高三数学基础知识手册

引言二、类讨论思想

三、函数与方程思想

1.课程内容：四转化（化归）思想

必修课程由5个模块组成：2.重难点及考点：

必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、重点：函数，数列，三角函数，平面向

对、寨函数）

量，圆锥曲线，立体几何，导数

必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

难点：函数、圆锥曲线

必修3：算法初步、统计、概率。

高考相关考点：

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向

⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、

量、三角恒等变换。充要条件

必修5：解三角形、数列、不等式。⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与

以上是每一个高中学生所必须学习的。最值、三大性质、函数图象、指数与指数函

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础数、对数与对数函数、函数的应用

知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数

函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初列求和、数列的应用

步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、

差、倍、半公式、求值、化简、证明、

好基础的同时，进一步强调了这些知识的发

三角函数的图象与性质、三角函数的应

生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度用

上做过高的要求。⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、积及其应用

统计等内容。⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证

选修课程有4个系列：明、不等式的解法、绝对值不等式、不等

系列2：由3个模块组成。式的应用

⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、系、线性规划、圆、直线与圆的

空间向量与立体几何。位置关系

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆

的扩充与复数锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆

选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，锥曲线的应用

统计案例。⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平

系列4：由4个专题组成。面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、

空间向量

选修4—2：矩阵与变换。

（10）排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定

选修4-4：坐标系与参数方程。理及其应用

选修4一5：不等式选讲。Q1）概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、

高中数学解题基本方法正态分布

一、配方法⑫导数：导数的概念、求导、导数的应用

二、换元法⑬复数：复数的概念与运算

三、待定系数法选修4—2：矩阵与变换。

四、定义法选修4-4：坐标系与参数方程。

五、数学归纳法选修4一5：不等式选讲。

六、参数法必修1数学知识点

七、反证法

八、消去法第一章：集合与函数概念

九、分析与综合法

十、特殊与一般法§1.1.1、集合

十一、类比与归纳法

十二、观察与实验法

高中数学常用的数学思想

一、数形结合思想

1、把研究的对象统称为之素，把一些元素1、一般地，由所有属于集合A或集合B的

组成的总体叫做集合。集合三要素：元素组成的集合，称为集合A与B的理

确定性、互异性、无序性。美记作：AU8.

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就2、一般地，由属于集合A且属于集合B的

称这两个集合相等。所有元素组成的集合，称为A与B的交

3、常见集合：正整数集合:N*或N+,整基.记作：An8.

数集合:Z,有理数集合:Q,实数3、全集、补集?CIJA=(X\X^U,SLX^U}

集合:R.§1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确

4、集合的表示方法：列举法、描述法.

定的对应关系/,使对于集合A中的任

意一个数在集合中都有惟一确定

§1.1.2、集合间的基本关系x,B

的数/(x)和它对应，那么就称

为集合到集合的一个西

1、一般地，对于两个集合A、B,如果集合fAB

数，t己作：y=

A中任意一个元素都是集合B中的元2、一个函数的构成要素为：定义域、对应

素，则称集合A是集合B的壬基。记作关系、值域.如果两个函数的定义域相

A^B.同，并且对应关系完全一致，则称这

2、如果集合A=8,但存在元素xe8,且两个函数相等.

x史A,则称集合A是集合B的真子集.§1.2.2、函数的表示法

记作：A取1、函数的三种表示方法：解析法、图象

3、把不含任何元素的集合叫做空集.记法、列表法.

作：。.并规定：空集合是任何集合的§1.3.1、单调性与最大(小)值

子集.1、注意函数单调性的证明方法：

(1)定义法:设再、尤2w[a,b],X]<々那么

4、如果集合A中含有n个元素，则集合A/&)-f(x2)<0=/(x)在[a,b]上是增函

数；

有2"个子集，2"-1个真子集.

/(%1)-f(x2)>0o/(x)在上是减函

数.

§1.1.3、集合间的基本运算

步骤：取值一作差一变形一定号一判

断

格式：解：设打工2£且王<，3、导数的运算法则

(1)(U±V)=M±V.

