考点14-等腰三角形与直角三角形-中考数学考点

考点14等腰三角形与直角三角形

q工知识整合

一、等腰三角形

1.等腰三角形的性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）.

推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、

底边上的高重合.

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。.

2.等腰三角形的判定

定理；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.这个判定

定理常用于证明同一个三角形中的边相等.

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

推论2：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

二、等边三角形

1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.

2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。.

3.判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形.

三、直角三角形与勾股定理

1.直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

性质：（1）直角三角形,两锐角互余；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么,它所对的直角边等于斜边的一半；

（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

2.勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边。、6的平方和等于斜边。的平方，即：

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边队反。有关系：/+抉那么这个三角形是直角三角形.

很重点考向,

考向一等腰三角形的性质

1.等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴.

2.等腰直角三角形的两个底角相等且等于45。.

3.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

4.等腰三角形的三边关系：设腰长为m底边长为4则2<〃.

2

1QAO_/A

5.等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为NA,底角为N8、NC,则/4=180。-2/8,ZB=ZC=---------------.

2

典例引领

S______r

典例1等腰三角形的一个内角为70。，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是

A.35。B.20°

C.35。或20。D.无法确定

【答案】C

【解析】70。是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35。，70。是底角，顶角是40。，它的一腰上

的高与底边所夹的角的度数是20。，故选C.

典例2如图，等腰三角形4BC中，NB4G90。，在底边8C上截取8D=AB,过。作。E_L8C交AC于E,

连接40,则图中等腰三角形的个数是

【答案】D

【解析】三角形ABC是等腰三角形，且NB4c=90。，所以NB=NC=45。，又OE_L8C,所以N£>EC=NC=45。,

所以△EDC是等腰三角形，BD=AB,所以△48。是等腰三角形，ZBAD=ZBDA,而/£4。=90。-/m0,

N££>A=90。-N8D4,所以NE4Z）;NEDA,所以△E4。是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个，故选D.

【名师点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形的内角和定理：由已知的条件利用相关的性

质，求得各个角的度数是正确解题的关键.

变式拓展

1.等腰三角形的周长为15cm,其中一边长为3cm.则该等腰三角形的腰长为

A.3cmB.6cmC.3cm或6cmD.3cm或9cm

考向二等腰三角形的判定

1.等接三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等

关系的重要依据.

2.底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形.

典例引领

典例3如图，在△ABC中，AB=AC,AD_LBC于。，石是上的一点，E尸〃A。交CA的延长线于立

求证：△从£〃是等腰三角形.

【解析】・・・4B=AC,AD1BC,：.ZBAD=ZCAD.

又•：M/EF,：.ZF=ZCAD,NFEA=/BAD,

：・4FEA=4F,

•••△AEF是等腰三角形.学一科网

变式拓展

2.已知在△ABC中，A3=5,BC=2,且4?的长为奇数.

(1)求△ABC的周长；

：2)判断△ABC的形状.

考向三等边三角形的性质

1.等边三角形具有等腰三角形的一切性质.

2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.

3.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.

典例引领

典例4如图，AABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点。，AD=AP,且NAPD=70。,

NPAB的度数是

A.10°B.15°D.25°

【答案】C

【解析】AD=AP,所以NW2"因为乙/2”70。，所以

所以22虱4180J70。-70，=40，，因为N5NC=6(T,所以NRW3=6070，=201故选C.

变式拓展

3.如图，四边形ABCO是正方形，△PAD是等边三角形，则NBPC等于

A.20°B.30°D.40°

考向四等边三角形的判定

在等腰一:角形中，只要有一个角是60。，无论这个角是顶角还是底角，这个一角形就是等边三角形.

典例引领

S____r

典例5下列推理中，错误的是

A.VZ4=/«=/C,•,.△ARC是等边二角形

B.-：AB=ACf且NB=NC,二/XABC是等边三角形

C.VZA=60°,ZB=60°,，/XABC是等边三角形

D.'：AB=ACtZB=60°,二/XABC是等边三角形

【答案】B

【解析】A,・.・N%Z5=NC,是等边三角形，故正确；

B,条件重复且条件不足，故不正确；

C,VZX-60%N5=60"...NC=60:.・・AJ3C是等边三角形60。，故正确；

D,根据有一个角是60：的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确.故选B.

