=-\jl-cos2A=sinB=yj1-cos2B=

ClbCL]1-Q

由正弦定理，得杀^=宿，即踵=；五，♦•"=6.

816

(2)sinC=sin(A+B)=sia4cos8+sinBcosA

噜

9甯1

XX-VZ

=+8=4

16

S=^absinC=X6X(11-6)x'=

19.(2020.辽宁大连高三二模)在创建“全国卫生文明城”的过程中，环保部

门对某市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参

加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分C芮分：100分)数据,

统计结果如下表所示：

组另IJ[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数2515020025022510050

(1)已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布14.52),〃近似为这1000

人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，请利用正态分布

的知识求P(36<ZW79.5)；

(2)在(1)的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

①得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机

话费；

②每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查,

记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望.

赠送的随机话费(单位：元)2040

概率

4

附：若X〜NQi,<r),则P(/z—a<XW〃+<7)=0.6827,PQi—2G〈XJI+2a)=

0.9545,P(/z-3(T<XW〃+3(r)=0.9973.

解(1)由题意可得

35X25+45X150+55X200+65X250+75X225+85X100+95X50

iooo

=65,

又a=14.5,

.,.36=65-29=65-2X14.5=〃-2*79.5=65+14.5="+。，

94=65+29=65+2X14.5=〃+2。，50.5=65-14.5=//-<7,

.'.P(50.5<Z<79.5)=0.6827,

P(36<ZW94)=0.9545,

P(36<ZW79.5)=P(/.i-2a<ZW〃+a)

=P(/i-2(T<ZW")++a)

P(/i-2cr<XW〃+2(T)+P(/i-+a)

=2

0.9545+0.6827

=------2------=°-8186.

(2)根据题意，可得出随机变量X的可能取值有20,40,60,80元，

由题可知产(Z</z)=尸(Z2〃)=g,

133

贝P(X=20)=2><4=8>

1113313

P(X=40)=2><4+2X4X4=32'

P(X=60)=2X|X1X1=-^,

P(X=80)=|x|x|=^,

・•・随机变量X的分布列如下表所示:

X20406080

31331

p

8321632

3133175

••.随机变量X的数学期望为E(X)=20Xg+40X方+60X而+80X方=5.

20.（2020.山东临沂二模、枣庄三调）如图①，在RtZkABC中，3为直角，AB

TT

=BC=6,EFIIBC,AE=2,沿EF将△4£：/折起，使=得到如图②的

几何体，点。在线段AC上.

(1)求证：平面AE/1平面ABC；

⑵若AEII平面BDF,求直线AF与平面瓦加所成角的正弦值.

解(1)证明：在AABE中，

兀

：AE=2,BE=4,ZAEB=q,

由余弦定理得AB2=AE2+BE1-2AE-BE-cosZAEB=4+16-2X2X4Xy=

12,

：.AB=2y[3,

jr

.-.BE2=A£2+AB2,：.ZEABJepAELAB,

XEFlBE,EF1AE,AECBE=E,

.•.EF,平面ABE,♦「ABU平面ABE,

：.EFX_AB,

XAEHEF=E,AE,EEU平面AEF,「.AB，平面AM,

又ABU平面ABC,二平面AE£L平面ABC.

（2）解法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为），轴，过

点A垂直于平面A8E的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,0,0),BQ币,0,0),E(0,2,0),尸(0,2,2),0(273,0,6),

.-.AF=（0,2,2）,丽=（2小，-2,-2）,元=（2小，0,6）.

连接EC与尸B交于点G,连接。G,

,.,AE//平面BDF,DG为平面AEC与平面BO尸的交线,

.GCDC

：

.AEIIGD,GE=DA)

在四边形8CEE中，•・・£///8C,.,.△EFGsaCBG,

.QC_BC.DC：.AD=^AC,

GE~EF~^'•'DA

设0(xo,yo,zo),则4D=设,yo,zo),

「理

x（）二2，

由=：Q，得＜y）=0,二0停，°，|

3

[zo=],

.,.访=(坐,-2,一9

设平面80尸的法向量为〃=(X,>,Z),

\n-FD=Wx_2y-=0,

则

、n-FB=25x-2y-2z=0,

取x=l,则2=审，y=0,

.•.n=（l,0,小），

设直线AF与平面跳邛所成角为仇

制.有丽•m2s&

则sm0=一=4、历=，

HR同4"

即直线AF与平面3。厂所成角的正弦值为号

解法二：以E为坐标原点，在平面A8E中过E作所的垂线为x轴，EB所

在直线为），轴，族所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

c

"A

贝ljE(0,0,0),/(0,0,2),5(0,4,0),C(0,4,6),A(小，1,0),

:•第=(-小,-1,2),丽=(0,4,-2),AC=(-y/3,3,6).

连接EC,与交于点G,连接。G,

•:AE//平面BDF,OG为平面AEC与平面B。尸的交线,

,GCDC

：

.AEIIDG,GE=DA'

在四边形BCFE中，••・EF//8C,.,.△EFGS2\C3G,

.GCBC.■.^J=3,：.AD=^AC,

GE=EF=3

设DO,yo,zo),则AO=(xo-小，yo-1,zo),

r不

u-

-vM--=

xoPxo

yo37

-一

由

得

<解

得-

。zo1-

A=-==4

4yo

33

----

k2’<zo2

73

--

42，

竽71

-

=4-2-

设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),

取y=1,

^n-FB=4y-2z=0,

则z=2,x=-3,

」.〃=(一乎,1,2),

设直线AF与平面BDF所成角为仇则

.八\AF-n\4巫

sin0==一=------7==-V.

\^F]\n\小义

二直线AF与平面BDF所成角的正弦值为

21.在平面直角坐标系X。)，中，已知抛物线C：x1=2py(p＞Q),过抛物线的焦

点尸且与)，轴垂直的直线与抛物线相交于A,8两点，且△0A8的周长为2+小.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线/过焦点/且与抛物线C相交于M,N两点，过点M,N分别作抛

物线C的切线伍b,切线/i与/2相交于点P,求|Pf]2-IM/TWW的值.

解⑴由题意，知焦点尸的坐标为(0,匀，将y=g代入抛物线C的方程可求

22

得点A,8的坐标分别为(-p,(p,目，则|AB|=2p,\OA\=\OB\=ylP+^

、行

=2P，可得的周长为2p+小p,贝1J2p+小。=2+小，解得。=1.故抛物

线。的方程为＜=2y.

(2)由(1),知抛物线C的方程可化为＞，=%,求导可得y'=x.设点M,N的

坐标分别为⑶，V),(以y2),直线/的方程为丁=履+/直线/的斜率显然存在).

联立方程Ix\+X2=2k,

整理，得2日-1=0,财

X\X2=-1,

所以yi+”=k(xi+X2)+1=242+1,y\y2=%源=

因为yi=5+,>'k=X]=xi,所以直线/1的方程为y-另=X1（X-X1）,即丁=

同理可得直线h的方程为y=X2X-

XI+X2

y=x\x-

x=2

联立方程＜解得＜

y=X2X-X1X2

则点P的坐标为,，-3).

由抛物线的几何性质，知IMF]=yi+；,\NF\=yi+\,\PF]=

[伙一0)2+(-3-=、幺+1，所以IMFHNFI=+£!=#"+1cvi+”)

+常+呆(2标+l)+*d+i,所以|PE2_|MFHNF|=0.

22.