大学物理：量子力学基础

早期量子论和量子力学基础Basicknowledgeaboutquantummechanics1900年普朗克在确立黑体辐射定律的过程中提出能量量子化的假说，揭开了本世纪物理学革命的序幕，为物理学找到了一个新的概念基础。1905年爱因斯坦提出了光量子假说，进一步发展了普朗克能量量子化的思想。1913年玻尔创造性地把量子概念应用到卢瑟福的原子模型，建立了氢原子理论，说明了氢光谱线。微观世界，更本质一点…！AtverysmallsizestheworldisVERYdifferent!Energyisdiscrete,notcontinuous.Everythingisprobability;nothingisforcertain.Particlesoftenseemtobeintwoplacesatsametime.Ifyouarenotconfusedbytheendofthislecture,youwerenotpayingattention!QuantumMechanics!§18-1热辐射普朗克的量子假设一、热辐射(heatradiation)现象*根据经典电磁理论，带电粒子的加速运动将向外辐射电磁波。*一切物体都以电磁波的形式向外辐射能量。*在单位时间内从物体表面单位面积上辐射的能量，即单位面积上的辐射功率，称为该物体的辐出度(radiatingpower)，用E

表示。*物体的辐出度与其温度有关，故将这种辐射称为热辐射。

←高空飞机彩色红外照片

高空飞机自然彩色照片→*这种电磁波形式的辐射能量按波长分布是不均匀的。锶

Sr铷

Rb铜

Cu单色辐出度若在单位时间内从物体表面单位面积上辐射的、波长

l→

l+dl

范围内的能量为dE，单色辐出度辐出度*物体辐射能量的同时，又吸收周围其它物体的辐射能量。当辐射能量等于吸收能量时，其温度不变——平衡热辐射*一个好的吸收体，也一定是一个好的辐射体。绝对黑体(blackbody;idealradiator)黑体模型能全部吸收所有波长的入射辐射能，即无反射，吸收率为1.二、黑体辐射的实验定律01234561700K1500K1300K1100K斯忒潘—波尔兹曼定律LawofStefan-Boltzmann黑体的辐出度与温度的四次方成正比。斯忒藩常量2.维恩(Wien)位移定律维恩常量维恩位移定律指出:当绝对黑体的温度升高时，单色辐出度最大值向短波方向移动。T例题实验测得太阳辐射谱的峰值为490nm，将太阳视为黑体，试计算太阳的辐射功率和地球每秒内接收到的太阳能。（已知太阳半径R=6.96×108m，地球半径r=6.37×106m，日地距离d=1.496×1011m）

解由维恩位移定律计算太阳表面温度由斯忒潘—波尔兹曼定律得太阳辐射总功率为这功率分布在以太阳为中心，以日地距离d

为半径的球面上，故地球表面单位面积接收到的辐射功率地球接收到的辐射功率例题

（1）若物体温度为20℃，求其辐射谱的峰值波长。（2）若峰值波长

=650nm，求对应的温度。（3）求这两个温度下物体辐射功率之比。解（1）（2）（3）三、经典理论的困难1.维恩公式维恩线2.瑞利—金斯(Rayleigh-Jeans)公式瑞利—金斯线维恩线紫外灾难经典理论的基本观点（1）电磁辐射来源于带电粒子的振动，电磁波的频率与振动频率相同。（2）振子辐射的电磁波含有各种波长，是连续的，辐射能量也是连续的。（3）温度升高，振子振动加强，辐射能增大。四、普朗克量子假说1.普朗克(Planck)公式瑞利—金斯线维恩线普朗克线在长波情况下：在短波情况下：2.能量子假说1900年12月14日，柏林科学院《正常光谱中能量分布律的理论》1918年获诺贝尔物理学奖辐射黑体中分子、原子的振动可看作线性谐振子，它和周围电磁场交换能量。这些谐振子只能处于某种特殊的状态，它的能量取值只能为某一最小能量的整数倍。“我当时打算将基本作用量子h归并到经典理论范畴中去，但这个常数对所有这种企图的回答都是无情的”§18-2光电效应爱因斯坦光子理论一、光电效应(Photo-electriceffect)1.光电效应是瞬时发生的，响应时间为10-9s经典理论不能解释“毋需时间积累”入射光频率一定时，饱和光电流与入射光光强成正比，但反向截止电压与入射光光强无关。iU03.反向截止电压与入射光频率成线性关系。CsCaNa反向截止电压反映光电子的初动能经典理论认为光电子的初动能应决定于入射光的光强，而不决定于光的频率。4、存在一个“截止频率”（红限频率

