结构力学：力法

§10-1超静定结构计算的一般方法1.超静定结构的几何特征和静力特征静力特征:仅由静力平衡方程就能求出所有内力和反力。几何特征:没有多余约束的几何不变体系。静力特征:仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力。几何特征:有多余约束的几何不变体系。FPFP静定结构超静定结构力法2/87

多余约束只是对几何不变性而言的，对内力和变形而言这些约束是有作用的，它们直接影响到内力和变形的大小和分布规律。

在一个静定结构上增加多余约束所得的超静定结构是唯一的；但从超静定结构上去掉多余约束使之成为静定结构时，形式可以有多种多样，多余约束在很大范围内是可以任选的。

超静定结构的约束包括必要约束和多余约束，必要约束可通过平衡方程直接确定，而多余约束须结合变形条件才可确定。2.超静定结构的性质3/87

超静定内力和反力与材料的物理性质、截面的几何特征（形状和尺寸）有关。

非荷载因素也会使超静定结构产生内力和反力；

由于有多余约束，所以增强了抵抗破坏的能力；

由于有多余约束，所以增强了超静定结构的整体性，在荷载作用下会减小位移，内力分布更均匀。4/87（1）满足平衡条件

——各部分受力状态满足平衡方程3.求解超静定结构的三方面条件（2）满足几何条件

——位移满足支承约束和变形连续（3）满足物理条件

——变形或位移与力之间的成比例关系5/87基本思想

(1)找出未知问题不能求解的原因；

(2)改造原问题将其化成会求解的问题；

(3)找出改造后的问题与原问题的差别；

(4)消除差别，改造后的问题的解即为原问题的解。4.超静定结构的计算方法具体操作

(1)在所有未知量中分出一部分作为基本未知量；

(2)将其他未知量表成示成基本未知量的函数；

(3)集中力量求解基本未知量。基本方法

力法——取某些力作为基本未知量；

位移法——取某些位移作为基本未知量。6/87§10-2力法基本概念1.力法思路原体系（待求）

原体系是具有一个多余约束的几何不变体系，称一次超静定体系。目前超静定体系求解还没有讲授，而静定结构体系的求解是已经介绍过的。AB7/87§10-2力法基本概念1.力法思路基本结构（静定）原体系（待求）

将超静定结构的多余约束去掉得到的静定结构称为原结构的基本结构。AB8/87§10-2力法基本概念1.力法思路基本结构（静定）原体系（待求）基本结构在外力和多余力作用下形成基本体系X1基本体系（可求）AB9/87§10-2力法基本概念1.力法思路原体系（待求）

如果能确定出多余力X1的实际值，则基本体系和原体系的内力和位移就完全相同了。可见，多余力的计算是关键所在，称X1为基本未知量。X1基本体系（可求）基本未知量(参数)AB10/87§10-2力法基本概念1.力法思路原体系（待求）由叠加原理，基本体系在基本未知量方向的位移：X1基本体系（可求）基本未知量(参数)AB11/87§10-2力法基本概念1.力法思路原体系（待求）为消除基本体系与原体系在支座处的位移差别，X1基本体系（可求）基本未知量(参数)AB令基本方程(协调条件)12/87§10-2力法基本概念1.力法思路原体系（待求）确定基本未知量（原体系的实际支座反力）：X1基本体系（可求）基本未知量(参数)AB13/87§10-2力法基本概念1.力法思路原体系（待求）通过叠加确定内力分布X1基本体系（可求）基本未知量(参数)AB14/87§10-2力法基本概念1.力法思路由于基本体系既平衡又协调，根据解答的唯一性，它就是原体系的真实解答。X1AB力法基本思想设法将未知的超静定问题转换成已知的静定问题来解决，核心是转换15/87

