2024-2025学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.1第1课时不等关系与不等式学案新人教A版必修第一册

第2章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式学习任务核心素养1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)1.借助不等式表示实际问题，提升数学建模素养．2.通过比较大小，培育逻辑推理素养.你见过图中的高速马路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1(单位：km/h，下同)应当满意100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应当满意60≤v2≤100.学问点1基本领实假如a－b是正数，那么a>b；假如a－b等于0，那么a＝b；假如a－b是负数，那么a<b.反过来也对．依据a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小1.思索辨析(正确的画√，错误的画×)(1)不等式a≥b等价于“a不小于b”．()(2)若x－2≤0，则x<2.()(3)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．()[答案](1)√(2)×(3)√2.大桥头直立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要平安通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为()A．T<40 B．T>40C．T≤40 D．T≥40C[限重就是不超过，可以干脆建立不等式T≤40.]如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边的长为a，b(a≠b)．(1)正方形的面积为多少？4个直角三角形的面积为多少？由此可以得出一个什么不等式？(2)假如4个直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH缩为一个点，这时(1)中的不等关系变成了什么关系？学问点2重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．3.若a，b∈R，且a2＋b2＝1，则ab的最大值为________，此时a＝________.eq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)[∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq\f(\r(2),2)时等号成立．]类型1用不等式(组)表示不等关系【例1】京沪线上，复兴号列车跑出了350km/h的速度，这个速度的2倍再加上100km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了一般客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．[解]设复兴号列车速度为v1，民航飞机速度为v2，一般客车速度为v3.v1、v2的关系：2v1＋100≤v2，v1、v3的关系：v1＞3v3.在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必需具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不行用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，肯定要留意单位的统一．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为x[解]由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0<x≤18，这时菜园的另一条边长为eq\f(30－x,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))(m)．因此菜园面积S＝x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))，依题意有S≥216，即xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216，故该题中的不等关系可用不等式组表示为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216.))类型2比较两数(式)的大小【例2】(对接教材P38例题)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.作差法比较两个实数大小的基本步骤eq\a\vs4\al([跟进训练])2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．[解](2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2≥0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞0.∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.类型3不等关系的实际应用【例3】某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折实惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折实惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试依据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更实惠．先分别建立费用表达式，再思索如何借助基本领实比较两数大小．[解]设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋eq\f(3,4)x·(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)nx.因为y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq\f(4,5)nx＝eq\f(1,4)x－eq\f(1,20)nx＝eq\f(1,4)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,5)))，当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更实惠；少于5人时，选乙车队更实惠．解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后用作差法比较它们的大小即可．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．为打造“书香校内”，某学校安排用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案．[解]因为组建中型图书角x个，所以组建小型图书角为(30－x)个，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<30，x∈N*，,80x＋3030－x≤1900，,50x＋6030－x≤1620.))解这个不等式组得18≤x≤20.由于x只能取正整数，所以x的取值是18,19,20.当x＝18时，30－x＝12；当x＝19时，30－x＝11；当x＝20时，30－x＝10.故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个.1．某路段直立的的警示牌是提示司机通过该路段时，车速vkm/h应满意的关系式为()A．v<60 B．v>60C．v≤60 D．v≥36[答案]C2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是()A．a－b＞0 B．a－b＜0C．a－b≥0 D．a－b≤0[答案]C3．某高速马路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为()A．v≤120km/h且d≥10mB．v≤120km/h或d≥10mC．v≤120km/hD．d≥10mA[v的最大值为120km/h，即v≤120km/h，车间距d不得小于10m，即d≥10m，故选A.]4．雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t4．5t<28000[由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28000.]5．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)>[因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.]回顾本节学问，自我完成以下问题：