⑵导数或：设总数y=/(x)在某个区间(2)(MV)-UV+UV.

/八u.uv-uv八、

内可导，若/。)>0,则〃x)为增函(3)(-)=——2—(z30).

数；一VV

惹/'(幻<0,则/*)为减函数.4、复合函数求导法则

复合函数丁=/(g(x))的导数和函数

§1.3.2、奇偶性y==g(x)的导数间的关系为

《=%、：，即y对x的导数等于y对”的

1、一般地，如果对于函数/(x)的定义域内导数与，，对x的导数的乘积.

任意一个X,都有/(7)=/(X),那么解题步骤:分层一层层求导一作积还原.

就称函数-X)为偶函数.偶函数图象关5、函数的极值

于>'轴对称.⑴极值定义：

2、一般地，如果对于函数/(x)的定义域内极值是在X。附近所有的点,都有f(x)<

任意一个X,都有/(—X)=/(♦),那么f(x0)，则/(x0)是函数/(x)的极大值；

极值是在附近所有的点，都有了()

就称函数f(x)为奇函数.奇函数图象关-r0X>

于原点对称.f(x0),则/(Xo)是函数/(x)的极小值.

知识链接：函数与导数(2)判别方法：

1、函数y=在点k处的导数的几何意①如果在X。附近的左侧r(x)>o,右侧

义：

函数y=/(x)在点/处的导数是曲线图

y=/(x)在P(x°JO。))处的切线的斜率象

尸(%),相应的切线方程是

y-y=f'(x)(x-x).

QQ0性(1)定义域：R

2、几种常见函数的导数质(2)值域：(0,+8)

(3)过定点(0,1),即x=0时，y=l

①C'=o；②(x").=〃x"T；

(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数

(5)x>0,a>1；⑸x>O,O<tzv<1

(3)(sinx)=cosx；

④(cosx)=-sinx；f\x)<0,那么/(劭)是极大值;

⑤(/)'=屋Ina；⑥(1)'=/；②如果在X。附近的左侧/,(%)<0,右侧

@(log,x)'=―--；®(lnx)'=-f\x)>0,那么/(/)是极小值.

(xmax

6、求函数的最值2、性质：

(1)求^=/(x)在(a,匕)内的极值(极大或者极§2.2.1、对数与对数运算

小值)1、指数与对数互化式：

(2)将y=/(x)的各极值点与/(a)J3)比a*=Nox=log.N；

较，其中最大的一个为最大值，最小的一2、对数恒等式：I=N.

个为极小值。3、基本性质：logfl1=0,log,a=1.

注：极值是在局部对函数值进行比较4、运算性质：当a>0,">0,N〉0

(局部性质)；最值是在整体区间上对函数时：

值进行比较(整体性质)。(l)k>ga(MN)=log“M+logaN；

第二章：基本初等函数(I)

=-logw；

§2.1.1、指数与指数塞的运算

⑶log”Mn="log”M.

1、一般地,如果x"=a,那么x叫做a的〃

5、换底公式：=

次方根。其中〃>l,〃eN+.log"

2、当〃为奇数时，折=a；(a>0,〃w1,c>0,cw1,/?>。).

当〃为偶数时，痂=时.6、重要公式：log,/"='log"。

an

3、我们规定：7、倒数关系：

n__

(l)a'"=(a>0,m,neN",m>1)；

logab=--—(a>0,awl,/?>0,Z?wl).

log6a

⑵「=二(〃>0);

4、运算性质：

(l)«ra'-ar+s(a>0,r,se.Q)；

⑵(优)'=a's(a>0,r,seQ)；

⑶=arbr{a>0,b>Q,r&Q).

§2.1.2、指数函数及其性质

1、记住图象：y=a*(a>0,aHl)

\y

y=ax

0<a<1a>1

1、解决问题的常规方法：先画散点图，再

图用适当的函数拟合，最后检验.

