《高等数学Ⅱ》试卷及答案 共5套

装订线内不要答题座号装订线内不要答题座号学院年级专业班级学号姓名第1页共2页装订线内禁止答卷第3页共4页装订线内禁止答卷第2页共2页20XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷考试说明：1、本试卷共3页，考试时间为120分钟；2、考试方式：闭卷；3、全部试题均答在答题纸上。一、单项选择题（在下列各小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的代码填入下列对应的表格内，多选不给分。本题共15小题，每小题2分，共30分）。1、函数的定义域是（）(A)(B)(C)(D)2、若两非零向量满足则一定有 （）（A）（B）（C）同向(D)反向3、直线与直线的位置关系（）(A)相交(B)平行(C)重合(D)异面4、函数的极大值点为（）(A)(B)(C)(D)5、在点的偏导数存在是在该点可微分的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)无关条件6、设区域是由围成，则二重积分（）(A)(B)(C)(D)7、设为椭圆逆时针路径，则（）(A)(B)(C)(D)8、微分方程的通解是（）(A)(B)(C)(D)9、若级数发散，则有（）(A)(B)(C)(D)10、如果级数发散，为常数，则级数（）（A）发散（B）可能收敛，可能发散（C）收敛（D）无界11、设函数f(x)是周期为2的函数，则f(x)的傅里叶级数中不含哪个频率的分量 （）

(A)ω=π(B)ω=2π(C)ω=3π(D)ω=4π12、若向量a与向量b垂直，则它们的数量积是 （）(A)|a|*|b|(B)-|a|*|b|(C)0(D)a*b（向量形式）13、函数的定义域是（）(A)(B)(C)(D)14、设，则＝ （）(A)(B)(C)(D)15、若级数收敛，则 （）(A)(B)(C)(D)二、判断题(本题共10小题，每小题2分，共20分)16、格林公式仅适用于简单闭合曲线。（）17、重积分的换元法总是适用，无论变换是否线性。（）18、在多元函数的极值问题中，拉格朗日乘数法总是能找到全局极值（）19、幂级数的收敛半径总是正数。（）20、极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。（）21、重积分的中值定理总是成立，无论被积函数是否连续。（）22、隐函数定理保证了从方程中解出的隐函数总是存在且唯一。（）23、曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分，它们之间没有联系。（）24、无穷级数的收敛性只与级数的项有关，与项的顺序无关。（）25、幂级数的和函数在其收敛域内一定是连续且可导的。（）三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26、设积分区域的面积为，则.27、.28、设积分区域：，，则.29、微分方程的通解是.30、如果级数，则.四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、求的偏导数，其中具有连续偏导数.（6分）32、求曲线在的切线与法平面方程.（6分）33、求微分方程的通解.（6分）34、计算，其中是由直线及所围成的闭区域（6分）35、计算，其中为由至的上半椭圆圆周.（6分）五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​20XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷·参考答案单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）题号12345678910答案DCDDDDACCA题号1112131415答案BCCAC判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）16、√17、×18、×19、×20、√21、×22、×23、×24、×25、√三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26、1027、228、029、30、0四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。332、解：因为，.（2分）切平面方程为…………（2分）法线方程为………（2分）33、求微分方程的通解.（6分）解：方程为一阶线性非齐次微分方程令，………….（1分）由一阶线性非齐次微分方程的通解公式：…….（2分）………….（3分）34、解：画出积分区域的草图，交点为。……………….（2分）视为是型区域：…….（2分）则有…………….（2分）35、求幂级数的和函数.（6分）解：………….（2分）所以…。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。.（1分）当时，级数发散，当时，级数收敛，所以级数的收敛域为…………………...（1分）设所求和函数为，即，………….（1分），………….（1分）35、计算，其中为由至的上半椭圆圆周解补充到的直线段，则成为闭曲线，且的方向为区域的正方向，由格林公式，………………………1有，………1于是………………2又在直线上，，由变到，故.所以……………2五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​证明：令

F(x)=(x−b)f(x)，则

F(x)

在

[a,b]

上连续，在

(a,b)

