数理统计：随机变量及其概率分布

随机变量及其概率分布１☆引言：

◆随机变量的概念：为了克服对随机试验的可能结果发生的概率描述的不便，以及为了引进高等数学作为工具更好地深入研究随机现象的规律性，特别引进概率论和统计学上的一个极其重要的概念随机变量。

事实上，随机试验的可能结果是可以用变量来描述的。２第一讲随机变量及其概率分布

如：抛一枚均匀的骰子出现的点数，商品质量检查中的次品数，ｎ重贝努里试验事件Ａ出现的次数等。就是不能数量化的结果也可以用逻辑变量（取值１或０）来描述，使试验结果与变量发生联系，随机试验的结果是随机的，因此其对应的变量也是随机的。３◆定义：用来描述随机试验的可能结果、其取值是随机的且可以确定其取值范围的变量称为随机变量，常用Ｘ、Ｙ、Ｚ等表示。这样，就可以轻松地表示随机试验的结果了。如Ａ＝｛抛一枚均匀的骰子出现３点｝→｛Ｘ＝３｝，｛抛一枚硬币正面向上｝→｛Ｘ＝１｝，等等。由于随机变量的可能取值对应于随机试验的可能结果，因此象随机试验的某个结果的出现具有一定概率一样，随机变量取某个值时也具有确定的概率。于是象研究随机事件一样，不仅要知道随机变量可能取哪些值，还要知道它取这些值的概率，只有这样才能了解随机变量即随机现象的概率属性和统计规律性。４◆定义：称随机变量Ｘ的可能取值以及它取这些值的概率为随机变量Ｘ的概率分布。切记：我们在理解随机变量Ｘ的概率分布的概念时，必须要指出随机变量Ｘ可能会取哪些值以及取这些值的概率。５５

一、离散型随机变量的分布◆定义：如果随机变量Ｘ的可能取值只有有限个或无限可列个数值，则称Ｘ为一个离散型随机变量。◆Ｘ的概率分布６７例：设有１０件药品，其中有３件是次品，现从中任取４件，求：（１）所抽４件药品中次品数Ｘ的概率分布律；（２）Ｐ（Ｘ≤２）。８９二、随机变量的分布函数１０～１１１２１３１４１５。。。－１０１２０．３０．６０．９１１６１７１８三、连续型随机变量的分布◆

１９２０′２１～２２２３２４ａｂ００１２５注意到，密度函数是不连续的分段函数，而分布函数却是连续的。２６２７２８２９例:

设连续型随机变量X的分布函数为其中a>0，试求：

（2）（3）分布密度f(x)。（1）常数A，B；３０解:（1）因为在 上连续， 即解得：故有３１（2）（3）３２1第三章第二讲随机变量的数字特征

在第一节中我们了解了随机变量及其概率分布也就掌握了随机变量的概率特征，但对于一般性的随机变量，要求得它的概率分布并不容易，在某些实际问题中有时也不需要完全知道随机变量的概率分布，而只要了解它的某些特征即可，如它可能取值的平均水平、集中程度和分散程度就够了。2

◆数字特征称能刻画随机变量某些方面特性的数值为随机变量的数字特征。一般是随机变量的函数的函数值。常用的数字特征有：数学期望（均值），方差，标准差和矩等．

3一、数学期望4

例：给青蛙按每单位体重注射一定剂量的洋地黄，由以往的实验得知，至死的概率为0.6，存活的概率为0.4，今给两只青蛙注射，求死亡只数的概率分布和平均死亡的只数。56解：设X为死亡的青蛙数，其分布律如下：X012P0.160.480.36◆连续型随机变量的数学期望78设随机变量Ｘ的函数为Ｙ＝ｇ(Ｘ),且Ｙ＝ｇ(Ｘ)的数学期望存在，二、随机变量函数的数学期望9例：设离散型随机变量Ｘ的分布律为ＸＰ－１０１２３０.150.10.30.20.2510解：利用表格先求出Ｙ1