o）当入射光的频率小于红限频率时，无论光强多大，也不会产生光电效应。二、爱因斯坦的光子理论电磁辐射是由以光速c

运动的局域于空间小范围内的光量子所组成。光子对光电效应实验规律的解释电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出，所以无须时间上的累积过程。光强大，光子数多，释放的光电子也多，所以饱和光电流也大。3.入射光子能量=逸出功+光电子初动能因而光电子初动能和入射光的频率成线性关系4.红限频率对应光电子初动能等于0.NobelTriviaForwhichworkdidEinsteinreceivetheNobelPrize?1)SpecialRelativity

E=mc22)GeneralRelativity

GravitybendsLight3)PhotoelectricEffectPhotons4)Einsteindidn’treceiveaNobelprize.12例题钾的光电效应的红限波长为

o=620nm，求（1）钾电子的逸出功；（2）在

=300nm的紫外线照射下，钾的截止电压为多少？解两个相同的物体A、B，温度相同，若A的温度低于环境温度，而B高于环境温度，则A、B在单位时间内辐射的能量应满足:（A）（B）（C）（D）不能确定选择题某金属表面被蓝光照射时有光电子逸出，若增加蓝光的强度，则（A）单位时间内逸出的光电子数增加；（B）逸出的光电子的初动能增加；（C）光电效应的红限频率变小；（D）发射光电子所需的时间缩短。图中直线表示某金属光电效应实验中光电子初动能与入射光频率的关系，则图中表示该金属的逸出功的线段是（A）OA（B）OC（C）AC（D）ODOBADC思考题1.黑体是否就是黑色物体？绝对黑体是否在任何温度下都是黑色的？2.人体热辐射的各种波长中，对应哪个波长的单色辐出度最大？3.若一物体的绝对温度增加一倍，它的总辐射能增加到原来的多少倍？4.在光电效应实验中，分别改变入射光的光强和改变入射光的频率，其结果有何不同？为什么不同？§18-3

康普顿效应(Compton’seffect)石墨x

光管散射光谱中除有波长l0

的射线外（瑞利散射）还有l

>

l0

的射线（康普顿散射）摄谱仪1927年诺贝尔奖实验规律Δl

随散射角θ

的增大而增加，且新谱线的相对强度也增大。2.相同散射角下，Δl

与散射物质、原波长l0

均无关。3.原子量越小的物质，康普顿效应越显著。经典理论无法解释康普顿效应根据经典电磁波理论，在光场中作受迫振动的带电粒子，辐射的散射光的频率应等于入射光的频率。且因电磁波是横波，在θ=90°的方向应无散射。光子论的解释此过程是光子与电子发生相互作用，两粒子的碰撞是完全弹性碰撞，即满足动量守恒和能量守恒。当光子与外层电子相互作用时，一个电子吸收一个入射光子，发射一个能量略小的散射光子。（因为电子被反冲而获得一定的动量和能量）当光子与紧束缚的内层电子相互作用时，散射光子的能量不变。（因电子质量远小于原子质量）对于原子量小的物质，因其外层电子（看成自由电子）的相对比例高，故其康普顿效应显著。因为是光子和电子的相互作用，所以Δl

