专题26.2反比例函数的图象与性质（重难点培优）-2022-2023学年九年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年九年级数学下册尖子生培优题典【人教版】专题26.2反比例函数的图象与性质（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共22题，选择10道、填空6道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•城关区月考）已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．其图象经过点（﹣1，﹣3） B．其图象分别位于第一、第三象限 C．当x＞1时，0＜y＜3 D．当x＜0时，y随x的增大而增大【分析】根据反比例函数的性质直接解答即可．【解析】将（﹣1，﹣3）代入解析式，得﹣3＝﹣3，故A正确，不符合题意；由于k＝3＞0，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、D错误，符合题意；∵x＝1时，y＝3，且当x＞0时y随x的增大而减小∴当x＞1时，0＜y＜3，故C正确，不符合题意，故选：D．2．（2022秋•临淄区校级月考）若反比例函数y＝（2k﹣1）的图象位于第一、三象限，则k的值是（）A．1 B．0或1 C．0或2 D．4【分析】直接利用反比例函数图象分布到第一、三象限，则2k﹣1＞0且k2﹣2＝﹣1，进而得出答案．【解析】反比例函数y＝（2k﹣1）的图象位于第一、三象限，则2k﹣1＞0且k2﹣2＝﹣1，解得：k＝1．故选：A．3．（2022秋•和平区校级期中）若A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）三点都在函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＜y3＜y2【分析】此题可直接把各点的横坐标代入求得纵坐标再比较大小即可．【解析】∵A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）三点都在函数y＝﹣的图象上，∴y1＝，y2＝，y3＝﹣1．∴y3＜y1＜y2．故选：C．4．（2022秋•瑞安市校级期中）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y＝上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（）A．若x1x3＞0，则y2y3＜0 B．若x1x2＞0，则y2y3＞0 C．若x1x3＜0，则y2y3＞0 D．若x1x2＜0，则y1y3＜0【分析】根据x1＜x2＜x3，可判断各选项内x1，x2，x3的取值范围，进而求解．【解析】∵y＝，∴双曲线图象在第二，四象限，当x1x3＞0时，不能判断x2符号，∴选项A不正确．当x1x2＞0时，不能判断x3符号，∴选项B不正确．当x1x3＜0时，不能判断x2符号，∴选项C不正确，当x1x2＜0时，则x1＜0＜x2＜x3，∴（x1，y1）在第二象限，（x3，y3）在第四象限，∴y1y3＜0，故选：D．5．（2022秋•利津县校级月考）当k＜0时，反比例函数y＝和一次函数y＝k（x﹣1）的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】由k＜0、﹣k＞0即可得出一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，对照四个选项即可得出结论．【解析】∵反比例函数y＝中k＜0，∴该双曲线位于第二、四象限．∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限．故选：B．6．（2022秋•和平区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴直线y＝﹣ax+b经过第一，二，四象限，反比例函数y＝图象分布在第二、四象限，故选：A．7．（2022秋•宣州区校级月考）反比例函数y＝与一次函数y＝﹣kx﹣1（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．【解析】（1）当k＞0时，一次函数y＝﹣kx﹣1经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：，（2）当k＜0时，一次函数y＝﹣kx﹣1经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：．故选：D．8．（2022秋•禹会区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（b，c是常数）的图象如图所示，则一次函数y＝cx+b与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置确定c＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第一、三、四象限，根据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断．【解析】∵抛物线开口方向向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴ab＜0，∴b＜0．∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴一次函数y＝cx+b的图象经过第一、三，四象限；反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限．故选：B．9．（2022•蔡甸区模拟）判断方程的实数根的情况是（）A．无实数根 B．只有一个实数根 C．只有两个不相等实数根 D．有三个不相等实数根【分析】设y1＝﹣3，y2＝x，作出两函数图象，根据函数图象交点个数求解．