4.6反证法公开课教案教学设计课件案例试卷

路边苦李

王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?这与事实矛盾.说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？所以，李子是苦的甲：在五一长假里，我和爸爸，妈妈去新加坡玩了整整6天，真是太高兴了.乙：这不可能，5月4号上午还看见你和丙在“长廊”逛街呢！丙：是啊,5月4号我确实和甲在“长廊”逛街！假设甲去新加坡玩了6天，乙：甲没有去新加坡玩了6天.那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在新加坡，即5月4号甲在新加坡，这与“5月4号甲在达州市的“长廊””矛盾,所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确,于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.在古希腊时,有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他们醒过来后，彼此相看时都笑了.一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？

他运用了怎样的推理方法？各抒己见假设自己的前额没有被涂黑,那么另一个哲学家也不会有异常行为,自己的前额也被涂黑了.这与另一个哲学家笑个不停矛盾,所以假设“自己的前额没有涂黑”不正确,于是自己的前额也被涂黑了.定义:

在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法（proofbycontradiction）.例1求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角.至少一个不成立该如何假设：没有一个

求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设

，则

.∴

，即

.这与

矛盾．假设不成立．∴

．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∠A+∠B+∠C>180°三角形的内角和为180度△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.点拨：至少的反面是没有！练习1∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°A证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A.那么过点A就有两条直线a，b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立.

∴a//b.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理，公理矛盾

已知：如图有a，b，c三条直线，且a//c,b//c.

求证：a//babc例2证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A’.因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与与已知两条直线矛盾,假设不成立.

所以两条直线相交只有一个交点.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理，公理矛盾练习2求证：两条直线相交只有一个交点.已知：如图两条相交直线a，b.求证：a与b只有一个交点.abA●A，●例3用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论.已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠B，∠C为锐角.证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：(1)两个底角都是直角；(2)两个底角都是钝角；（1)由∠A=∠B=90°则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°，这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.(2)由90°＜∠B＜180°，90°＜∠C＜180°，则∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立．故原命题正确

∴等腰三角形的底角必定是锐角.说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.假设结论的反面正确推理论证得出结论回顾与归纳反证法反设归谬结论

得出矛盾（已知，公理，定理等）

假设不成立，原命题成立.反证法的一般步骤:假设命题结论不成立假设不成立假设命题结论反面成立与已知条件矛盾假设推理得出的结论与定理，定义，公理矛盾所证命题成立什么时候运用反证法呢？动动脑证明真命题的方法

直接证法

间接证法

反证法写出下列各结论的反面：（1）a//b；

（2）a≥0；（3）b是正数；（4）a⊥ba<0b是0或负数a不垂直于ba∥b巩固新知1.试说出下列命题的反面：（1）a是实数. （2)a大于2.（3）a小于2.

（4）至少有2个（5）最多有一个（6）两条直线平行.2.用反证法证明“若a2≠

b2,则a

≠

b”的第一步是.3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步

.

a不是实数

a小于或等于２

a大于或等于２没有两个一个也没有两直线相交假设a=b假设这个三角形是等腰三角形1.已知：如图△ABC中，D，E两点分别在AB和AC上求证：CD，BE不能互相平分

（平行四边形对边平行）证明：假设CD，BE互相平分连结DE，故四边形BCED是平行四边形∴BD∥CE这与BD，CE交于点A矛盾假设错误，∴CD，BE不能互相平分拓展应用拓展应用2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC.求证：PB≠PCABCP证明：假设PB=PC.在△ABP与△ACP中

AB=AC(已知）

AP=AP（公共边）

PB=PC（已知）

∴△ABP≌△ACP（S.S.S)∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等）这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立.∴PB≠PC全课总结1.知识小结：反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论2.难点提示:

利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面.至少的反面是没有，最多的反面是不止.大家议一议！

通过本节内容的学习，你们觉得哪些题型宜用反证法？（经验之谈）

（1）以否定性判断作为结论的命题；（2）以“至多”，“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；（3）关于“唯一性”结论的命题；（4）一些不等量命题