上可导。………….（2分）利用乘法法则，我们有F′(x)=(x−b)f′(x)+f(x)。 ………….（2分）由于

F(a)=(a−b)f(a)=0

和

F(b)=(b−b)f(b)=0，根据罗尔定理，存在至少一个

c∈(a,b)，使得

F′(c)=0。 ………………….…….………….（2分）由

F′(c)=0，我们得到

(c−b)f′(c)+f(c)=0。…….…….………….（2分）将上式整理，得到

f′(c)=−c−bf(c)​。…………….…….………….（1分）由于

c=b（因为

c∈(a,b)），我们可以进一步写为

f′(c)=−b−cf(c)​。因此，我们证明了存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​。…….（120XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷考试说明：1、本试卷共3页，考试时间为120分钟；2、考试方式：闭卷；全部试题均答在答题纸上。一、单项选择题（在下列各小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的代码填入下列对应的表格内，多选不给分。本题共15小题，每小题2分，共30分）。1、函数的定义域是（）(A)(B)(C)(D)已知向量，，若与垂直，则（）(A)(B)(C)(D)不确定3、过点且以为方向向量的直线方程是（）(A)(B)(C)(D)4、函数的极小值点为（）(A)(B)(C)(D)5、在点的偏导数存在是在该点可微分的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)无关条件6、设区域是由（）围成，则二重积分（）(A)(B)(C)(D)7、设为椭圆的逆时针路径，则（）(A)(B)(C)(D)8、微分方程的通解是（）(A)(B)(C)(D)9、若级数发散，为常数，则级数（）(A)发散(B)可能收敛，可能发散(C)收敛(D)无界10、设幂级数在处发散，则在处（）(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)敛散性不确定11、微分方程的通解为（）（A）（B）（C）（D）12、幂级数的收敛域为（）（A）（B）（C）（D）13、函数的定义域是（）（A）（B）（C）（D）14、设函数,则在点（0，0）处（）（A）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在；（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在.15、设在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足及，则（）（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；（D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上.二、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）16、若函数f(x,y)在点处连续，则它在(x0,y0)该点必可偏导.（）17、若函数f(x,y)在区域D上具有连续的偏导数，则它在D上必可微.（18、重积分的中值定理总是成立，无论被积函数是否连续。（）19、对任何闭曲面，高斯公式中的曲面积分总等于零。（）20、格林公式仅适用于简单闭合曲线。（）21、若函数f(x,y,z)在空间某区域内是调和函数，则它满足拉普拉斯方程.（）22、曲线积分与路径无关当且仅当被积函数是某函数的全微分。（）23、任何无穷级数都可以通过部分和序列的极限来求和。（）24、幂级数的收敛半径总是正数。（）25、泰勒级数总是收敛于其原函数，无论函数性质如何。（）三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26、已知向量，,则.27、设积分区域的面积为，则.28、设积分区域：，，则.29、微分方程的通解是.30、如果级数，则.四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、求空间曲线在点处的切线及法平面方程.（6分）32、求函数的全微分.（6分）33、求微分方程的通解.（6分）34、求幂级数的和函数.（6分）35、计算，其中是由直线及所围成的闭区域（6分）五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​20XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷·参考答案单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）题号12345678910答案ABADBDBDCB题号1112131415答案DCCCB判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）16、×17、√18、×19、×20、√21、√22、√23、×24、×25、×三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26、27、28、029、30、0四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、求空间曲线在点处的切线及法平面方程.（6分）解：点对应的参数…………….（1分）则在该点处切线的切向量…………….（1分）所以在点处的切线方程为………….（2分）法平面方程为…………….（2分）31、求函数的全微分.（6分）解：因为，………….（2分）………….（2分）所以………….（2分）32、求微分方程的通解.（6分）解：方程为一阶线性非齐次微分方程由一阶线性非齐次微分方程的通解公式：……….（3分）………….（3分）33、求幂级数的和函数.解：设和函数为两边由0到积分，得…………（4分）两边对求导，即得.………………（2分）34、求函数的极值.解解方程组得驻点为……………………（3分）再求出二阶偏导数在点处,又,所以函数在处有极小值在点处,所以不是极值．……（3分）35、解：画出积分区域的草图，交点为。……………….（2分）视为是型区域：…….（2分）则有…………….（2分）五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​证明：令

F(x)=(x−b)f(x)，则

F(x)

在

[a,b]

上连续，在

(a,b)

