数学同步优化训练：向量在物理中的应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.5。2向量在物理中的应用举例5分钟训练（预习类训练，可用于课前)1.用力F推动一物体G，使其沿水平方向运动s，F与垂直方向的夹角为θ，则F对物体G所做的功为(）A。F·s·cosθB.F·s·sinθC.|F||s|cosθD。|F｜｜s|sinθ解析：根据力对物体做功的定义，W=｜F|｜s｜cos(90°-θ）=｜F｜|s｜sinθ。答案：D2。一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2,已知船可垂直到达对岸，则（)A。|v1｜＜｜v2｜B.|v1|＞｜v2｜C。|v1｜≤|v2｜D.|v1｜≥|v2｜解析:只有当船速大于水速时，船速在水速方向的分速度能够和水速抵消，船才能垂直到达对岸.答案:B3.已知三个力F1=（3，4)，F2=(2,-5），F3=（x，y)的合力F1+F2+F3=0,求F3的坐标.解：由题设F1+F2+F3=0，得(3，4）+（2，-5）+(x，y）=(0，0)，即∴∴F3=（—5，1）。10分钟训练(强化类训练，可用于课中）1.一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳臂受伤，试用向量知识加以解释.解：设小孩的体重为G,两胳膊受力分别为F1,F2，且F1=F2，两胳膊的夹角为θ，胳膊受力分析如图（不计其他因素产生的力)，不难建立向量模型：｜F1|=，θ∈［0，π］，当θ=0时，｜F1|=；当θ=时,|F1|=|G｜；又∈(0，)时,|F1|单调递增,故当θ∈（0，）时,F1∈（，|G｜）,当θ∈(,π)时，｜F1|＞|G｜。此时,欲悬空拎起小孩则容易造成小孩受伤.2。某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和方向。解:设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a,设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a.设=-a,=—2a.∵，∴=v—a.这就是感到由正北方向吹来的风速。∵，∴=v—2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意知∠PBO=45°，PA⊥BO，BA=AO，可知△POB为等腰直角三角形，∴PO=PB=,即｜v|=。∴实际风速是的西北风。3。已知两恒力F1=（3，4）,F2=（6，-5)作用于同一质点，使之由点A(20，15）移动到点B(7,0).试求:（1）F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功。解析：设物体在力F作用下位移为s，则所做的功为W=F·s。=（7，0）-（20,15）=（-13,—15)。(1）W1=F1·=（3，4)·（-13,—15)=-99(焦耳)。W2=F2·=（6,—5)·(-13,—15）=—3(焦耳）.(2)W=F·=(F1+F2)·［（3,4)+（6,—5)］·(-13，—15)=(9,-1）·(-13,-15)=-102（焦耳）。4。在静水中划船的速度是每分钟40米,水流的速度是每分钟20米。如果从岸边O点出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，试问小船的行进方向应指向哪里？解析：用向量的长度和方向分别表示水流的速度和方向,用表示船行进的方向,它的长度表示船的速度.以、为邻边作平行四边形OACB,连结OC.依题意OC⊥OA，BC=OA=20，OB=40，∴∠BOC=30°,即船应沿上游与河岸夹角为30°的方向行进。30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.平面上有两个向量e1=（1,0），e2=(0,1),今有动点P从P0（—1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为｜e1+e2|.另一点Q从Q0(-2，1）出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|.设P、Q在t=0秒时分别在P0、Q0处，则当PQ⊥P0Q0时，t=______________________.解析：∵P0(-1,2),Q0（-2,1)，∴=(—1,—3）。又∵e1+e2=（1,1)，∴｜e1+e2｜=。∵3e1+2e2=（3，2),∴|3e1+2e2｜=.∴当t时刻时，点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,—1+2t)。∴=(—1+2t,—3+t）.∵PQ⊥P0Q0,∴(—1）·(—1+2t)+(-3)·(-3+t)=0。∴t=2。答案：22。如图2-5—6所示,已知两个力F1、F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60°，|F|=10N。求F1图2-5-6解：｜F1|=|F|cos60°=10×=5N，|F2|=｜F|sin60°=10×=N。∴F1的大小为5N，F2的大小为N.3。一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为v2,船实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流间的夹角是60°，求v1和v2.解：｜v1|=｜v｜·sin60°=4×=（km/h)，|v2|=|v｜·cos60°=4×=2(km/h)。∴v1的大小为km/h，v2的大小为2km/h。4.飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°，并且A、C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.解：如图所示，设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意,的方向是北偏西60°，｜｜=1000km;的方向是南偏西60°,|｜=2000km,所以∠BAC=60°.过点B作东西基线的垂线，交AC于点D，则△ABD为正三角形.所以BD=CD=1000km，∠CBD=∠BCD=∠BDA=30°.所以∠ABC=90°.BC=ACsin60°=2000×=(km)，||=(km）.所以飞机从B地到C地的位移大小是km，方向是南偏西30°.5.已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g=10m/s2)解：如图所示，设木块的位移为s，则F·s=｜F|｜s|cos30°=50×20×=(J)。将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为｜F1｜=｜F|sin30°=50×=25（N），所以，摩擦力f的大小为｜f｜=|μ（G—F1）|=（80-25）×0.02=1。1（N)。因此f·s=|f｜｜s｜cos180°=1.1×20×（—1）=-22（J）.即F和f所做的功分别是J和—22J。6。如图2-5-7所示,有两条相交成60°的直线xx1、yy1,交点为O。甲、乙分别在Ox、Oy1上,起初甲位于离O点3km的A处，乙位于离O1km的B处.后来两个人同时用每小时4km的速度，甲沿xx(1)起初两个人的距离是多少？（2)什么时候两人的距离最近?（△ABC的三边长为a，b，c,则有如下结论：b2=a2+c2—2accosB)图2解：(1）起初两人分别在A、B两点，则｜｜=3,||=1。∴||=｜｜2+｜|2—2｜｜｜|cos60°=9+1-2×3×1×=7.∴|｜=km，即起初两人相距km。(2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则｜|=4t，||=4t,又∵甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动，∴当0≤t≤时，|｜2=（3—4t）2+（1+4t)