《高等数学Ⅱ》试卷及答案 卷3

装订线内不要答题座号装订线内不要答题座号学院年级专业班级学号姓名第1页共2页装订线内禁止答卷第3页共4页装订线内禁止答卷第2页共2页20XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷考试说明：1、本试卷共3页，考试时间为120分钟；2、考试方式：闭卷；全部试题均答在答题纸上。一、单项选择题（在下列各小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的代码填入下列对应的表格内，多选不给分。本题共15小题，每小题2分，共30分）。1、点到点的距离（）(A)3(B)4(C)5(D)6已知向量，，若与垂直，则（）(A)(B)(C)(D)不确定3、直线与直线的位置关系（）(A)相交(B)平行(C)重合(D)异面4、两个向量与垂直的充要条件是（）(A)(B)(C)(D)5、在点的偏导数存在是在该点可微分的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)无关条件6、向量，则有（）(A)∥(B)⊥(C)(D)7、设区域是由围成，则二重积分（）(A)(B)(C)(D)8、设为椭圆的逆时针路径，则（）(A)(B)(C)(D)9、微分方程的通解是（）(A)(B)(C)(D)10、函数的极小值是（）(A)2(B)(C)1(D)11、若级数收敛，则（）(A)(B)(C)(D)12、幂级数的收敛域为（）(A)(B)(C)(D)13、幂级数在收敛域内的和函数是（）(A)(B)(C)(D)14.微分方程的通解为（）(A)(B)(C)(D)15、二元函数在处可微的充分条件是（）（A）在处连续；（B），在的某邻域内存在；（C）当时，是无穷小；（D）.二、判断题(本题共10小题，每小题2分，共20分)16、重积分的中值定理总是成立，无论被积函数是否连续。（）17、泰勒级数总是收敛于其原函数，无论函数性质如何。（）18、若函数f(x,y)在点处连续，则它在(x0,y0)该点必可偏导.19、曲线积分与路径无关当且仅当被积函数是某函数的全微分。（）20、无穷级数的收敛性只与级数的项有关，与项的顺序无关（）21、对任何闭曲面，高斯公式中的曲面积分总等于零。（）22、隐函数定理保证了从方程中解出的隐函数总是存在且唯一。（）23、幂级数的和函数在其收敛域内一定是连续且可导的。（）24、幂级数的收敛半径总是正数。（）25、极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。（）三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为______________________.27.函数的全微分是______________________.28.设，则______________________.29.的麦克劳林级数是______________________.30.微分方程的通解为______________________.四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、求曲线在的切线与法平面方程.（6分）32、求的偏导数，其中具有连续偏导数.（6分）33、求微分方程的通解.（6分）34、计算，其中是抛物线自到的一段弧.（6分）35、求幂级数的和函数.（6分）五、证明题（本大题共1小题，每题10分，共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​20XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷·参考答案单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）题号12345678910答案CBDADBDBCD题号1112131415答案CCBDD判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）16、×17、×18、×19、√20、×21、×22、×23、√24、×25、√三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26、27、28、29、30、四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、解：因为，.（2分）切平面方程为…………（2分）法线方程为………（2分）32、。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）33、求微分方程的通解.（6分）解：方程为一阶线性非齐次微分方程令，………….（1分）由一阶线性非齐次微分方程的通解公式：…….（2分）………….（3分）34、解：画出积分区域的草图，交点为。……………….（2分）视为是型区域：…….（2分）则有…………….（2分）35、求幂级数的和函数.（6分）解：………….（1分）所以…。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。.（1分）当时，级数发散，当时，级数收敛，所以级数的收敛域为…………………...（2分）设所求和函数为，即，………….（1分），………….（1分）五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​证明：令

F(x)=(x−b)f(x)，则

F(x)

在

[a,b]

上连续，在

(a,b)

上可导。………….（2分）利用乘法法则，我们有F′(x)=(x−b)f′(x)+f(x)。 ………….（2分）由于

F(a)=(a−b)f(a)=0

和

F(b)=(b−b)f(b)=0，根据罗尔定理，存在至少一个

c∈(a,b)，使得

F′(c)=0。 ………………….…….…………