与散射物质无关，而与散射角有关。康普顿效应的定量分析ee动量守恒：e能量守恒：康普顿波长：因为康普顿波长比可见光波长小得多，所以可见光的散射主要是瑞利散射。康普顿效应证明了光的粒子性，同时也证明了动量守恒和能量守恒具有普适性，相对论效应在宏观和微观领域都存在。爱因斯坦《论我们关于辐射本质和组成观点的发展》“象人们已经知道的那样，光的干涉、衍射现象表明对于把光看成是一种波动，看来是难以怀疑的，而不容否认的是有这样一类关于辐射的事实表明，光具有某些基本属性，这些属性用光的发射论点比光的波动观点好得多。”“两种特性结构，波动结构和量子结构都应当适合于辐射，而不应当认为彼此不相容。理论物理发展的随后一个阶段将给我们带来这样一种光学理论，它可以是光的波动论和发射论的某种综合，需要建立一个既能描述辐射的波动结构，又能描述辐射的量子结构的数学理论。”老妇乎？少女乎？例题在康普顿效应中，入射光的波长为3×10-3nm，电子反冲的速度为0.6c，求散射光的波长和散射角。解l=3×10-3nm，v=0.6c，m0=9.1×10-31kg，h=6.63×10-34J·s，c=3×108m/s例题波长为

0

=0.02nm的

x

射线与静止的自由电子碰撞，在

θ=90°的方向观察。求散射

x射线的波长，反冲电子的动能和动量。解§18-4

氢原子光谱玻尔的氢原子理论一、经典原子模型1897年汤姆逊发现电子汤姆逊的葡萄干布丁模型卢瑟福核式模型a

粒子的大角散射Thomson,

Sir

Joseph

John

(1856-1940)

(Alphaparticles=He++)Rutherford,

Ernest

(1871-1937)

二、氢原子光谱(Hydrogenspectrum)HδHαHβHγ656.3nm486.1nm434.1nm410.2nm巴尔末公式(Balmer;sFormula)B=364.598nmn=3,4,5,…氢原子光谱是分立的线状光谱，且具有规律性。定义波数n=3,4,5,…巴尔末系可见光区里德伯(Rydberg)常量里德伯方程（n>m）谱线的波数是两光谱项之差n=2,3,4,…n=4,5,6,…n=5,6,7,…n=6,7,8,…赖曼系紫外区帕邢系红外区布喇开系红外区普方德系红外区三、玻尔(Bohr)的氢原子理论玻尔理论的基本假设1.定态假设原子系统只能处于一系列不连续的能量状态，在这些状态中，虽然电子绕核作加速运动，但不辐射电磁波，相应的能量分别为E1，E2，E3，……2.频率条件当原子从一个能量为En

的定态跃迁到另一个能量Ek

为的定态时，就要发射或吸收一个频率为

的光子3.量子化条件

在电子绕核作圆周运动的过程中，其稳定状态必须满足电子的角动量L

等于ħ

的整数倍（ħ=h/2π，约化普朗克常量）n=1,2,3,…由基本假设得到的结论（半经典理论）电子轨道是量子化的轨道半径与量子数n

的平方成正比波尔半径氢原子的能量是量子化的基态能级对氢原子光谱规律的解释当原子从高能级向低能级跃迁时，发射光子的波数为理论值实验值Bohr,

Niels

(1885-1962)

以下为一些原子、分子的光谱与太阳光谱的比较：例题若用能量为12.6eV的电子轰击基态氢原子，求可能产生的谱线的波长。解……n=1-13.6eVn=2-3.39eVn=3-1.51eVn=4-0.85eV可能的跃迁：31，32，21例题氢原子中主量子数n=2的电子至少需要吸收多少能量才能成为自由电子？解§18-5

德布罗意波波-粒二象性整个世纪以来，在辐射理论上，相对于波动的研究方法，我们过于忽视了粒子的研究方法；而在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于粒子的图象想得太多，而忽略了波的图象呢？

L.V.deBroglie1924年博士论文《量子理论研究》，1929年诺贝尔奖德布罗意假设

自然界是对称统一的。实物粒子和光子一样，也具有波粒二象性(wave-corpuscleduality)。如果用能量E

和动量p

来描述实物粒子的粒子性，则可用频率

和波长

来表征实物粒子的波动性。称为德布罗意波或物质波德布罗意公式德布罗意波的数量级地球子弹宏观物质的德波罗意波长均太小，难以观察其波动特性。电子质量m0

=9.110-31kg，加速电压为UU=150V

=0.1nm电子衍射实验电子束金箔屏电子枪例题计算：25℃时的慢中子的德布罗意波长。解§18-6不确定度关系(Uncertaintyrelation)由于微观粒子具有波粒二象性(wave-corpuscleduality)

