高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示第2课时教学设计新人教A版必修4

2.3平面对量的基本定理及坐标表示（第2课时）2.3.3平面对量的坐标运算2.3.4平面对量共线的坐标表示一、教学分析1.前面学习了平面对量的坐标表示,实际是平面对量的代数表示.在引入了平面对量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使许多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、安排律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是敏捷运用向量线性运算的交换律、结合律和安排律.3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特殊是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来探讨呢?前面已经找出两个向量共线的条件(假如存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较简洁的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面对量共线的坐标表示.要留意的是,向量的共线与向量的平行是一样的.二、教学目标1．学问与技能驾驭平面对量的坐标运算；会依据向量的坐标，推断向量是否共线。2．过程与方法通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的实力。3．情感看法与价值观学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。三、教学重点与难点教学重点：平面对量的坐标运算。教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的精确.四、教学设想（一）导入新课思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的随意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.假如以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来探讨向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使许多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来探讨呢？（二）推动新课、新知探究、提出问题①我们探讨了平面对量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗?②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论?活动:老师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,老师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:图1a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).老师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.老师再引导学生找出点与向量的关系:将向量平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发觉:向量的模与向量的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式:||=||=.老师对总结完全的同学进行表扬,并激励学生,只要擅长开动脑筋,勇于创新,绽开思维的翅膀,就确定能获得意想不到的收获.探讨结果:①能.②=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题①如何用坐标表示两个共线向量?②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么是向量a、b共线的什么条件?活动:老师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处老师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我们知道,a、b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb.假如用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),即消去λ后得x1y2-x2y1=0.这就是说,当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b(b≠0)共线.又我们知道x1y2-x2y1=0与x1y2=x2y1是等价的,但这与是不等价的.因为当x1=x2=0时,x1y2-x2y1=0成立,但均无意义.因此是向量a、b共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、好用,让学生细致体会这点.探讨结果:①x1y2-x2y1=0时,向量a、b(b≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a=λb,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动:老师引导推证:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a,由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,得x1y2-x2y1=0.探讨结果:a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.老师应向学生特殊提示感悟:1°消去λ时不能两式相除,∵y1、y2有可能为0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一个不为0.2°充要条件不能写成(∵x1、x2有可能为0).3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a∥b(b≠0)（三）应用示例思路1例1已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.活动:本例是向量代数运算的简洁应用,让学生依据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再依据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面对量坐标运算的常规题,目的是熟识平面对量的坐标运算公式.变式训练1.已知平面对量a=(1,1),b=(1,-1),则向量ab等于()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与b()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A图2例2如图2,已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.活动:本例的目的仍旧是让学生熟识平面对量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思索,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D的坐标为(x,y).∵=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).由=,得(1,2)=(3-x,4-y).∴∴∴顶点D的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴顶点D的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍旧是让学生熟识平面对量的坐标运算.变式训练图3如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD时,仿例二得:D1=(2,2);当平行四边形为ACDB时,仿例二得:D2=(4,6);当平行四边形为DACB时,仿上得:D3=(-6,0).例3已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试推断A、B、C三点之间的位置关系.活动:老师引导学生利用向量的共线来推断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后依据两个向量共线的充要条件来推断这两个向量是否共线从而来推断这三点是否共线.老师引导学生进一步理解并娴熟地运用向量共线的坐标形式来推断向量之间的关系.让学生通过视察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A、B、C三点,视察图形,我们猜想A、B、C三点共线.下面给出证明.∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,∴∥,且直线AB、直线AC有公共点A,∴A、B、C三点共线.点评:本例的解答给出了推断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点动身的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中推断三点共线的方法移植过来的.变式训练已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y.解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2例2设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.活动:老师充分让学生思索,并提出这一结论可以推广吗?即当=λ时,点P的坐标是什么?师生共同探讨,一起探究,可依据求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法:由=λ,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),即这就是线段的定比分点公式,老师要赐予充分确定,激励学生的这种主动探究,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探究λ的取值符号对P点位置的影响,也可激励学生课后探究.图4解:(1)如图4,由向量的线性运算可知=(1+2)=().所以点P的坐标是()(2)如图5,当点P是线段P1P2的一个三等分点时,有两种状况,即=或=2.假如=,那么图5=+=+=+(-)=+=().即点P的坐标是().同理,假如=2,那么点P的坐标是点评:本例事实上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.解:(1)若AC的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上,设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得∴x=-3,y=-5,即C点坐标为(-3,-5).(2)若AC的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,=+t.若点P在其次象限,求实数t的取值范围.活动:老师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.老师以提问的方式来了解学生组织步骤的实力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清楚过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和激励.老师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).若点P在其次象限,则故t的取值范围是(,).点评:此题通过向量的坐标运算,将点P的坐标用t表示,由点P在其次象限可得到一个关于t的不等式组,这个不等式组的解集就是t的取值范围.变式训练已知=(cosθ,sinθ),=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求||的取值范围.解:∵=-=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴||2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cos