将未知问题转化为已知问题，通过消除已知问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。这是科学研究的基本方法之一。力法的基本特点（1）解除超静定结构的多余联系，得到静定的基本结构。（2）以多余未知力为基本未知量。（3）根据所去掉的多余联系处的变形条件建立力法方程，从而求出多余未知力。（4）根据平衡条件求出全部反力及内力。（5）一切计算均在基本结构上进行。16/872.超静定次数及力法基本体系和基本未知量的确定解除约束法：将超静定结构逐渐去除多余约束，使之与相近的静定结构相比,多出的约束个数即为结构超静定次数。确定超静定次数FPX1X2FPFPX2X1形成静定结构的方式有多样，但解除约束的个数不变；基本未知量与撤除的约束相对应（方向、数目）超静定次数=多余约束个数超静定结构=静定结构+多余约束17/87去掉一个链杆或切断一个链杆相当于去掉一个约束内部有一个多余约束外部有一个多余约束两次超静定FPX1FPX2X2例题：找出多余约束，并判断超静定次数18/87截开一个单铰或去掉一个固定铰支座相当于去掉两个约束FPFPX2X2X1X1FPFPX2X1两次超静定两次超静定例题：找出多余约束，并判断超静定次数19/87

切断一根梁式杆或去掉一个固定端支座相当于去掉三个约束FPFPX1X2X3FPX2X2X1X1X3X3三次超静定例题：找出多余约束，并判断超静定次数20/87

将刚性连接变成铰结点或将固定端支座变成固定铰支座相当于去掉一个约束。FPX1X1FPX1FP两次超静定例题：找出多余约束，并判断超静定次数21/87

几何可变体系不能作为基本体系；去除多余约束过程不能改变必要约束性质。FPX1X2FP是基本体系吗？22/873次超静定8次超静定计算自由度法：通过求出的计算自由度数得出多余约束数，从而确定超静定次数。23/871次超静定为什么不是3次超静定？X124/873.力法的解题步骤（1）确定基本体系；（2）通过位移条件写出力法方程；（3）作单位弯矩图、荷载弯矩图；（4）求出系数和自由项；（5）解力法方程求多余力；（6）叠加法作弯矩图。25/874.力法解题示例例题：用力法绘制图示结构弯矩图。ABl解：确定基本结构和基本未知量写出基本方程M1MPM绘制弯矩图(1)荷载作用下的结构分析26/87静定结构与超静定结构的弯矩图的比较

比较可知，采取超静定结构降低了梁的最大弯矩，提高了梁的强度。27/87FPEIEIFPX1FPX1=1例题：用力法绘制图示结构弯矩图。28/87

不同的基本结构计算工作量繁简不同，应尽量选取便于计算的静定结构作为基本结构。选用其他基本体系X1X1X1EIFPEIFPEIEI

尽管选取的基本结构不同，但力法方程形式均为：

不同的基本结构对应的基本方程的物理含意不同。29/87X1qX1qqll/2EIX1q选取基本体系可用贴补法图乘计算

由于基本结构可有多种取法，而原体系的解答是唯一的，因此，最终解答可以看成是从任意一种基本结构求解所得。30/87（该结论只适用于荷载作用情况）练习：已知条件如图示，用力法分析结构内力。FPEI

EIABC

由力法典型方程看出：方程的每一项均含有（1/EI），可以消去。表明荷载作用下超静定结构内力分布与刚度的绝对值EI无关，只与各杆的相对刚度

有关。EI的大小不影响内力的大小和分布，只影响位移的大小。31/87FPFPaaa/2各杆EA等于常数弯曲杆EI等于常数二力杆EA等于常数练习：已知条件如图示，用力法分析结构内力。32/87与荷载情况静力计算的区别在于自由项计算的不同。

由于多余力的存在，非荷载因素会引起结构的弹性变形，产生自内力，这是超静定结构不同于静定结构的特征之一。由于基本结构是静定的，在温度改变或支座移动时不产生内力，所以超静定结构的最终内力只与多余力的值有关。

温变情况自由项支座移动自由项(2)非荷载因素作用下的结构分析33/87t1t2EIlt2>t1在温变情况下结构内力和反力与杆件的绝对刚度成正比。温度改变情况下的静力计算示例34/87