变式拓展

4.如图，已知OA=5,P是射线ON上的一个动点，NAO260。.当。尸=时，AAOP为等边三

考向五直角三角形

在直角三角形中，30。的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明

一边：30。角所对的直角边）等于另一边：斜边）的一半的重要依据.当题目中己知的条件或结论倾向于该

性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题.

典例引领

S________r

典例6如图，在RlZ\ABC中，NC=90。，AO平分NB4c交8C于点。，若NB=30。，BD=6,则CO的长

为.

CD

【答案】3

【解析】•・•在RlZ\A8C中，ZC=90°,Z5=30°,AZMC=60°.又A。平分NBAC,・・・NB4D=NCAD=30°,

AZBAD=ZB=30o,：.AD=BD=6,：,CD=-AD=3,故答案为：3.

2

变式拓展

5.已知直角三角形的两条边分别是5和12,则斜边上的中线的长度为.

考向六勾股定理

1.应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆。2+〃二夕时，斜边只能是C.若力为斜边，则关系

式是东+~斗2；若。为斜边，则关系式是按+^=".

2.如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解

时必须进行分类讨论，以免漏解.学一科网

典例引领

S________r

典例7下列几组数：①6,8,10；②7,24,25；③9,12,15；@n2~\,2〃，n2+l（〃）（〃是大于1的整

数），其中是勾股数的有

A.1组B.2组C.3组D.42且

【答案】D

【解析】①•••62+82=100=102,・・.6、8、10是勾股数；②•・•72+242=252,Z.7,24,25是勾股数；@V92+122=152,

2

...9,12,15是勾股数；④（M-1）2+（2〃）2=（n2+1）2,.•.话t,2n,n+l（w）（〃是大于1的整数）

是勾股数，故选D.

【名师点睛】本题考查了勾股数的判断，解题的关键是根据勾股数的定义分别对每一组数进行分析.

变式拓展

6.如图，一圆柱高8cm,底面半径为9cm,一只蚂蚁从点A爬到点8处吃食，要爬行的最短路程是

71

A.12cmB.10cm

C.8cmD.6cm

声点冲关*

1.三角形的三边长a,b,。满足为〃=(a+b)2-/,则此三角形是

A.钝角三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

2.如图，在△ABC中，AB=4C,点。在4c上，KBD=BC=AD,则NA等于

A

BAC

A.30°B.40°

C.45°D.36°

3.下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是

A.5"，6B.6,7,8

C.12,25,27D.273.2石，472

4.如图，在△A8C中，AB=ACfZB=30°,ADA.AB,交BC干点、D,AO=4,则BC的长为

5.已知△ABC的三边分别是a、b、c,下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是

A.凉+代小B.ZA+ZB=90°

C.a=3,W,c=5D.ZA：Z5：ZC=3：4：5

6.(浙江省宁波市郸州区2017届九年级4月学业模拟)如图，等腰直角△4BC的中线AE,C尸相交于点

G,若斜边AB的长为6,则AG长为

G

c8

A.3B.372C.V10D.V13

7.如图，/XABC中，AB=AC=5fBC=6,点。在8C上，且AO平分N34C,则4。的长为

8.如图，A、8两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC

是等腰三角形，则符合条件是点C共有

A.8个B9个

C.10个D11个

9.如图，RlaABC中，ZB=90,AB=9,BC=6,,将△4BC折叠，使A点与8C的中点。重合，折痕为

MN,则线段AN的长等于

10.（浙江省余姚市2018届九年级第六次联考）已知B。是△ABC的中线，AC=6,且NAOB=45。，ZC=30°,

则AB=

A.瓜B.2上

C.372D.6

11.等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16cm和12cm,则等腰三角形的底边长为

12.如图，在等边AABC中，点D为边上的点，DE_LBC交A8于E,。忆LAC于忆则NE£＞尸的度数

为

13.（浙江省嘉兴市秀洲区高照实验学校2018届九年级中考能力测试四）如图，在aABC中，NA8C=90°,

。是AC上一点，AD=AB.若NA=50。，则NOBC=

14.若一个等腰三角形的周长为26,

15.如图，在AABC中，AB=AC,D、E分别是BC、AC上一点，且4£）=AE，NEDC=12。，则

ZBAD=

16.如图，已知△ABC是等边三角形，点8,C,D,E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE,则NEFZ）二

17.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=7,点E是A。上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠,

当点4的对应点4恰好落在N8C。的平分线上时，C4的长为.

