数学学案：第二章超几何分布

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2超几何分布学习目标重点难点1.通过实例,理解超几何分布及其特点．2．通过对实例的分析,掌握超几何分布的导出过程．3．能会用超几何分布解决简单的实际问题.重点：理解超几何分布的概念．难点：超几何分布列的应用.超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品．用x表示取出的n件产品中次品的件数，那么P（x＝k）＝eq\f(C\o\al(k,M）C\o\al（n－k，N－M），C\o\al(n,M))（其中k为非负整数）．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称x服从参数为N,M，n的超几何分布．预习交流如何正确理解超几何分布？提示：(1)超几何分布是不放回的抽样;（2)超几何分布中各参数k，n，M，N的意义分别为：k是取出的次品件数,n是取出的产品数，M是产品中的次品数,N是产品总数．1．超几何分布的实例某班共50名学生，其中35名男生，15名女生，随机从中抽取5名同学参加学生代表大会,所抽取的5名学生代表中，求女生人数X的分布列．思路分析：由题意知女生人数X服从超几何分布，其中N＝50，M＝15，n＝5.利用超几何分布的概率公式求解．解:从50名学生中随机抽取5人共有Ceq\o\al(5，50）种方法,没有女生的取法是Ceq\o\al(0,15）Ceq\o\al（5，35），恰有1名女生的取法为Ceq\o\al（1,15)Ceq\o\al（4，35）,恰有2名女生的取法为Ceq\o\al(2,15)Ceq\o\al（3，35）,恰有3名女生的取法为Ceq\o\al(3，15)Ceq\o\al（2,35)，恰有4名女生的取法为Ceq\o\al(4，15)Ceq\o\al(1,35)，恰有5名女生的取法为Ceq\o\al（5,15）Ceq\o\al（0，35)。因此，抽取5名学生代表中，女生人数X的分布列为：X012345Peq\f(C\o\al（0,15）C\o\al(5，35）,C\o\al(5,50)）eq\f(C\o\al（1,15)C\o\al(4，35），C\o\al（5，50)）eq\f(C\o\al(2，15)C\o\al(3，35），C\o\al（5，50）)eq\f（C\o\al（3，15）C\o\al（2,35）,C\o\al(5,50))eq\f(C\o\al(4,15）C\o\al(1,35)，C\o\al（5，50))eq\f（C\o\al（5,15）C\o\al（0，35)，C\o\al（5，50）)从一批含有13件正品,2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数X的分布列．解：设随机变量x表示取出次品的个数,则X服从参数N＝15，M＝2，n＝3的超几何分布．它的可能的取值为0,1，2，相应的概率依次为：P（x＝0）＝eq\f(C\o\al（0,2）C\o\al(3,13）,C\o\al(3,15)）＝eq\f(22，35）,P(x＝1）＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al（2，13）,C\o\al(3,15）)＝eq\f（12,35），P(x＝2)＝eq\f（C\o\al（2，2)C\o\al（1，13)，C\o\al(3，15)）＝eq\f(1,35）.所以X的分布列为：X012Peq\f（22，35)eq\f（12,35)eq\f(1，35)应用超几何分布的概率公式求解，关键是透彻理解超几何分布的意义，即明确k，n，N，M的实际意义及所取的相应数值．2．超几何分布的实际应用从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．思路分析:由题目可知选出的女同学人数服从参数N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布,根据超几何分布概率公式直接求,也可用间接法求解．解：设选出的女同学人数为X，则X的可能取值为0，1，2,3，且X服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P(X≥1）＝P(X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝eq\f（C\o\al（1,4)C\o\al(2，6）,C\o\al（3,10）)＋eq\f（C\o\al(2，4）C\o\al（1，6）,C\o\al（3，10）)＋eq\f(C\o\al（3，4)C\o\al（0，6),C\o\al（3，10))＝eq\f(5，6）或P（X≥1)＝1－P(X＝0）＝1－eq\f(C\o\al(0，4)C\o\al（3,6），C\o\al（3,10))＝eq\f（5，6）.生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品，采购方接收该批产品的原则是：从该批产品中任取5箱产品进行检验，若至多有1箱不合格产品,便接收该批产品,问该批产品被接收的概率是多少？解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱,用X表示“5箱中的不合格产品的箱数”，则X服从参数N＝50，M＝2，n＝5的超几何分布，这批产品被接收的条件是任取的5箱中没有不合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率为：P（X≤1)＝P（X＝0）＋P(X＝1）＝eq\f（C\o\al(0,2)C\o\al(5,48），C\o\al（5,50）)＋eq\f(C\o\al(1，2）C\o\al(4，48），C\o\al（5,50））＝eq\f(243,245）≈99。2%。所以该批产品被接收的概率是99.2％。超几何分布是离散型随机变量的分布列中较常见的一种模型，要理解P(X＝k)＝eq\f（C\o\al(k,M)C\o\al(n－k，N－M）,C\o\al（n，N)）(其中k为非负整数），先求出概率值，列出分布列,再求符合题意的概率．1．有10件产品,其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，则P（X＜2)＝(）．A．eq\f（7,15) B．eq\f（8，15) C．eq\f(14,15) D．1答案：C解析:由题意知X取0，1，2且服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝2.即P（X＜2)＝P(X＝0）＋P（X＝1)＝eq\f（C\o\al（0，3）C\o\al（2,7)，C\o\al（2,10））＋eq\f(C\o\al(1，3）C\o\al(1,7）,C\o\al（2，10)）＝eq\f(7,15）＋eq\f（7,15)＝eq\f(14，15）.2．100张奖券中有4张有奖,从这100张奖券中任取2张，则2张都中奖的概率是（）．A．eq\f(1，50) B．eq\f（1，25） C．eq\f（1，825) D．eq\f（1,4950)答案：C解析:由题意知中奖的奖券数X可取0,1，2，服从超几何分布，N＝100，M＝4，n＝2，∴2张都中奖的概率为P（X＝2）＝eq\f(C\o\al(2，4)C\o\al（0，96），C\o\al(2，100))＝eq\f(1,825).3．把X，Y两种遗传基因冷冻保存,若X有30个单位，Y有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效,则X，Y两种基因各失效1个单位的概率是()．A．eq\f（24，49) B．eq\f（1,25) C．eq\f(1,30) D．eq\f（1，600)答案:A解析:由题意知服从超几何分布，则X，Y两种基因各失效1个单位的概率为eq\f(C\o\al（1,30)C\o\al（1，20），C\o\al(2,50））＝eq\f(24，49).4．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种型号都齐全的概率是__________．答案:eq\f(3,5)解析：由题意知服从超几何分布，其中两种型号都齐全的概率为eq\f(C\o\al（1，3)C\o\al（1，2）,C\o\al（2，5））＝eq\f（3,5).5．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为多少？解:设随机变量X表示“抽出中奖票的张数”,