，Ｙ2相应的值ＸＹ1=Ｘ＋２Ｙ２＝Ｘ２＋１Ｐ－１０１２３１２３４５２１２５１００.150.10.30.20.25

则有Ｅ（Ｙ1）=1×0.15+2×0.1+3×0.3+4×0.2+5×0.25

=3.3Ｅ（Ｙ２）=2×0.15+1×0.1+2×0.3+5×0.2+10×0.25

=4.511

例：对某厂生产的六味地黄丸（球状）的直径Ｘ作近似测量，其值均匀分布在区间［ａ,ｂ］上，试求六味地黄丸（球状）体积ｖ的数学期望。12

13三、数学期望的性质（１）设Ｃ为常数，则Ｅ（Ｃ）=Ｃ；（２）设Ｘ是随机变量，Ｃ是常数，则Ｅ（ＣＸ）＝ＣＥ（Ｘ）（３）

Ｅ（aＸ＋ｂ）=aＥ（Ｘ）＋ｂ（４）对任意随机变量Ｘ，Ｙ有Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｙ）一般Ｅ（Ｘ１＋Ｘ２＋…＋Ｘｎ）＝Ｅ（Ｘ１）＋Ｅ（Ｘ２）＋…＋Ｅ（Ｘｎ）14（５）若Ｘ与Ｙ相互独立，则Ｅ（ＸＹ）＝Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）

例：某校流行某种传染病，患者约占５％，为此学校决定对全校2000名师生进行抽血化验。现有两种化验方案：（1）逐个化验；（2）按５人一组分组，并将血液混在一起化验，若发现问题再对５人逐个化验。问哪种化验方案好？15解：就５人一组而言，设Ｘ为化验的次数，若无问题，只需化验１次，若有问题就要化验６次，故Ｘ的可能取值为１，６。Ｘ的分布律为ＸＰ１6(1-0.05)51-(1-0.05)516对于（１），逐人化验要化验５次，故第２种方案好，节约的工作量为

100％－（２.131÷5）×100％＝57.38％则有Ｅ(Ｘ)＝1×(1-0.05)5+6×[1-(1-0.05)5]

＝2.131

一、方差的定义采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正面的作用

由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.

方差的算术平方根

称为标准差设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2<∞，则称D(X)=E[X-E(X)]2(1)为X的方差.四、方差和标准差◆离散型随机变量Ｘ的方差◆连续型随机变量Ｘ的方差1819◆Ｘ１，Ｘ２Ｐ１Ｐ２48495051520.10.10.60.10.10.20.20.20.20.220例：在相同条件下，用两种方法测定某药的某种成分的含量（％），其结果分别用Ｘ１，Ｘ２表示。由以往大量测定结果知Ｘ１，Ｘ２具有下表所示的分布律。试比较哪种测量方法的精密度高？21

从上面结果知：虽然二法的均值相同,但第二种方法取值的离散程度大,故第一种测量法精密度高。212223◆2425262728293032第三章第三节常用离散型随机变量分布

一、０１分布(两点分布)◆定义ＸＰ01qp则称

二、二项分布◆～☆☆二项分布的分布特征（1）图１有２个最大值点：ｋ＝１及ｋ＝２；（2）对于固定的ｎ、ｐ，ｐk随ｋ的增加呈峰形变化；对于固定的ｐ，随着ｎ的増大，分布图形趋于对称。☆☆～

例：某药厂有２０台同样的设备，已知此种设备发生故障的概率为２％，且各台设备是否发生故障是相互独立的。试求：（１）在某时刻同时有ｋ台发生故障的概率；（２）在某时刻同时发生故障的设备不多于２台的概率；（３）该工厂需要配备多少名维修工人，才能保证设备发生故障时得不到及时维修的概率小于１％？～三、泊松分布～◆