18.〔2018年浙江省温州市鹿城区中考模拟）如图，在AABC中，AB=AC，CO是NACB的平分线,

DE//BC,交4c于点E.

C1）求证：DE=CE.学科+网

：2）若NCDE=35。,求N4的度数.

19.如图，一架2.5m长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端。为0.7m.

U）求。4的长度;

：2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米?

20.如图，Z\48C是等边三角形，点。、E分别在边BC、AC上，AE=BD,连接。£,过点E作

交线段8C的延长线于点立

（1）求证：CE=CF；

：2）若BD=LCE,AB=9,求线段。尸的长.

2

21.已知：如图，有人在岸上点。的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长C8=10米，CA1AB,且CA=6

米，拉动绳子将船从点8沿曲方向行驶到点。后，绳长8=6点米.

U）试判定△AC。的形状，并说明理由;

；2）求船体移动距离BD的长度.

22.12018年浙江省温州市苍南县中考数学一模）如图，5x5的正方形网格中隐去了一些网格线，AB,CD

间的距离是2个单位，CD,EF间的距离是3个单位，格点。在CO上（网格线的交点叫格点）.请

分别在图①、②中作格点三角形使得NPO890。，其中点尸在AB上，点。在E尸上，且它们

不全等.

23.:浙江省杭州市萧山区2017年数学一模）如图，在等边△ABC中，线段4例为BC边上的中线.动点

。在直线AW上时，以。。为一边且在CD的下方作等边△CDE,连接BE.

Cl）填空：ZACB=度;

：2）当点O在线段AM上（点。不运动到点A）时，试求出一的值.

直通中考

L/—

1.（2018•湖州）如图，AD,CE分别是AABC的中线和角平分线.若A6=AC,/CAD=20。，则

NACE的度数是

A.20°

C.40°D.70°

2.（2018•绍兴）等腰三角形A8C中，顶角A为40。，点尸在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且3P=

BA，则NP8C的度数为.

3.（201X•嘉兴）已知.在△4NC中，AB=AC,。为4c的中点，DEA.AB,DFLBC.垂足分

别为点E,F,且DE=DF.求证：AA8C是等边三角形.

4.（2018•杭州）阅读下列题目的解题过程：

已知a、b、c为△"（：的三边，且满足层/-吠2=八以试判断△ABC的形状.

解：a2c2-b2c人"-巩A

Ac2（c^-tr）=（tz2+/>2）（a2-b2>）,B

，走出+乩c

/.△ABC是直角三角形.

问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：：

C2）错误的原因为：；

：3）本题正确的结论为：.

5.（2018•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：

例1等腰三角形ABC中，ZA=110%求的度数.（答案：35°）

例2等腰三角形A8C中，NA=40。，求N3的度数.（答案：40。或70。或100。）

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式等腰三角形ABC中，ZA=80°,求N8的度数.

（1）请你解答以上的变式题.

（2）解（1）后，小敏发现，NA的度数不同，得到NB的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC

中，设NA=x。，当N8有三个不同的度数时，请你探索工的取值范围.

£参考答案

变式拓展

一

1.【答案】B

【解析】当3cm是底时，则腰长是(15-3)+2=6(cm),此时能够组成三角形；当3cm是腰时，则底

是15-3x2=9(cm),此时3+3<9,不能组成三角形，应舍去，故选B.

2.【解析】(1)由题意得：5~2<AB<5+2,即：3<AB<lt

・；A8为奇数，，A8=5,

:.XABC的周长为5+5+2=12.

⑵-：AB=AC=5f

•••△ABC是等腰三角形.