基本体系不同，基本方程也有所改变。EIl

非荷载因素使结构产生自内力和反力，该自内力和反力与杆件的绝对刚度成正比。基本体系1基本体系2支座移动情况下的计算示例35/87

当把弹簧考虑成支座时，铰接端弹簧处竖向位移与弹簧内力有关:EIlkFPFP基本体系1弹性支座情况下的计算示例36/87

当把弹簧考虑成结构的一部分时，截断弹簧处竖向相对位移为零：EIlkFPFPk内力随

k变化规律?基本体系237/87X1X2(3)多变量的力法的典型方程EI2EIqqqX1X2基本体系变形条件:38/87由叠加原理:——力法的典型方程q39/87

40/87广义荷载位移根据线弹性体系的叠加原理可知：多余力及荷载共同作用下基本结构产生的位移等于它们分别作用时所产生位移的总和。主系数（i=j）副系数（i

j）以上均各量均可由位移计算公式求得。

ij

是与外因无关的位移影响系数，是基本结构的固有特性41/87§10-3力法计算的简化目的是使选用的基本结构和基本未知量便于计算，尽可能缩小计算规模，降低线性方程组的阶数；使尽可能多的副系数等于零（减少未知量数；减小未知力和外荷载的影响范围）1.无弯矩状态的判别不计轴向变形前提下，下列情况无弯矩，只有轴力。(1)集中荷载沿柱轴作用FP42/87§10-3力法计算的简化目的是使选用的基本结构和基本未知量便于计算，尽可能缩小计算规模，降低线性方程组的阶数；使尽可能多的副系数等于零（减少未知量数；减小未知力和外载的影响范围）1.无弯矩状态的判别不计轴向变形前提下，下列情况无弯矩，只有轴力。(1)集中荷载沿柱轴作用；(2)等值反向共线集中荷载沿杆轴作用。FPFP43/87§10-3力法计算的简化目的是使选用的基本结构和基本未知量便于计算，尽可能缩小计算规模，降低线性方程组的阶数；使尽可能多的副系数等于零（减少未知量数；减小未知力和外载的影响范围）1.无弯矩状态的判别不计轴向变形前提下，下列情况无弯矩，只有轴力。(1)集中荷载沿柱轴线方向作用；(2)等值反向共线集中荷载沿杆轴线方向作用；(3)集中荷载作用在不动结点。FP44/87判断方法:FPFPFPFP

只承受结点荷载的构架体系,在不计轴向变形的情况下,化成铰接体系.如果铰化体系仍为几何不变体系,或者是几何可变体系,但使其成为不变体系所附加的链杆均为零杆（各结点无线位移也无角位移）时,可断定原体系无弯矩。FPFPFPFP处于无弯矩状态45/87证明FPFPFP证毕46/87(1)结构对称性(Symmetry)的概念2.对称性的利用几何对称支承对称刚度对称反对称结构？47/87FPX2X2X1X1X3X3选取对称基本结构的对称基本未知量和反对称基本未知量FP48/87基本方程分为两组：一组只含反对称未知量一组只含对称未知量49/87正对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等，方向和作用点对称的荷载；反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等，作用点对称，方向反对称的荷载。(2)对称荷载及反对称荷载FPFPFPFP50/87截面垂直于对称轴：

M、FN—对称力

FQ

—反对称力截面与对称轴重合：FNMMFQFNFQFNMFQFQ/2FQ/2FN/2FN/2M/2M/2FN—对称力

M、FQ—反对称力51/87正对称荷载反对称荷载练习：判断荷载的对称性。FPM52/87对称结构当作用对称荷载时，反对称未知量为零。其结构的内力和变形是对称的对称荷载分析:FPFPFPX2X2X1X1X3X3FPFPFPMPM1M2M353/87对称结构当作用反对称荷载时，对称未知量为零。其结构的内力和变形是反对称的反对称荷载分析:FPFPX2X2X1X1X3X3FPFPFPFPMPM1M2M354/87例题：已知条件如图示，求作固定梁弯矩图。对称结构在对称荷载作用下，在对称轴处只保留了对称未知量X2和X3，所以X1=0；而对称轴力与对称弯矩图乘为零：