＝５时的泊松分布的概率分布示意图～～～四、超几何分布◆～

第三章第四讲常用连续型随机变量的分布

一、均匀分布◆定义～◆◆10ab0ab

均匀分布的◆

例：设某公交车站每隔１０分钟有一辆车，则在任一时刻乘客到达该站后的候车时Ｘ（分钟）将服从均匀分布Ｕ（０，１０），试求：（１）Ｐ（Ｘ≤１）；（２）Ｐ（１<Ｘ<３）；（３）Ｐ（Ｘ>６）。◆定义若连续型随机变量X的概率密度函数为二、指数分布其中 是常数，称此随机变量X服从参数为的指数分布，记为Ｘ～Ｅ（）。如图

0011指数分布的分布函数：故分布函数为对对◆分布函数◆例:设X服从参数 的指数分布，求方程 无实根的概率（关于t的二次方程）。解得解:要方程无实根，必须满足由于X的分布密度为所以

例：

某商店对某种家电的销售采用先使用后付款的策略，记该家电使用寿命为Ｘ（以年计），规定：Ｘ≤１一台付1500元；１＜Ｘ≤２一台付2000元；２＜Ｘ≤３一台付2500元；Ｘ＞３一台付3000元。设Ｘ服从指数分布，概率密度为

问：该商店每销售一台这种家电，期望能收入多少营业额？故Ｙ的分布律为

ＹＰ15002000250030000.09520.08610.07790.7408于是Ｅ(Ｙ)=1500×0.0952+2000×0.0861+2500×0.0779+3000×0.7408=2732.15（元）。三、正态分布

正态分布是最常见的也是最重要的一种分布，其分布具有“中间大，两头小”的特点。如调查一群人的身高、体重、血液中红细胞数和胆固醇含量，测量某加工件的长度，这些量都服从正态分布或近似服从正态分布。（一）一般正态分布其中，是常数，且 ，则称X服从正态分布，简记 ◆定义如果随机变量X的概率 密度函数为满足◆正态分布的密度曲线图如下图:正态分布的概率密度曲线图+-

相同不同的正态曲线图

相同不同的正态曲线图

4)曲线在 处有拐点; 3)当 时，曲线以轴为渐近线;◆正态曲线的特点曲线关于 对称;即有

F(

)=1-F(

),∴

2)当 时， 取最大值 :（５）

的大小确定了正态曲线的位置,故

被称为位置参数，

的大小反映了Ｘ取值平均值的大小；（６）的大小确定了正态曲线的形状，故被称为形状参数，越大曲线越平坦，表示分布越分散；越小曲线越陡峭，表示分布越集中，反应了Ｘ取值的集中程度。对于分布函数

的原函数不是初等函数，不能用原函数的方法计算F(x)的值，要借助于标准正态分布表计算。分布函数曲线图如下: 由于正态分布函数曲线图◆a幻灯片29正态分布的性质

对随机变量 当 时，称此随机变量X服从标准正态分布，记为 (二)标准正态分布其概率密度函数和分布函数为标准正态分布的密度曲线

(x)标准正态分布的分布函数曲线

(x)

可利用数值积分法，求出 的近似解，用此办法可得标准正态分布表。（见附表３）

（三）一般正态分布的计算●定理～

利用一般正态分布 的分布函数与标准正态分布N(0,1)的分布函数 之间的下列关系：事实上令很容易计算一般正态分布的相应概率。

利用一般正态分布 的分布函数与标准正态分布N(0,1)的分布函数 之间的下列关系：

利用一般正态分布 的分布函数与标准正态分布N(0,1)的分布函数 之间的下列关系：即有：若则于是对任意区间 有例:设 证明X落在 内的概率只与有关而与无关。证：X落在区间 内的概率只与有关而与 无关。特别当 =1，2，3时，可查表求得

这表明：如果Ｘ～Ｎ（，2）时，随机变量Ｘ基本