数学学案：本章整合第一章常用逻辑用语

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章整合知识网络专题探究专题一、含有逻辑联结词的命题的真假判断给出两个命题，其中一真一假，求参数的取值范围．设其中一个为p,另一个为q，若p与q一真一假，那么p真q假，或p假q真,可以借助于集合的观点处理．设p为真，对应的参数取值范围的集合为A，则p为假的集合为RA。设q为真，对应的参数取值范围的集合为B，则q为假的集合为RB。从而p与q一真一假的参数的取值范围的集合为(A∩RB)∪（B∩RA）．【例1】已知命题p：2∈{2,3,4｝，q：{矩形}∩{菱形｝＝{正方形}，写出命题“p∨q”“p∧q"“p”，并判断其真假．思路分析：根据“且”“或"“非”命题的定义写出命题;先判断每个命题的真假，然后利用真值表判断由“且”“或”“非”联结成的新命题的真假．解：p∨q：2∈｛2,3，4}∨｛矩形｝∩｛菱形}＝｛正方形｝;p∧q：2∈｛2，3，4}∧｛矩形｝∩{菱形}＝{正方形｝；p:2｛2，3，4}，由已知得命题p，q都是真命题，故p∨q，p∧q都是真命题，p是假命题．专题二、充分条件、必要条件的判定及其应用处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及的知识点和有关概念．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．对于充要条件的证明题,既要证明充分性,又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真,逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到,也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不只一个，必要条件也可能不只一个．【例2】已知p：eq\b\lc\|\rc\｜（eq\a\vs4\al\co1(1－eq\f(x－1,3））)≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0）,且p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围．思路分析：化简p，q中x的取值范围，实行等价转化:p是q的必要不充分条件p是q的充分不必要条件，然后列出关于m的不等式组求解．解：p为真时,由eq\b\lc\|\rc\｜(eq\a\vs4\al\co1（1－eq\f（x－1，3）))≤2得－2≤x≤10,q为真时,由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)得1－m≤x≤1＋m（m＞0）,因为p是q的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，所以eq\b\lc\｛\rc\(eq\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m≥10,)）两等号不能同时成立,解得m≥9，所以m的取值范围为［9，＋∞）．专题三、四种命题及其关系关于逆命题、否命题、逆否命题,也可以有如下表述：第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题;第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；第三:交换原命题的条件和结论,并且同时否定，所得的命题为逆否命题．原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题等价，即互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．互为逆命题或互为否命题的两个命题不等价．【例3】命题“若一个数是负数，则它的平方是正数"的逆命题是（）A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数"D．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数"解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．答案：B【例4】求证：若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数．证明：若a，b，c都是奇数，设a＝2m－1，b＝2n－1,c＝2p－1,m，n，p∈Z则a2＋b2＝（2m－1)2＋(2n－1）＝2（2m2＋2n2－2m－2而c2＝（2p－1)2＝4p2－4p＋1＝4（p2－p）＋1，为