12＝

21＝0

2P=0所以X2=0。lFPEIEIX2X2X1X1X3X355/87FPMPM3M56/87例题：求图示结构的弯矩图。EI=常数。lllFPFPFPFP

FPFP57/87

鉴于结构的对称和荷载的对称（或反对称）得到的内力图也具有对称（或反对称）的特性，可以考虑仅分析结构的一半（等代结构），会大大降低计算工作量。另一半的内力图可按对称性复制。

要使等代结构能等效代替原结构的受力和变形状态。关键在于被截开处应按原结构上的位移条件及相应的静力条件设置相应合适的支撑。58/87A.奇数跨结构对称轴对称轴对称荷载反对称荷载FPFPABCFPFPFPFPABC半结构（等代结构）59/87B.偶数跨结构对称荷载反对称荷载ABCFPFPFPFPFPABCFP对称轴对称轴60/87对称荷载：例题：无中柱对称结构(奇数跨结构)选取等代结构。FPFPFPFPFP反对称荷载：FP61/87例题：有中柱对称结构（偶数跨结构）选取等代结构对称荷载:反对称荷载:FPFPFPFPFPFP62/87练习：利用对称性取半结构分析FPFPFPFP63/87例题：利用对称性取等代结构qqqq64/87练习：利用对称性取半结构FPqq65/87例题：双对称轴取1/4结构做弯矩图2FP2FP2l2lFPFPX1等代结构基本体系基本方程M66/87FPFP例题：双对称轴取1/4结构做弯矩图67/87方法1：先取对称后取反对称方法2：先取反对称后取对称？68/872FPEIEIEIEI2EI2FP2FPEIEIEIEI2EI2FP2FPEIEIEIFPEI4FPEIEIEIEI2EIlll如何利用对称性简化计算69/87去除对称结构对称位置上的多余约束，形成对称的基本结构。将对称位置上的未知力加以组合成对。(4)分解多余未知力为对称组和反对称组FPFPFPFR1FR2X1X1X2X2基本结构原体系基本体系70/87计算过程：基本方程FP71/87也可去除对称结构对称轴上的多余约束，形成对称的基本结构。将对称位置上的未知力加以组合成对。FP原体系FP基本结构X1X1X2X22X2基本体系72/87计算过程：基本方程X1=1X1=1X2=1X2=12X2=2FP73/87qlllX1X1X1X1X2X2X2X2q分析解题途径基本方程基本体系原体系74/87

选成对多余未知力3.其他简化措施FPFPFPFPFPFPFPFPFPX2=1X2=1X1=1X1=1X5=1X5=1X6=175/87FPFPX1X2X3FPX1X2X3取简支梁为基本结构可使单位弯矩图和荷载弯矩图的分布范围限于局部，简化计算。当跨数多时优势更明显，并使不相邻的未知力之间副系数都等于零基本体系1基本体系276/87

一般来说需要解超静定结构的Mi和MP，工作量较大。解决思路：如将超静定结构由力法求得的多余力看作已知荷载，并作用在去掉多余约束的静定结构上，超静定结构位移计算问题就可采用在去掉多余约束的静定结构上建立虚拟力状态的方法得到解决。(1)荷载作用下的位移计算4.位移计算与内力的校核77/87例题：求荷载作用点的竖向位移EIFPEIllFPX1FPFPFP=178/87FPFP=1FP=1FP=1FP=1多余约束只能减，不能加，亦不能换位。79/87超静定结构位移计算步骤：①解超静定结构，绘最终弯矩图；②将单位力作用于任选的基本结构上，绘；③用图乘法求相应点的广义位移。新选的基本结构可以和原来的基本结构相同，也可以不相同；无论选用什么样的基本结构来绘单位弯矩图，其计算结果都是相同的。80/87解决思路：把超静定结构等效替换为多余约束力和温变或支座移动因素共同作用下的静定结构，于是，问题转化为在静定结构上求某项位移（注：不能忽略温变引起的轴向变形）。(2)温变或支座移动情况下的位移计算81/87求k点竖向位移lkl25C15Ck25C

15C

FN82