【解析】设y1＝﹣3，y2＝x，如图如下：∵两函数图象有3个交点，∴方程的实数根有3个．解法二：由得﹣3x＝x2，整理得＝x2+3x，作出y＝及y＝x2+3x的图象，如图，故选：D．10．（2022春•社旗县期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为（2，6）．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为（）A．a＝2.5 B．a＝3 C．a＝2 D．a＝3.5【分析】如图，根据矩形的性质以及平移的性质，得到平移后A与C在反比例函数图象上，从而根据反比例函数图象上的点的坐标特征解决此题．【解析】如图．由题意知，矩形平移到图示的位置时，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象．∵AB＝2，AD＝4，平移前点A的坐标为（2，6），∴平移后A坐标为（2，6﹣a），平移后点C的坐标为C（6，4﹣a）．∴2（6﹣a）＝6（4﹣a）．∴a＝3．故选：B．二．填空题（共6小题）11．（2022•金华模拟）设函数y1＝，y2＝（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a﹣4，则a＝2．【分析】直接利用反比例函数的性质分别得出k与a的关系，进而得出答案．【解析】∵函数y1＝（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，∴x＝1时，y＝k＝a，∵y2＝（k＞0），当1≤x≤3时，函数y2的最小值为y＝a﹣4，∴当x＝1时，y＝﹣k＝a﹣4，∴k＝4﹣a，故a＝4﹣a，解得：a＝2．故答案为：2．12．（2022•邯山区模拟）如图，已知平面直角坐标系xOy中的四个点：A（0，2）．B（1，0），C（3，1），D（2，3）．（1）若点C和点D在双曲线y＝（k＞0，x＞0）的两侧，则k的整数值为4，5；（2）在经过这四个点中的三个点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，a的最大值是．【分析】（1）分别将C（3，1），D（2，3）代入y＝中，可得对应k的值，从而可解答；（2）比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可判断．【解析】（1）当双曲线y＝经过点C（3，1）时，k＝3×1＝3，当双曲线y＝经过点D（2，3）时，k＝3×2＝6，∵点C和点D在双曲线y＝（k＞0，x＞0）的两侧，∴k的整数值为4，5；（2）解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0；A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可，设二次函数为y＝ax2+bx+c，当抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点时，则，解得a＝；当抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、D三点时，则，解得a＝；故a的值最大时二次函数经过A、B、D三点，且a＝．故答案为：．13．（2022•青羊区校级模拟）使关于x的分式方程＝2的解为非负数，且使反比例函数y＝图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k的和为1．【分析】根据题意可以求得k的满足条件的所有整数值，从而可以解答本题．【解析】∵关于x的分式方程＝2的解为非负数，∴x＝≥0（k≠0），且x﹣1≠0，解得：k≥﹣1且k≠1，∵反比例函数y＝的图象过第一、三象限，∴3﹣k＞0，解得：k＜3，∴﹣1≤k＜3且k≠1，∴k＝﹣1，0，2，∴﹣1+0+2＝1．故答案为1．14．（2007春•西湖区期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝交于点A（﹣1，m）、B（3，n），要使一次函数值大于反比例函数值，则x的范围是x＜﹣1或0＜x＜3．【分析】要使一次函数值大于反比例函数值，即一次函数图象在反比例函数上方，从而求出x的取值范围．【解析】已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝交于点A（﹣1，m）、B（3，n），根据其图象可知x的范围是x＜﹣1或0＜x＜3．15．（2017秋•江干区期末）如果把函数y＝x2（x≤2）的图象和函数y＝的图象组成一个图象，并称作图象E，那么直线y＝3与图象E的交点有2个；若直线y＝m（m为常数）与图象E有三个不同的交点，则常数m的取值范围是0＜m＜2．【分析】在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2（x≤2）和函数y＝的图象，根据函数图象即可得到直线y＝3与图象E的交点个数以及常数m的取值范围．【解析】在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2（x≤2）和函数y＝的图象，由图可得，直线y＝3与图象E的交点有2个，∵直线y＝m（m为常数）与图象E有三个不同的交点，∴直线y＝m在直线y＝2的下方，且在x轴的上方，∴常数m的取值范围是0＜m＜2，故答案为：2，0＜m＜2．16．（2012春•浠水县校级月考）已知直线y＝kx（k＞0）与双曲线相交于点A（x1，y1）（第一象限）、B（x2，y2）（第三象限），则5x1y2﹣x2y1的值是﹣44．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．【解析】由题意知，直线y＝kx（k＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线y＝交于两点，则这两点关于原点对称，∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，又∵点A点B在双曲线y＝上，∴x1×y1＝9，x2×y2＝9，∵由反比例函数的性质可知，A、B两点关于原点对称，∴x1×y2＝﹣9，x2×y1＝﹣9，∴5x1y2﹣x2y1＝5×（﹣9）﹣×（﹣9）＝﹣44．