2024-2025学年高中数学第一章集合与函数概念1.1.3第1课时并集与交集学案含解析新人教A版必修1

PAGE1．1.3集合的基本运算第1课时并集与交集内容标准学科素养1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集和交集．2.能运用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象授课提示：对应学生用书第9页[基础相识]学问点一并集eq\a\vs4\al(预习教材P8，思索并完成以下问题)已知下列集合：A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x∈N|1≤x≤4}，C＝{－1,1,2,3,4}．(1)集合A与集合B各有几个元素？提示：A＝{－1,1}，B＝{1,2,3,4}，即集合A有2个元素，集合B有4个元素．(2)若将集合A与集合B的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？提示：{－1,1,2,3,4}．(3)集合C中的元素与集合A，B有什么关系？提示：集合C中元素属于集合A或属于集合B.学问梳理1.并集的定义与表示文字语言一般地，由全部属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}图形语言2.并集的性质(1)A∪B＝B∪A，即两个集合的并集满意交换律．(2)A∪A＝A，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身．(3)A∪∅＝∅∪A＝A，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．(4)A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．(5)若A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身．学问点二交集eq\a\vs4\al(预习教材P9，思索并完成以下问题)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，C＝{3,4}．(1)集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？提示：有．{3,4}．(2)集合C中的元素与集合A，B有什么关系？提示：集合C中的元素既属于集合A又属于集合B.学问梳理1.交集的定义与表示文字语言一般地，由属于集合A且属于集合B的全部元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)符号语言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}图形语言2.交集的性质(1)A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满意交换律．(2)A∩A＝A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身．(3)A∩∅＝∅∩A＝∅，即任何集合与空集的交集等于空集．(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．(5)若A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的公共部分是A.[自我检测]1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{0,1} B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2} D．{－1,0,1}解析：M∪N＝{－1,0,1}∪{0,1,2}＝{－1,0,1,2}．答案：C2．已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝()A．∅ B．{2}C．{0} D．{－2}解析：∵B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，又A＝{－2,0,2}，∴A∩B＝{2}．答案：B3．设集合M＝{x|x＞1}，集合N＝{x|x＜2}，则M∪N＝__________，M∩N＝__________.解析：由数轴得M∪N＝R，M∩N＝{x|1＜x＜2}．答案：R{x|1＜x＜2}授课提示：对应学生用书第10页探究一并集的运算[阅读教材P8思索]设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.题型：并集[例1](1)已知集合A＝{1,3,5}，集合B＝{2,4,6}，那么A∪B＝__________.(2)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞4}，则M∪N等于()A．{x|x＜－5，或x＞－3} B．{x|－5＜x＜4}C．{x|－3＜x＜4} D．{x|x＜－3，或x＞5}[解析](1)由并集的概念可知A∪B＝{1,2,3,4,5,6}；(2)借助数轴(如图)∴M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．[答案](1){1,2,3,4,5,6}(2)A方法技巧并集的运算技巧：(1)若集合中元素个数有限，则干脆依据并集的定义求解，但要留意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但是要留意含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．跟踪探究1.已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝()A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}解析：在数轴上表示两个集合，如图：答案：C探究二交集[阅读教材P12习题1.1A组6题]设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，A∩B.题型：并集、交集的运算[例2](1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}．如图，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A，∴A∩B＝{8,14}，故选D.答案：(1)A(2)D方法技巧求交集运算应关注两点(1)求交集就是求两集合的全部公共元素形成的集合．(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．跟踪探究2.已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}解析：由题意知A∩B＝{0,2}．答案：A3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1解析：因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示：易知a>－1.答案：D探究三并集、交集性质的应用[例3]已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．[解析](1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满意A∪B＝A.(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1,4≥2k－1,k＋1≤2k－1，))解得2≤k≤eq\f(5,2).综合(1)(2)可知k≤eq\f(5,2).延长探究1.把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．解析：由A∩B＝A可知A⊆B.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≥k＋1,2k－1≥4))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤－4,k≥\f(5,2)，))所以k∈∅.所以k的取值范围为∅.2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．解析：由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1≤4,2k－1＝5))，解得k＝3.所以k的值为3.方法技巧1.此类问题常借助数轴解决，首先依据集合间的关系画出数轴，然后依据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特殊要留意端点值的取舍．2．当集合的元素离散时，常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解，但求解后要代入检验是否符合题意．跟踪探究4.A＝{x|x≤－1，或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是()A．3≤a<4 B．－1<a<4C．a≤－1 D．a<－1解析：利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.答案：C5．若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，A∪B＝B，则m解析：∵A∪B＝B，∴A⊆B，如图所示，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤－3，,2m＋9≥5，))解得－2≤m≤－1.答案：－2≤m≤－1授课提示：对应学生用书第11页[课后小结]1．在解决有关集合运算的题目时，关键是精确理解题目中符号语言的含义，擅长将其转化为文字语言．2．集合的运算可以用Venn图帮助思索，实数集合的交集、并集运算可借助数轴求解，体现了数形结合思想的应用．3．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的探讨点，解题时要留意分类探讨思想的应用．[素养培优]转化思想在集合运算中的应用已知集合A＝{x|x2－3x