平面向量与三角形的四心讲义高三数学一轮复习

平面向量与三角形的四心三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助.如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识.三角形的内心（1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）.（2）向量表示：若为△的内心.（注：本文中的边，，分别表示，，.角，，分别表示，，.）证明：（图1）点在角的角平分线上，同理点也在角、的角平分线上.为△的内心.（3）常用性质性质1：所在的直线与的角平分线重合（经过内心）.证明：如图所示，表示上的单位向量，不妨记作，表示上的单位向量，不妨记作.设，由平行四边形法则知，四边形为菱形，故直线为的角平分线.所在的直线与的角平分线重合（经过内心）.性质2：（△内切圆的半径）.证明：由等面积法易证.性质3：为△的内心.证明：由面积公式易证.（4）典例剖析例11：在△中，为平面内一个定点，动点满足,.则动点的轨迹经过△的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由性质1知，答案为A.例12：已知是△所在平面上的一点，若（其中是△所在平面内任意一点），则是△的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由题意知，即，化简得.根据内心的向量表示知，是△的内心，答案为A.例13：已知是△内的一点，且满足，则所在的直线一定经过三角形的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：表示上的单位向量，不妨记作，表示上的单位向量，不妨记作.故，即,即.直线与的角平分线重合，故所在的直线一定经过三角形的内心，答案A.二、三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）.（2）向量表示：若为△的外心.（3）常用性质：奔驰定理*：已知为△内的一点（不一定为外心），则.（该定理反之也成立）证明：不妨延长到（如下图），则（图2），即.且根据，,三点共线知，，故，即.（反之易证）性质1*：为△的外心.证明：如图2所示，为△的外心，，（为△外接圆半径）.性质2*：为△的外心.证明：结合性质1与奔驰定理易证.（4）典例剖析例21：在△中，为平面内一个定点，动点满足，.则动点的轨迹一定经过△的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：设线段的中点为，故，即,而，即即，故点在线段的垂直平分线上.动点的轨迹一定经过△的外心，答案B.例22：在△中，动点满足，则点一定经过△的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由题知，设为的中点，则,故,即，在的垂直平分线上，故点一定经过△的外心，答案B.例23：已知为△所在平面内的一点，满足，，则为△的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由知,即，即,同理可得：，为△的外心，答案B.三、三角形的垂心（1）定义：三角形三条高的交点（如图3）.（2）向量表示：若为△的垂心.证明：.同理,为△的垂心.（3）常用性质性质1*：为锐角△的垂心.（图3）证明：,且在直角△和直角△中有，.故.同理，.，反之易证.性质2*：当为锐角△的垂心.证明：利用性质1和“奔驰定理”易证.（4）典例剖析例31：在△中，为平面内一个定点，动点满足，，则动点的轨迹一定经过△的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由题知,得，即.在边上的高上，过垂心，答案C.例32：已知为△所在平面内的一点，且满足,则是△的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由题知，即，即,即，故，同理，是△的垂心，答案C.例33：设是△的外心，点满足,则是△的（）A.内心B.任意一点C.垂心D.重心解析：由题知，由于是△的外心，故（为线段的中点）且，即，，同理，，故是△的垂心，答案C.三角形的重心（1）定义：三角形三条中线的交点（如图4）.（2）向量表示：若为△的重心.（3）常用性质（图4）性质1：若为△的重心性质2：若为△的重心，，性质3：已知，,.若为△的重心.（4）典例剖析例41：在△中，为平面内一个定点，动点满足，，则动点的轨迹一定经过△的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由题知，其中（表示 边上的高），故（为线段的中点）.在边上的中线上，故动点的轨迹一定经过△的重心，答案D.例42：在△中，为平面内一个定点，动点满足，，则动点的轨迹一定经过△的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：设的中点为，故，由于，即点，，三点共线.在边上的中线上，故动点的轨迹一定经过△的重心，答案D.例43：已知在△内，且满足，现在到△内随机取一点，次点取自△，△，△的概率分别记为、、,则（）A.B.C.D.解析：法一：如图，延长，，使得,，,故，即是△的重心，即△、△、△的面积相等，不妨令它们的面积都为1.，，,故，答案C.法二：由“奔驰定理”知，，，（为比例系数），故，答案C.法三：根据三角形内心的向量表示，不妨设是以2k，3k，4k（k为比例系数）为边长的三角形的内心，所以,即，答案C.等腰（边）三角形的四心（1）等腰三角形等腰三角形只有顶角的角平分线与中线、高三线重合，其余的线不重合.另外，等腰三角形的四心不重合.（2）等边三角形性质1：若△为等边三角形△四心合一.性质2：若△为等边三角形△三线合一.六、欧拉线*瑞士数学家欧拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：（如图5）任意△（非等边三角形）的垂心、重心、外心三点共线，即欧拉线.（图5）特别