2024春新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4第1课时向量数量积的概念及性质分层演练含解析新人教A版必修第二册

PAGE平面对量的运算A级基础巩固1.下列说法中正确的是 ()A.若a≠0,则对随意b≠0,有a·b≠0B.若a·b=0,则a,b中至少有一个为0C.|a·b|表示向量a·b的长度D.b在a方向上的投影可能是正数,可能是负数,还可能是0解析:选项A、B都是错误的,因为不但零向量与随意向量的数量积为0,而且相互垂直的两个非零向量的数量积也为0.选项C错误,因为a·b是数量,|a·b|表示其肯定值.选项D是正确的.答案:D2.若a·b>0,则a与b的夹角θ的取值范围是 ()A.[0,π2) B.[π2,π) C.(π2解析:因为a·b>0,所以cosθ>0,所以θ∈[0,π2)答案:A3.已知|b|=5,a·b=12,则向量a在b方向上的投影为125解析:因为a在b方向上的投影为|a|cosθ,且cosθ=a·所以|a|cosθ=a·b|4.若e1,e2是单位向量,且e1·e2=-12,则e1与e2的夹角等于120°解析:设e1,e2的夹角为θ.由已知|e1|=|e2|=1,所以e1·e2=1×1×cosθ=-12,因此θ=120°5.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知|AB|=4,|AD|=3,∠DAB=60°,求:(1)AD·BC;(2)AB·CD;(3)AB·DA.解:(1)因为AD与BC共线且同向,所以AD·BC=3×3×cos0°=9.(2)因为AB与CD共线且反向,所以AB·CD=4×4×cos180°=-16.(3)因为AB与DA的夹角为120°,所以AB·DA=4×3×cos120°=-6.B级实力提升6.定义:|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a与b的夹角.若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于 ()A.8 B.-8 C.8或-8 D.6解析:因为a·b=|a||b|cosθ=2×5×cosθ=-6,所以cosθ=-35.因为θ∈[0,π],所以sinθ=45,所以|a×b|=|a||b|sinθ=2×5×4答案:A7.在等腰直角三角形ABC中,AC是斜边,且AB·AC=12,则该三角形的面积等于1解析:设Rt△ABC的直角边长为a,则斜边长为2a,于是AB·AC=a·2a·22=a2=12,从而a=22,于是S△ABC=12×228.已知|a|=6,e为单位向量,当它们之间的夹角θ分别等于60°、90°、120°时,求出a在e方向上的投影向量.解:a在e方向上的投影向量为|a|cosθe.当θ=60°时,a在e方向上的投影向量为|a|cos60°e=3e;当θ=90°时,a在e方向上的投影向量为|a|cos90°e=0;当θ=120°时,a在e方向上的投影向量为|a|cos120°e=-3e.C级挑战创新9.多选题已知a,b都是单位向量,则下列结论中肯定正确的是()A.a·b=1 B.a2=b2C.a∥b⇒a=b或a=-b D.a·b=0解析:单位向量是指模为1的向量,对方向没有要求,因此夹角也是未知的,故选项A、D不肯定正确,易知选项B,C正确.答案:BC10.多空题在△ABC中,若∠C=90°,AC=BC=4,则CA·CB=0,AB·BC=-16.解析:因为∠C=90°,所以CA·CB=0.因为AC=BC=4,所