故答案为：﹣44．三．解答题（共6小题）17．把下列函数的解析式与其图象对应起来：（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝﹣；（4）y＝﹣【分析】根据反比例函数的选择即可得到结论．【解析】（1）对应图象B；（2）对应图象A；（3）对应图象C；（4）对应图象D．18．（2021春•高港区期末）请根据学习函数的经验，将下列探究函数y＝图象与性质的过程补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是x≠1；（2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出其中m、n的值；m＝﹣，n＝；x…﹣2﹣10n234…y…﹣m﹣1﹣221…（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（5）根据图象直接写出＞﹣1时x的取值范围：x＜0或x＞1．【分析】（1）依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量x的取值范围；（2）把x＝﹣1，y＝2分别代入函数解析式，即可得到m、n的值；（3）依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；（4）依据函数图象，即可得到函数的增减性；（5）观察图象即可求得．【解析】（1）∵x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为x≠1；（2）当x＝﹣1时，y＝＝＝﹣；当y＝2时，则2＝，解得x＝，∴m＝﹣，n＝；（3）如图所示：（4）由图象可得，当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一），故答案为当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（5）由图象可知，＞﹣1时x的取值范围为x＜0或x＞1．故答案为：x＜0或x＞1．19．（2021•碑林区校级模拟）小明在学习过程中遇到了一个函数y＝+1，小明根据学习反比例函数y＝的经验，对函数y＝+1的图象和性质进行了探究．（1）画函数图象：[问题1]函数y＝+1的自变量x的取值范围是x≠2；①列表：如表．x…﹣6﹣21034610…y…0﹣3﹣1﹣79532…②描点：点已描出，如图所示．③连线：[问题2]请你根据描出的点，画出该函数的图象．（2）探究性质：根据反比例函数y＝的图象和性质，结合画出的函数y＝+1图象，回答下列问题：[问题3]①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是（2，1）；[问题4]②该函数图象可以看成是由y＝的图象平移得到的，其平移方式为向右平移2个单位，再向上平移1个单位；[问题5]③结合函数图象，请直接写出+1≥﹣1时x的取值范围x≤0或x＞2．【分析】（1）分母不为零；画图象；（2）根据反比例函数y＝的图象和性质，结合画出的函数y＝+1图象即可得出结论．【解析】（1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是：x≠2，故答案为：x≠2；如图所示，（2）根据反比例函数y＝的图象和性质，结合画出的函数y＝+1图象可知：①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是（2，1）；②该函数图象可以看成是由y＝的图象平移得到的，其平移方式为：向右平移2个单位，再向上平移1个单位；③结合函数图象，+1≥﹣1时x的取值范围是x≤0或x＞2．故答案为（2，1）；向右平移2个单位，再向上平移1个单位；x≤0或x＞2．20．（2020秋•通州区期中）小明在学习完正比例函数y1＝x和反比例函数y2＝之后，想自己试着研究函数y＝y1+y2的图象和性质，即y＝+x的图象和性质．请你结合学习函数的经验，帮助小明补充完整学习探索过程．（1）函数y＝+x自变量x的取值范围是x≠0．（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣123…y…﹣a﹣2﹣﹣2…其中a的值是﹣．（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点画出该函数的图象．（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）：该函数没有最小值没有最大值；该函数图象关于原点对称．【分析】（1）分式的分母不等于零；（2）把x＝﹣2代入y＝+x即可求解；（3）根据题意描点、连线即可；再观察图象即可得出该函数的其他性质．【解析】（1）自变量x的取值范围：x≠0，故答案为x≠0；（2）把x＝﹣2代入y＝+x得，y＝﹣﹣2＝﹣，∴a＝﹣，故答案为﹣；（3）描点、连线画出函数图象如图所示：（4）观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数没有最小值没有最大值；②该函数图象关于原点对称．故答案为：该函数没有最小值没有最大值；该函数图象关于原点对称（答案不唯一）．21．（2020•渝中区校级开学）启航同学根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完成：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是x≠1．（2）列表，找出y与x的几组对应值，列表如下：x…﹣2﹣1023…y…a1221…其中，a＝．（3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象并写出该函数的一条性质：当x＞1时，y随x的增大而减