上可导。………….（2分）利用乘法法则，我们有F′(x)=(x−b)f′(x)+f(x)。 ………….（2分）由于

F(a)=(a−b)f(a)=0

和

F(b)=(b−b)f(b)=0，根据罗尔定理，存在至少一个

c∈(a,b)，使得

F′(c)=0。 ………………….…….………….（2分）由

F′(c)=0，我们得到

(c−b)f′(c)+f(c)=0。…….…….………….（2分）将上式整理，得到

f′(c)=−c−bf(c)​。…………….…….………….（1分）由于

c=b（因为

c∈(a,b)），我们可以进一步写为

f′(c)=−b−cf(c)​。因此，我们证明了存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​。…….（120XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷考试说明：1、本试卷共3页，考试时间为120分钟；2、考试方式：闭卷；全部试题均答在答题纸上。一、单项选择题（在下列各小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的代码填入下列对应的表格内，多选不给分。本题共15小题，每小题2分，共30分）。1、点到点的距离（）(A)3(B)4(C)5(D)6已知向量，，若与垂直，则（）(A)(B)(C)(D)不确定3、直线与直线的位置关系（）(A)相交(B)平行(C)重合(D)异面4、两个向量与垂直的充要条件是（）(A)(B)(C)(D)5、在点的偏导数存在是在该点可微分的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)无关条件6、向量，则有（）(A)∥(B)⊥(C)(D)7、设区域是由围成，则二重积分（）(A)(B)(C)(D)8、设为椭圆的逆时针路径，则（）(A)(B)(C)(D)9、微分方程的通解是（）(A)(B)(C)(D)10、函数的极小值是（）(A)2(B)(C)1(D)11、若级数收敛，则（）(A)(B)(C)(D)12、幂级数的收敛域为（）(A)(B)(C)(D)13、幂级数在收敛域内的和函数是（）(A)(B)(C)(D)14.微分方程的通解为（）(A)(B)(C)(D)15、二元函数在处可微的充分条件是（）（A）在处连续；（B），在的某邻域内存在；（C）当时，是无穷小；（D）.二、判断题(本题共10小题，每小题2分，共20分)16、重积分的中值定理总是成立，无论被积函数是否连续。（）17、泰勒级数总是收敛于其原函数，无论函数性质如何。（）18、若函数f(x,y)在点处连续，则它在(x0,y0)该点必可偏导.19、曲线积分与路径无关当且仅当被积函数是某函数的全微分。（）20、无穷级数的收敛性只与级数的项有关，与项的顺序无关（）21、对任何闭曲面，高斯公式中的曲面积分总等于零。（）22、隐函数定理保证了从方程中解出的隐函数总是存在且唯一。（）23、幂级数的和函数在其收敛域内一定是连续且可导的。（）24、幂级数的收敛半径总是正数。（）25、极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。（）三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为______________________.27.函数的全微分是______________________.28.设，则______________________.29.的麦克劳林级数是______________________.30.微分方程的通解为______________________.四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、求曲线在的切线与法平面方程.（6分）32、求的偏导数，其中具有连续偏导数.（6分）33、求微分方程的通解.（6分）34、计算，其中是抛物线自到的一段弧.（6分）35、求幂级数的和函数.（6分）五、证明题（本大题共1小题，每题10分，共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​20XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷·参考答案单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）题号12345678910答案CBDADBDBCD题号1112131415答案CCBDD判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）16、×17、×18、×19、√20、×21、×22、×23、√24、×25、√三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26、27、28、29、30、四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、解：因为，.（2分）切平面方程为…………（2分）法线方程为………（2分）32、。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）33、求微分方程的通解.（6分）解：方程为一阶线性非齐次微分方程令，………….（1分）由一阶线性非齐次微分方程的通解公式：…….（2分）………….（3分）34、解：画出积分区域的草图，交点为。……………….（2分）视为是型区域：…….（2分）则有…………….（2分）35、求幂级数的和函数.（6分）解：………….（1分）所以…。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。.（1分）当时，级数发散，当时，级数收敛，所以级数的收敛域为…………………...（2分）设所求和函数为，即，………….（1分），………….（1分）五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​证明：令

F(x)=(x−b)f(x)，则

F(x)

在

[a,b]

上连续，在

(a,b)

上可导。………….（2分）利用乘法法则，我们有F′(x)=(x−b)f′(x)+f(x)。 ………….（2分）由于

F(a)=(a−b)f(a)=0

和

F(b)=(b−b)f(b)=0，根据罗尔定理，存在至少一个

c∈(a,b)，使得

F′(c)=0。 ………………….…….………….（2分）由

F′(c)=0，我们得到

(c−b)f′(c)+f(c)=0。…….…….………….（2分）将上式整理，得到

f′(c)=−c−bf(c)​。…………….…….………….（1分）由于

c=b（因为

c∈(a,b)），我们可以进一步写为

f′(c)=−b−cf(c)​。因此，我们证明了存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​。…….（120XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷考试说明：1、本试卷共3页，考试时间为120分钟；2、考试方式：闭卷；全部试题均答在答题纸上。一、单项选择题（在下列各小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的代码填入下列对应的表格内，多选不给分。本题共15小题，每小题2分，共30分）。1、函数的定义域是（）(A)(B)(C)(D)2、点到点的距离（）(A)3(B)4(C)5(D)63、过点且以为方向向量的直线方程是（）(A)(B)(C)(D)4、函数的极小值是 （）(A)2(B)(C)1(D)5.设，则＝ （）(A)(B)(C).(D)6、在点的偏导数存在是在该点可微分的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)无关条件7、设函数f(x)是周期为2的函数，则f(x)的傅里叶级数中不含哪个频率的分量（）