象

必修2数学知识点

性(1)定义域：(0,+8)第一章：空间几何体

质(2)值域:R

(3)过定点(1,0),即x=l时，y=01、空间几何体的结构

(4)在(0,+8)上是增函数(4)在(0,+8)上是减函数

⑸x>l,logx>0⑸X>1,10g。尤<0

a(1)常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体

§2.3、嘉函数有：圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并

1、几种幕函数的图象：

且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面

第三章：函数的应用所围成的多面体叫做棱柱。

(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面

§3.1.1、方程的根与函数的零点

与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

1、方程/(x)=0有实根

2、空间几何体的三视图和直观图

。函数y=/(x)的图象与x轴有交点把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投

影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投

o函数y=/(x)有零点.影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的表面积与体积

2、零点存在性定理：

⑴圆柱侧面积；S例炳=2万

如果函数丁=/(九)在区间鼠以上的图象是连

⑵圆锥侧面积：“面=三"./

续不断的一条曲线，并且有/(a)"0)<O,

⑶圆台侧面积：S^=n-r-l+n-R-l

那么函数y=/(x)在区间(。力)内有零点,即

⑷体积公式：

存在CG(4,人)，使得/(C)=O,这个C也就是

v柱体=s,力;V■锥体

方程/(X)=O的根.

⑸球的表面积和体积：

§3.1.2、用二分法求方程的近似解

S球大哼"球=g成3.

1、掌握二分法.

隹盘点、直线、平面之间的位置关系

§3.2.1、几类不同增长的函数模型

1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么

§3.2.2、函数模型的应用举例

这条直线在此平面内。

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个12、面面垂直:

平面。

(D定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那

面角，就说这两个平面互相垂直。

么它们有且只有一条过该点的公共直线。

(2)判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两

4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

个平面垂直(简称线面垂直，则面面垂直)。

5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那(3)性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线

么这两个角相等或互补。的直线垂直于另一个平面。(简称面面垂直，则线面垂

直)。

6、线线位置关系:平行、相交、异面。

第三章：直线与方程

7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平

行、直线和平面相交。1倾斜角与斜率：Z:=tan«=—_—

々一匹

8、面面位置关系:平行、相交。

2、直线方程：

9、线面平行:

⑴点斜式：y-九二成-/)

(D判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，

⑵斜截式：y=kx+h

则该直线与此平面平行(简称线线平行，则线面平

行)。

⑶两点式：4=9

(2)性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任X—XyXo

一平面与此平面的交线与该直线平行(简称线面平行，⑷截距式：-+^=1

则线线平行).ab

10、面面平行:(5)一般式：Ax4-By+C=0

(D判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平3、对于直线：

行，则这两个平面平行(简称线面平行，则面面平

§:y=kxx^bx,l2:y=k2x+b2^z

fi)。

(2)性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那⑴/J〃2o''=七；

么它们的交线平行(简称面面平行，则线线平行).

11、线面垂直:(2)/j和，2相交=K#k2；

(D定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直

(3)/,和12重合.

I仇=b2

线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

(2)判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂⑷/]±l2Qk*2——1.

直，则该直线与此平面垂直(简称线线垂直，则线面垂

4、对于直线：

直)。

(3)性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

4:A/+B]y+G=0,有弦长公式:1=2/^^

(2:+82y+C?—0

3、两圆位置关系：J=|O,O2|

A[B2=A2BX

(1)/,///2=,

8c2工B2cl⑴外离：d>R+r；

(2)4和(相交=A］B2丰4片；(2)外切：d=R+r；

⑶皿重合。能篌(3)相交：R-r<d<R+r；

⑷内切：d=R—r；

(4)/,1/2。44+坊3=0.

⑸内含：d<R-r.