，用经典概念（坐标、动量、能量、轨道等）描述其状态会受到限制。电子一个一个地通过单缝长时间积累后也出现衍射图样假设经典描述仍适用。我们用狭缝来描写电子过狭缝时的x

坐标。电子到达观测屏时将传递动量给观测屏，通过测量电子的这一动量可得到电子过狭缝时动量的x

分量。为了尽可能确定x

坐标，必须缩小狭缝宽度a，这样就增加了px

的不确定度，即其测量值是随机的、不确定的，又称测不准。xpθxa位置的不确定量：动量px的不确定量：中央明纹中心中央明纹边缘海森伯(Heisenberg)不确定关系1.对于微观粒子，坐标的不确定度与该方向动量的不确定度相互制约。轨道概念失去意义。用经典概念描述微观粒子是不准确的。2.不确定性不是实验误差，而是量子系统的内禀性质。它通过与实验装置的相互作用而表现出来。3.不同的实验装置决定不同的可测量量，显示客体某方面的性质，而抑制其它方面的性质。经典描述是互补的。4.作用量子

h

给出了宏观与微观的界限。例题

试比较电子和质量为10g的子弹的位置不确定量，假设它们在x方向都以200m/s的速度运动，速度的不确定度在0.01%以内。解电子子弹远大于电子线度电子位置不确定宏观物体的位置可认为是确定的§18-7

波函数薛定谔方程一、波函数(wavefunction)的引入对于一维运动的自由粒子，德布罗意波的波长和频率不变，故可用平面简谐波的波函数来描述。一维自由粒子的波函数二、波恩(M.Born)的解释德布罗意波是概率波。波函数本身无直接的物理含意。波函数的平方是某一时刻粒子在空间某点附近出现的概率密度。粒子出现在空间某点附近体积元dV

内的概率：波函数必须单值、有界、连续、可归一归一化条件三、薛定谔方程（Schrodinger’sequation)在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述，波函数满足薛定谔方程。对于处在势场V（x）中的一维运动的粒子，其波函数满足称为一维含时薛定谔方程。定态(stationarystate)——概率密度、能量不随时间变化的状态定态波函数取如下形式：概率密度：一维定态薛定谔方程:§18-8势阱中的粒子势垒谐振子aOV(x)

x一、一维无限深势阱其势能函数：1.令波函数必须有界2.令波函数必须连续：要满足归一化条件*对解的讨论：1、由于波函数标准条件和边界条件的约束，E只取能某些特定值，即无限深势阱中粒子的能量是量子化的。EOaxn=1n=2n=3n=4存在零点能量2、势阱中不同位置粒子出现的概率不相同。势阱中各点的概率密度概率密度Oan=1n=2n=3n=4Oan=1n=2n=3n=4xx补充：本征态的概念对应某一力学量，存在一组本征态，当粒子处于本征态时，该力学量有确定的值，这些确定值称为该力学量的本征值。例如，一维无限深势阱中粒子的能量能量本征态能量本征值当粒子处于某力学量的非本征态时，该力学量的实验测量值是不确定的，不同的值以不同的概率出现。粒子非本征态的波函数可表示为本征态波函数的线性组合（态叠加原理）。表明粒子以不同的概率处于各本征态。可能得到的力学量测量值是各本征值，但以不同的概率出现。力学量的平均值为例设在阱宽为a的一维无限深势阱中，运动粒子的状态（概率幅）为求对应此状态的粒子能量的可能值及相应的测量概率。解一维无限深势阱中粒子的本征波函数为相应的能量本征值为将状态波函数用本征波函数展开：此状态是n=1和n=3的两个本征态的叠加态，粒子处于两个本征态的概率均为½.测得的能量可能值分别为E1、E3，出现概率也都是½.对一维线性谐振子的讨论可得到类似的结果：其能量的可能取值是分立的，同样存在零点能量。二、谐振子(harmonicvibrator)如果在一维空间运动的粒子的势能为：那么，称粒子为一维线性谐振子存在零点能量说明，即使