3.【答案】B

【蟀析】:四边形T3CD是正方形，A21D是等边三角形，

?.ABAP=NBAD+NPAB=90°+60°=150°.

\'PA=AD,AB=AD,：.PA=AB,

,乙郎=180：5。°=]5。,

一

?.4PBe=Z.4BC-"BP=90°-15°=75°,

同理：ZPCB=75°,；.Z5PC=180°-75°-75°=30°.

4.【答案】5

【解析】已知/AON=60。，当OP=O4=5时，根据有一个角为60。的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP

为等边三角形.故答案为：5.

5.【答案】6或6.5

【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13,利用直角三角形斜边的

中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜

边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6,故答案为：6或6.5.

6.【答案】B

【解析】如图，底面圆周长为2口，底面半圆弧长为“，即半圆弧长为：-x27tx—=6(cm),展开得：

2兀

VfiC=8cm,AC=6cm,根据勾股定理得：4斤后二手=10(cm),故选B.

考点冲关

1.【答案】c

【解析】♦・•原式可化为d+/=/，・••此三角形是直角三角形，故选C.

2.【答案】D

【解析】•:AD=BD,：.ZA=ZABD,.\Z5DC=2Z4.

'：BD=BC,AZC=Z^DC=2ZA.*：AB=AC,AZ4BC=ZC=2ZA,

由三角形内角和定理，得NA+2NA+2NA=180。，即/A=36。.故选D.

3.【答案】D

【解析】A、（^）-（74）:=（75）故不是直角三角形，此选项错误夕

B、6--7-=8-,故不是直角三角形，此选项错误；

C、12「25号2不，故不是直角三角形，此选项错误；

D、（2JJ）二C/二=（48）故是直角三角形，此选项正确，改选D.

4.【答案】C

【解析】•••AB=AC,，NB=NC=30°,・・工8_14£>,...BO=2AZ）=2x4=8,NB+NAO8=90°,・・.NAO8=60°,

VZADB=ZDAC+ZC=60°,AZDAC=30°,:・/DAC=/C,；・DC=AD=4,：.BC=BD+DC=S+4=12f故

选C.

5.【答案】D

【解析】A.。2=6+/,符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意：

B.NA+NB=NC,此时NC是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；

C.52=32+42,符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；

D.NA：N8：NC=3：4：5,那么NA=45。、NB=60。、ZC=75°,ZVIBC不是直角三角形.故选D.

6.【答案】C

【解析】根据等腰直角三角形的勾股定理可得：AC=BC=3五，根据中线的性质可知：CE二巫,在

2

Rt^ACE中，由勾股定理可得：AE=当叵，根据重心的性质可知AG：AE=2：3,则

2

AG=-AE=-x^^-=y/\O,故选C.

332

7.【答案】C

【解析】*：AB=AC=5,AO平分NB4C,806,：・BD=CD=3,ZADB=90°.:・AD='AB?_BD2=4.故

选C.

①点C以点A为标准，48为底边，符合点。的有5个；②点。以点8为标准，A8为等腰三角形的一

条边，符合点C的有4个.所以符合条件的点C共有9个.故选B.

9.【答案】A

【解析】设4V=x，由翻折的性质可知。心⑷V=X,则BN=9F・・・。是BC的中点，."£>=4'6=3.在

2

222

RtABDN中,由勾股定理得:ND=NB2+BD2,即/=（9-x）+3,解得x=f,AN=5,故选A.

10.【答案】C

因为NAO8=45。，ZC=30°,所以DE=x,CE=币x,则x+3=6,一解得x=3+3^,所以

2

AE=ADDE=3->3应=3-3应在中，由勾股定理得：A^J^+BE2=

22

J(3-j应产+(3+；啰)2:3叵,故选C.

唱=12

【解析】设等腰三角形的腰长是心底边是丁，根据题意得<

—+y=16

2

解得〈,经检验，均符合三角形的三边关系.

y=12

因此三角形的底边是空cm或12cm.故答案为：—cm或12cm.

