高中数学 第2章 章末检测同步训练 苏教版选修2-1

章末检测一、填空题1．双曲线3x2－y2＝9的实轴长是________．2．以eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为______________．3．对抛物线y＝4x2，开口向________(填“上”“下”“左”“右”)，焦点坐标为____．4．若k∈R，则k>3是方程eq\f(x2,k－3)－eq\f(y2,k＋3)＝1表示双曲线的______________条件．5．若双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(16y2,p2)＝1的左焦点在抛物线y2＝2px(p>0)的准线上，则p的值为________．6．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．7．设椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1和双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的公共焦点为F1、F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2＝________.8．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若AF＝3，则△AOB的面积为________．9．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，AB＝4eq\r(3)，则C的实轴长为________．10．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为______．11．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得PF1＝3PF2，则双曲线的离心率e的取值范围为__________．12．椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的两个焦点F1，F2，过点F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其中一个交点为P，则PF2＝______.13．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，那么k＝________.14．若椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线y＝1－x交于A、B两点，过原点与线段AB的中点的连线斜率为eq\f(\r(2),2)，则eq\f(n,m)的值为________．二、解答题15．已知双曲线与椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,49)＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为eq\f(3,7)，求双曲线的方程．16．已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．17．已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程，并求弦AB的长．18．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l与抛物线交于A、B两点．求证：△AOB是钝角三角形．19．已知椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，右焦点为(2eq\r(2)，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．

答案1．2eq\r(3)2．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝13．上eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))4．充分不必要5．46．27．eq\f(1,3)8．eq\f(3\r(2),2)9．410．eq\f(1,2)11．(1,2]12．eq\f(7,2)13．－114．eq\r(2)15．解椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,49)＝1的焦点为(0，±eq\r(13))，离心率为e1＝eq\f(\r(13),7).由题意可知双曲线的焦点为(0，±eq\r(13))，离心率e2＝eq\f(\r(13),3)，∴双曲线的实轴长为6.∴双曲线的方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.16．解由双曲线方程eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，可知a＝3，b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5.由双曲线的定义，得PF1－PF2＝±2a将此式两边平方，得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2＝36，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝36＋2PF1·PF2.又∵∠F1PF2＝90°，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝100＝36＋2PF1·PF2，∴PF1·PF2＝32，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)×32＝16.17．解方法一易知直线斜率k存在．设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－2，,\f(x2,16)＋\f(y2,4)＝1，))得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1、x2是上述方程的两根，于是x1＋x2＝eq\f(82k2－k,4k2＋1).又M为AB的中点，∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(42k2－k,4k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2)，且满足Δ>0.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.∵x1＋x2＝4，x1·x2＝eq\f(42k－12－16,4k2＋1)＝0.∴AB＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)eq\r(42－0)＝2eq\r(5).方法二设A(x1，y1)、B(x2，y2)．∵M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A、B两点在椭圆上，则xeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al(2,1)＝16，xeq\o\al(2,2)＋4yeq\o\al(2,2)＝16，两式相减，得(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋4(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝－eq\f(4,4×2)＝－eq\f(1,2)，即kAB＝－eq\f(1,2).故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.AB求法同上．18．证明∵焦点F为(1,0)，过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为ky＝x－1，代入抛物线y2＝4x，得y2－4ky－4＝0，则有yAyB＝－4，则xAxB＝eq\f(y\o\al(2,A),4)·eq\f(y\o\al(2,B),4)＝1.又OA·OB·cos∠AOB＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3<0，得∠AOB为钝角，故△AOB是钝角三角形．19．解(1)由已知得c＝2eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).解得a＝2eq\r(3)，又b2＝a2－c2＝4.所以椭圆G的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1))，得4x2＋6mx＋3m设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3m,4)，y0＝x0＋m＝eq\f(m,4)；因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝eq\f(2－\f(m,4),－3＋