5、两点间距离公式:

3、空间中两点间距离公式：

6、点到直线距离公式:

必修3数学知识点

7、两平行线间的距离公式:

第一章：算法

4:Ax+By+G=0与4：Ar+By+C?=0平

1、算法三种语言：

行'则公;&2

自然语言、流程图、程序语言；

第四章：圆与方程2、流程图中的图框：

1、圆的方程:起止框、输入输出框、处理框、判断

⑴标准方程：(x-a)2+(y-h)2=r2框、流程线等规范表示方法；

其中圆心为(",打，半径为广.3、算法的三种基本结构：

(2)―■般方程：x2+y2+Dx+Ey+F-0.顺序结构、条件结构、循环结构

其中圆心为(-2,-£),半径为［当型循环结构

22［直到型循环结构

r^-\jD2+E2-4F.

2

⑴顺序结构示意图：

2、直线与圆的位置关系

直线Ax+3)，+C=0与圆

(x-a)2+(y-b)2-U的位置关系有三种:

d>r=相离=△<();

d=r=相切=△=()；

d<厂=相交=△>().

（图1）

IF条件THEN

⑵条件结构示意图:

⑤循语句：

①IF-THEN-ELSE格式:ENDIF（图

当型t格式:

WHILE条件

循环体

（图4）

WEND

直到型循环（UNTIL）语句的一般格式:

DO

循环体

LOOPUNTIL条津b

（6）：

（图4）

加:CT/*①辗转相除法一结果是以相除余数为0而得

②直MTL循环结招示意的：

1.1到

旦

查利用辗转相除法求最大公约数的步骤如

下：

i）：用较大的数m除以较小的数n得到

4、裳本端法窄附t一个商So和一个余数&；

ii）：若R（）=0,则n为m,n的最大公约

①输句的一般格式》2汪提示内数；若R°W0,则用除数n除以余数以得到

1.1一个商S,和一个余数%；

旦

容”LA_____________________iii）：若4=0,则与为m,n的最大公约

数；若&W0,则用除数4除以余数叫得到

②输出语句的一般格式：PRINT"提示内一个商$2和一个余数R,；……

依次计算直至4=6,此时所得到的

容”；表达式即为所求的最大公约数。

②更相减损术一结果是以减数与差相等而

得到

③赋值语句的一般格式:变量=表达式

利用更相减损术求最大公约数的步骤如

下：

（“二”有时也用“一”）.

i）：任意给出两个正数；判断它们是否

都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行

④条件语句的一般格式有两种:第二步。

ii）：以较大的数减去较小的数，接着把

IF—THEN—ELSE语句的一般格式为:较小的数与所得的差比较，并以大数减小

数。继续这个操作，直到所得的数相等为

IF条件THEN止，则这个数（等数）就是所求的最大公约

数。

语句1（图

③进位制

ELSE十痢数化为k进制数一除k取余法

讦一寸语句2:

k进制数化为十进制数

ENDIF

⑴平均数：「=阳+电+*3+…+X"；

第二章：统计n

1、抽样方法：取值为司》2,…的频率分别为P1，P2,…，P,1，

①简单随机抽样（总体个数较少）则其平均数为xxpx+x2p2+…+X〃P”；

②系统抽样（总体个数较多）注意：频率分布表计算平均数要取组中

③分层抽样（总体中差异明显）值。

注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体⑵方差与标准差：一组样本数据为,切，…,X”

2

组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）

方差：s2=—V(x-X)；

n-z

均为

N标准差：5=,工（阳-工）

V[=1

2、总体分布的估计：

注：方差与标准差越小，说明样本数据越

⑴一表二图：

稳定。

①频率分布表一一数据详实

平均数反映数据总体水平；方差与标准差

②频率分布直方图---分布直观

反映数据的稳定水平。

③频率分布折线图一一便于观察总体分布

⑶线性回归方程

趋势

①变量之间的两类关系：函数关系与相关

注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面

关系；

积为lo

②制作散点图，判断线性相关关系

⑵茎叶图：

③线性回归方程：y=bx+a（最小二乘法）

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便

注意：线性回归直线经过定点丘亍）。

于看出数据的分布，以及中位数、众位数

第三章：概率

等。

1、随机事件及其概率：

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按

⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大

照从小到大书写，相同的数据重复写。

写英文字母表示；

3、总体特征数的估计:

⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特⑵如果事件4,4，…,4任意两个都是互斥事

八占、、，・件，则称事件A”A2,…,4彼此互斥。

⑶随机事件A的概率：P(A)=^,O<P(A)<1.⑶如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生

n

2、古典概型：的概率，等于事件A,B发生的概率的和，

⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一即：P(A+B)=P(A)+P(B)

个基本结果；⑷如果事件4，4，…,A”彼此互斥，则有：

⑵古典概型的特点：⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要

①所有的基本事件只有有限个；发生，则称这两个事件为对立事件。

②每个基本事件都是等可能发生。①事件A的对立事件记作入

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未

可能基本事件共有n个，事件A包含了其中必是对立事件。

的m个基本事件，则事件A发生的概率必修4数学知识点

尸")=%.第一章：三角函数

n

3、几何概型：§1.1.1、任意角

⑴几何概型的特点：1、正角、负角、零角、象限角的概念.

①所有的基本事件是无限个；2、与角a终边相同的角的集合：

②每个基本事件都是等可能发生。佃/7=a+2k7r,kGz}.

⑵几何概型概率计算公式：尸㈠4嘤陛；、弧度制

。的测度§1.1.2

其中测度根据题目确定，一般为线段、角1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫

度、面积、体积等。做1弧度的角.

4、互斥事件：2、|<7|=—.

⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事3、弧长公式：I=〃成=1a|我.

件；

4、扇形面积公式：S=.

---------------------3602

§1.2.1、任意角的三角函数1、平方关系:sin2cif+cos2a=1

1、设a是一个任意角，它的终边与单位圆2、商数关系:tana=，山”

cosa

交于点P（x,y）,那么:3、倒数关系：tanacota=l

sina=y,cosa=x,tana2§1.3、三角函数的诱导公式

X

（概括为“音变儒可变，符号看4.限”

2、设点）为角二终边上任意一点,

Z£Z）

那么：（设厂=57）

1、诱导公式一:

sina=3,cosasin（a+2攵乃）=sina,

cos（a+2Z;r）=cosa,（其中：keZ）

x

coter=—tan（a+2k兀）=tana.

y

2、诱导公式二:

3、sine.cosa,

3、诱导公式三:

tantz在四个

4、诱导公式四:

的符号和三角函

5、诱导公式五:

数线的画法.

6、诱导公式六:

正弦线:MP;

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质

余弦线:0M;

1、记住正弦、余弦函数图象:

正切线：ATy=sinx

2、够射黑图象讲余弦曲数的相

5、特殊角/,30°,45°,60°,k2/,\?/・\2/睥

<Jn5JU3八一/4JI'

疝值域、最大最小

值、对称轴、对称中心、奇偶性、单

调性、周期性.

会用五点法作图.

y=sin尤在xw[0,2乃]上的五个关键点

为：（0,0）,（-,1）,（乃,0）,（红,-1）,（2万,0）.

22

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式

§1.4.3、正切函数的图象与性质

1、记住正切函数的图象:

2、记住余切函数的图象：

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调

性、周期性.

周期函数定义：对于函数轨4,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个

值时,都有flx+T)=f[x},那么函数于3就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周

期.-------------

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

图象

定义

域

值域[-1,1][-1,1]

最值无

周期

性

奇偶奇偶奇

性

在［2题，,20+刍上单调递在［2%）一匹2Z乃］上单调

22

在（氏马上单调

单调增递增22

在［2Azr+C,2br+也］上单调在［2%肛2丘+乃］上单调

性22递增

递减递减

对称对称轴方程：x=k/r+对称轴方程：X=k7T无对称轴

2

性对称中心（々乃,0）对称中心（无］+生,0）对称中心（丝,0）

22

纵坐标变为原来的A倍

§1.5^函数y=Asin（/ur+w）的图象

纵坐标不变y=A》incox

1、对于函数：

,i,