33

12.【答案】60n

【解析】是等边三角形，・・,44=/3=60，，・・・万1月。交.好于E,。尸1NC于尸，，/瓦沃

NAFA90M;/?即是ZkB工的夕卜角,Z-4£Z>Z5-ZBD£=603-90°-150s,.'.Z£DF=360°-Z-4-

/WED-ZU尸>3600-600-150。-90，=60:故答案为：60s.

13.【答案】25

1800-50°

【解析】因为ND-N3,Z.4-505,所以乙W孙——^^=65、因为乙”(％90»,所以NDBO900-

一

65。-25。,故答案为：25.

14.【答案】10

【解析】①当6为腰长时，则腰长为6,底边=26-6-6=14,因为14>6+6,所以不能构成三角形；

②当6为底边时，则腰长=(26-6)+2=10,因为6-6vl(X6+6,所以能构成三角形，故腰长为10.故答

案为：10.

15.【答案】24。

【解析】•・•NADC是三角形4B。的外角，NAEO是三角形OEC的一个外角，NCDE=x0,

・•・ZADC=ZBAD+/B=ZADE+ZEDC，ZAED=/EDC+ZC，

N3+NB4D=NADK+%。，Z4£D=ZC+x°,

VAB=AC,D、E分别在BC、4c上，AD=AE^/CDE=R

・・・ZB=NC，ZA£>E=ZA£D=ZC+20o，AZC+ZBAZ>=ZC+x°4-x°,

VZEDC=12°,AZ^AP=24°，故答案为：24。.

16.【答案】15

【解析】•二△48。是等边二角形，，/ACR=60°,/ACD=120°.*：CG=CD,：.7CDG=30°,/FDE=150°,

":DF=DE,：.ZE=\50.故答案为：15.

17.【答案】3夜或4垃

【解析】如图，过点4作4M_LBC于点M.

•:点A的对应点4恰落在NBCD的平分线上，N8C£>=90。，・・・N4cM=45。，即AAMC是等腰宜角三

角形，

・•・设CM=A^M=x,则BM=l-x.又由折叠的性质知AB=AiB=5,二在直角AAiMB中，由勾股定理得

^1^=/1152-^=25-(7-x)2,.*.25-(7-x)2=^,解得xi=3,&=4,二•在等腰RtZ\4CM中，CA尸&4M,

・・・C4=3a或4a.故答案为：3收或4&.学_科网

18.【解析】(1)・・・CO是NACB的平分线，

:・/BCD=/ECD.

VDE〃BC,

:,NEDC=/BCD、

:.ZEDC=ZECD,

:.DE=CE.

⑵,:NECD=NEDC=35。,

:.ZACB=2/ECD=70。.

*：AB=AC,

：,ZABC=ZACB=70°t

:.ZA=180。-70。-70。=40。.

19.【解析】在直角△ABO中，已知48=2.5m,BO=0.1m,

则AO=J2.52-O.72=2.4m,

,：AO=AA,+OA,,・・・0/r=2m,

•:在直角△Ab。中，AB=A,B',且4B为斜边，

:‘OR'=\.5m,

・WO夕-08=1.5m-0.7m=0.8m.

答：梯足向外移动了0.8m.

20.【解析】(1):△ABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,ZBAC=^ABC=ZACB=600,

•:AE=BD,.\AC-AE=BC-BDt

:・CE=CD,且NACB=60。，

・•・△CDE是等边三角形，

:.NECD=NDEC=60°,

，：EFIDE,：.ZDEF=90°,

:.ZCEF=30°,

,:ZDCE=ZCEF+ZCFE=60°,

:.NCEF=NCFE=30。,

：.CE=CF.

⑵-：BD=-CE,CE=CD,

2

：.BD=-CD

2f

'：AB=9,；・BC=9,

:.BD=3,CD=6,

•:CE=CF=CD,

:.CF=6,

：.DF=DC+CF=\2.

21.【解析】(1)由题意可得：AC=6m.006&m,ZCA£>=90°,

可得AD=Jcz)2_A'2=6(m),

故△ACO是等腰直角三角形.

⑵*：AC=6m,BC=10m,ZCAD=90°,

22

：.AB=yjBC-AC=8(m),

则30=45-40=8-6=2(m).

答：船体移动距离BO的长度为2m.

