高中数学 第1章 章末检测 北师大版选修2-2

章末检测一、选择题1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是()A．归纳推理 B．演绎推理C．类比推理 D．特殊推理2．设f(n)＝1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,2n－1)(n≥2)，则f(k＋1)－f(k)等于 ()A.eq\f(1,2k＋1－1)B.eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1－1)C.eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1－1)D.eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)3．用反证法证明命题“eq\r(2)＋eq\r(3)是无理数”时，假设正确的是 ()A．假设eq\r(2)是有理数B．假设eq\r(3)是有理数C．假设eq\r(2)或eq\r(3)是有理数D．假设eq\r(2)＋eq\r(3)是有理数4．用数学归纳法证明：1＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,1＋2＋3)＋…＋eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(2n,n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是 ()A.eq\f(2,kk＋2) B.eq\f(1,kk＋1)C.eq\f(1,k＋1k＋2) D.eq\f(2,k＋1k＋2)5．已知f(x＋1)＝eq\f(2fx,fx＋2)，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为 ()A.eq\f(4,2x＋2) B.eq\f(2,x＋1)C.eq\f(1,x＋1) D.eq\f(2,2x＋1)6．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于 ()A．f(1)＋2f(1)＋…＋nfB．f(eq\f(nn＋1,2))C．n(n＋1)D.eq\f(nn＋1,2)f(1)7．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为 ()A．0个 B．1个C．2个 D．3个8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫作相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有 ()①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．A．4个 B．3个C．2个 D．1个9．数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，则a2013等于 ()A.eq\f(1,2) B．－1 C．2 D．310．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值 ()A．恒小于0 B．恒大于0C．可能等于0 D．可正也可负二、填空题11．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为___________．12．f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)，经计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，推测当n≥2时，有____________．13．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n个图有an个“树枝”，则an＋1与an(n≥2)之间的关系是______．14．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为eq\f(AE,EB)＝eq\f(AC,BC)，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．三、解答题15．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．16．1，eq\r(3)，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．17．设a，b为实数，求证：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．18．设a，b，c为一个三角形的三边，s＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，且s2＝2ab，试证：s<2a.19．数列{an}满足a1＝eq\f(1,6)，前n项和Sn＝eq\f(nn＋1,2)an.(1)写出a2，a3，a4；(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明．20．设f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，是否存在关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝g(n)·[f(n)－1]对于n≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．

答案1．A2.A3.D4.D5．B6．C7．B8.C9.C10.A11．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)212．f(2n)>eq\f(2＋n,2)(n≥2)13．an＋1＝2an＋1(n≥2)14.eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)15．解(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．16．解假设1，eq\r(3)，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则1＝eq\r(3)－md,2＝eq\r(3)＋nd，m，n为两个正整数，消去d得m＝(eq\r(3)＋1)n.∵m为有理数，(eq\r(3)＋1)n为无理数，∴m≠(eq\r(3)＋1)n.∴假设不成立．即1，eq\r(3)，2不可能为同一等差数列中的三项．17．证明当a＋b≤0时，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．当a＋b>0时，用分析法证明如下：要证eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需证(eq\r(a2＋b2))2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a＋b))2，即证a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．综上所述，对任意实数a，b不等式都成立．18．证明要证s<2a，由于s2＝2ab，所以只需证s<eq\f(s2,b)，即证b<s.因为s＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，所以只需证2b<a＋b＋c，即证b<a＋c.由于a，b，c为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．19．解(1)令n＝2，∵a1＝eq\f(1,6)，∴S2＝eq\f(2×2＋1,2)a2，即a1＋a2＝3a2.∴a2＝eq\f(1,12).令n＝3，得S3＝eq\f(3×3＋1,2)a3，即a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝eq\f(1,20).令n＝4，得S4＝eq\f(4×4＋1,2)a4，即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝eq\f(1,30).(2)猜想an＝eq\f(1,n＋1n＋2)，下面用数学归纳法给出证明．①当n＝1时，a1＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,1＋11＋2)，结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝eq\f(1,k＋1k＋2)，则当n＝k＋1时，Sk＝eq\f(kk＋1,2)ak＝eq\f(kk＋1,2)·eq\f(1,k＋1k＋2)＝eq\f(k,2k＋2)，Sk＋1＝eq\f(k＋1k＋2,2)ak＋1，即Sk＋ak＋1＝eq\f(k＋1k＋2,2)ak＋1.∴eq\f(k,2k＋2)＋ak＋1＝eq\f(k＋1k＋2,2)ak＋1.∴ak＋1＝eq\f(\f(k,2k＋2),\f(k＋1k＋2,2)－1)＝eq\f(k,kk＋3k＋2)＝eq\f(1,k＋2k＋3).当n＝k＋1时结论成立．由①②可知，对一切n∈N*都有an＝eq\f(1,n＋1n＋2).20．解当n＝2时，由f(1)＝g(2)·[f(2)－1]，得g(2)＝eq\f(f1,f2－1)＝eq\f(1,1＋\f(1,2)－1)＝2，当n＝3时，由f(1)＋f(2)＝g(3)·[f(3)－1]，得g(3)＝eq\f(f1＋f2,f3－1)＝eq\f(1＋1＋\f(1,2),1＋\f(1,2)＋\f(1,3)－1)＝3，猜想g(n)＝n(n≥2)．下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]恒成立．①当n＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n＝