(A)ω=π(B)ω=2π(C)ω=3π(D)ω=4π8、设为椭圆的逆时针路径，则（）(A)(B)(C)(D)9、设，则＝ （）(A)(B)(C)(D)10、若级数发散，为常数，则级数（）(A)发散(B)可能收敛，可能发散(C)收敛(D)无界11、微分方程的通解为 （）(A)(B)(C)(D).12、设幂级数在处发散，则在处（）(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)敛散性不确定13、幂级数的收敛域为 （）(A)(B)(C)(D)14、函数的定义域是（）(A)(B)(C)(D)15、若级数收敛，则 （）(A)(B)(C)(D)二、判断题(本题共10小题，每小题2分，共20分)16、极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。（）17、泰勒级数总是收敛于其原函数，无论函数性质如何。（）18、曲线积分与路径无关当且仅当被积函数是某函数的全微分。（）19、幂级数的收敛半径总是正数。（）20、若函数在某点处可导，则它在该点必连续。（）21、格林公式仅适用于简单闭合曲线。（）22、隐函数定理保证了从方程中解出的隐函数总是存在且唯一。（）23、任何无穷级数都可以通过部分和序列的极限来求和。（）24、重积分的中值定理总是成立，无论被积函数是否连续。（）25、对任何闭曲面，高斯公式中的曲面积分总等于零。（）三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26、.27、设积分区域的面积为，则.28、设积分区域：，，则.29.的麦克劳林级数是__________________.30.微分方程的通解为_____________________.四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、求微分方程的通解.（6分）32、求函数的全微分.（6分）33、求空间曲线在点处的切线及法平面方程.（6分）34、求函数的极值.（6分）35、求幂级数的和函数.（6分）五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​20XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷·参考答案单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）题号12345678910答案ACADABBBAC题号1112131415答案DBCCC判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）16、√17、×18、√19、×20、√21、√22、×23、×24、×25、×三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26、227、28、029、30、四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、求幂级数的和函数.解：设和函数为两边由0到积分，得…………（4分）两边对求导，即得.………………（2分）32、求函数的全微分.（6分）解：因为，………….（2分）………….（2分）所以………….（2分）33、求空间曲线在点处的切线及法平面方程.（6分）解：点对应的参数…………….（1分）则在该点处切线的切向量…………….（1分）所以在点处的切线方程为………….（2分）法平面方程为…………….（2分）34、求函数的极值.解解方程组得驻点为……………………（3分）再求出二阶偏导数在点处,又,所以函数在处有极小值在点处,所以不是极值．……（3分）35、求微分方程的通解.（6分）解：方程为一阶线性非齐次微分方程由一阶线性非齐次微分方程的通解公式：……….（3分）………….（3分）五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​证明：令

F(x)=(x−b)f(x)，则

F(x)

在

[a,b]

上连续，在

(a,b)

上可导。………….（2分）利用乘法法则，我们有F′(x)=(x−b)f′(x)+f(x)。 ………….（2分）由于

F(a)=(a−b)f(a)=0

和

F(b)=(b−b)f(b)=0，根据罗尔定理，存在至少一个

c∈(a,b)，使得

F′(c)=0。 ………………….…….………….（2分）由

F′(c)=0，我们得到

(c−b)f′(c)+f(c)=0。…….…….………….（2分）将上式整理，得到

f′(c)=−c−bf(c)​。…………….…….………….（1分）由于

c=b（因为

c∈(a,b)），我们可以进一步写为

f′(c)=−b−cf(c)​。因此，我们证明了存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​。…….（120XX-20XX学年第下学期期末考试试卷《高等数学Ⅱ》装订线内不要答题装订线内不要答题考试说明：1、本试卷共3页，考试时间为120分钟；2、考试方式：闭卷；全部试题均答在答题纸上。一、单项选择题：（在下列各小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的代码填入下列对应的表格内，多选不给分。本题共15小题，每小题2分，共30分）。1、函数的定义域为()A.B.C.D.2、在空间直角坐标系中，方程的图形是()A.平行于轴的直线B.垂直于轴的平面C.通过轴的平面D.通过原点的直线3、设函数，则全微分()A.B.C.D.4、设，则()A.B.C.D.5、下列级数发散的是()A.B.C.D.6、在空间直角坐标系中，方程组z²=x²+y²,y=1代表的图形为()A.抛物线B.双曲线C.圆D.直线7、二元函数z=f(x,y)在点()可微是其在该点偏导数存在的()A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件8、方程2z=x²+y²表示的二次曲面是()A.抛物面B.柱面C.圆锥面D.椭球面9、设L为：x=1,的弧段，则=()A.9B.6C.3D.级数的敛散性为()发散