22.【解析】APOQ加图所示：

23.【解析】(1);△ABC是等边三角形，

:.ZACB=60°.

[2)••・△ABC与△OEC都是等边三角形，

：.AC=BCfCD=CE,

NACB=NDCE=60。,

:.NACD+NDCB=NDCB+NBCE,

:./ACD=/BCE,

在△AC。与△BCE中，AC=BC,ZACD=ZBCEtCD=CE,

:.△ACD9XBCE(SAS),

:.AD;BE,

AD

BE

直通中考

1.【答案】B

【解析】:人。是△ABC的中线，AB=AC,ZCAD=20Q,/.ZCAB=2ZCAD=40°,ZB=Z4CB=-(180°-

2

ZC4B)=70°.是△48C的角平分线，,NACE='/ACB=35。.故选B.

2

2.【答案】30。或110。

【解析】如图:分两种情况进行讨论.

1800-40°

易证尸空A^BC，••・ZABPuNaACu皿。，ZABC=------------=70°,

2

.*.ZPBC=ZABP+ZABC=110°.

1800-40°

同理：AAB尸且△BAC,・・・NAB尸=N84C=40。，ZABC=------------=70°,

Z.ZPBC=ZABC-ZABP=30°,故答案为：30。或110。.

3.【解析】•・・45=AC,:.NB=NC.

DEIAB,DF_LBC,/.ZDE4=ZDFC=90°.

•・・D为的AC中点，：.DA=DC.

又,：DE=DF,：.RtAAED^RtACDF(HL),

AZA=ZC,

・・・NA=NB=NC,

・•・△ABC是等边三角形.

4.【解析】(1)由题目中的解答步骤可得，

错误步骤的代号为：C,

故答案为：C；

(2)错误的原因为：没有考虑。=6的情况，

故答案为：没有考虑折匕的情况；

(3)本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，

故答案为：△48C是等腰三角形或直角三角形.

5.【解析】(1)当ZA为顶角，则NB=50。，

当NA为底角，若N8为顶角，则NB=20。，

若N8为底角，则N8=80。，

.•・/5=50。或20。或80。.

(2)分两种情况：

赠904工<180时，Nd只能为顶角,

・・・乙3的度数只有一个.

的0<xv90时，

若为顶角，贝］/3=(国三三)。，

若N2为底角，则N5=x°或〃=(180-2月。，

当竺2mHi80-2x且空二且180-2XHX,即XH60时，

/一

N3有三个不同的度数.

综上①②，当0vx〈90且XH60,NB有三个不同的度数.

考点15多边形与平行四边形

一、多边形

i.多边形的相关概念

(1)定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

(2)对角线：从〃边形的一个顶点可以引(〃-3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(〃-2)个三角

形；〃边形对角线条数为也二21.

2

2.多边形的内角和、外角和

(1)内角和：〃边形内角和公式为5-2>180。；

(2)外角和：任意多边形的外角和为360。.

3.正多边形

(1)定义：各边相等，各角也相等的多边形.

(2)正一边形的每个内角为(〃-2)，”,每一个外角为幽.

nn

(3)正〃边形有〃条对称轴.学■科网

(4)对于正〃边形，当〃为奇数时，是轴对称图形；当〃为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称

图形.

二、平行四边形的性质

1.平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“u”表示.

2.平行四边形的性质

（1）边：两组对边分别平行且相等.

（2）角：对角相等，邻角互补.

（3）对角线：互相平分.

（4）对称性：中心对称但不是轴对称.

3.注意：

利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：

（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.

（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.

（3）过平行四动形对称中心的仟一育线等分平行四i方形的面积及周长.

4.平行四边形中的几个解题模型

（1）如图①，AE平分/孙。，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到aABE为等腰三角形，即

AB=BE.

（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中

两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△A。。也△C0RZX4OB也△C。。；

根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心。的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角

形全等，如图②△AOEgZiCOP.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.

（3）如图③，已知点E为4。上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得SMELSMB什SKDE.

（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得/・CO.

三、平行四边形的判定

（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

很重点考向,

考向一多边形

多边形内角和：〃边形内角和公式为（片2>180。；多边形外角和：任意多边形的外角和为360。：

正多边形是各边相等，各角也相等的多边形.

典例引领

S________,

典例1一个多边形的内角和为900。，则这个多边形是

A.六边形B.七边形

C.八边形D.九边形

【答案】B

【解析】设这个多边形是〃边形，根据题意得：（〃—2）480'=900",解得：〃=7,

则这个多边形是七边形.故选B.

典例2如果一个多边形的每一个外角都是60。，那么这个多边形是

A.四边形B.五边形

C.六边形D.八边形

【答案】C

【解析】多边形外角和为360。，此多边形外角个数为：360°-60°=6,所以此多边形是六边形.

故选C.

【名师点睛】计算正多边形的边数，可以用外角和除以每个外角的度数得到.

变式拓展

1.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520。，则原多边形的边数是

A.17B.16C.15D.16或15或17

2.（2018•玉环市一模）如图，正五边形的一个顶点正好是正六边形的中心，则N1的度数为

1

A.22°18°C.15°D.12°

考向二平行四边形的性质

平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.

平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据.

典例引领

S________r

典例3在U4BCO中，NA：NB：NC：的值可能是

A.3：4：3：4B.5：2：2：5

C.2：3：4：5D.3：3：4：4

【答案】A

【解析】•・•四边形ABCO是平行四边形，=NC,NB=/D,・••在UA8CD中，NA：NB：NC：N。

的值可能是：3：4：3：4.故选A.

【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质.熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键.

变式拓展

3.（2018・余姚市模拟）如图，在。A8CO中，点石是OC边上一点，连接AE、BE,若AE、BE分别是N

DAB、NCBA的角平分线，且48=4,则%BCO的周长为

A.10B.80C.5逐D.12

考向三平行四边形的判定

平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定.对于平行四边形的判定方法，

应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面.

典例引领

S________r

典例4（2017・台州模拟）如图，点E,F是L1ABCO对角线上两点，在条件①。斤BF；②NAOE=NC8尸;

③A尸二CE；④NAEB=NUT＞中，添加一个条件，使四边形DE8尸是平行四边形，可添加的条件是

【答案】D

【解析】由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形,

①不能证明对角线互相平分，只有②③④可以，故选D.

变式拓展

4.小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC,8。的中点重叠，

并用钉子固定，则四边形就是平行四边形，这种方法的依据是

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形

亨点冲关火

1.下面四个图形中，是多边形的是

A.7B.10

C.35D.70

3.〃边形的边数增加一倍，它的内角和增加

A.180°B.360°

C.(n-2)180o

七边形的外角和等于

A.180°

C.540。

5.（2018•温州一模）如图，弘4。力的边上一动点P从点C出发沿C-D-A运动至点A停止，运动的路程

计为x,乙钻尸与办8C。重叠部分面积计为），，其函数关系式如图所示，则58C。中，8c边上的高为

V/

24

CO412x

6.如图所示，在UA8CO中，E,尸分别为48,OC的中点，连接DE,EF,FB,则图中共有个平行

四边形.

7.如图，在UABC。中，AC,B。相交于点O,4B=10cm,4O=8cm,ACLBC,则。B=cm.

8.一个平行四边形两对角之和为116。，则相邻的两内角分别是和.

9.在UABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=8cm,BC=6cm.的周长是18cm,则&4。。的

周长是.

10.（2018•下城区二模）在"BC中，ZABC,ZACB的平分线交于点P,若/BPC=110。，则乙仁

II.：2018♦上虞区一模）如图的七边形4BCOEFG中，AB.EO的延长线相交于。点.若图中/I、N2、

N3、N4的外角的角度和为220。，则NBO。的度数为.

A

12.（2018•柯桥区模拟）长度分别为3,4,5,7的四条线段首尾相接，相邻两线段的夹角可调整，则任意

两端点的距离最大值为.

13.：2017•郸州区一模）在△A8C中，点。，E分别在AB,AC上，且CO与BE相交于点凡已知

的面积为6,aBC尸的面积为9,ZkCEF的面积为6,则四边形AOFE的面积为.

14.：2018•萧山区二模）在平面直角坐标系x