专题6.3期末考前必刷解答题（压轴真题60道八上人教）-2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍

20232024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题6.3期末考前必刷解答题（压轴真题60道，八上人教）一．解答题（共60小题）1．如图，在△ABC中，分别延长△ABC的边AB，AC到点D，E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：a．若∠A＝40°，则∠P=70b．若∠A＝90°，则∠P=45c．若∠A＝110°，则∠P=35…（1）根据上述规律，若∠A＝160°，则∠P＝10°．（2）∠P＝90°-12∠A（3）请证明（2）中的结论．【分析】（1）由题中规律即可得到答案；（2）由题中规律即可得到答案；（3）根据上述规律，由三角形内角和定理、邻补角及角平分线的性质即可证明．【详解】解：（1）∵a．若∠A＝40°，则∠P=70b．若∠A＝90°，则∠P=45c．若∠A＝110°，则∠P=35……，∴若∠A＝160°，则∠P=10故答案为：10°；（2）由（1）中规律可知，∠P=90故答案为：90°-（3）如图所示：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠ABC＝180°﹣∠DBC，∠ACB＝180°﹣∠BCE，∴360°﹣（∠DBC+∠BCE）＝180°﹣∠A，即∠DBC+∠BCE＝180°+∠A，∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，∴∠PBC=在△PBC中，∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）=1【点睛】本题考查找规律，涉及三角形内角和定理、邻补角、角平分线性质等知识，读懂题意，找到规律，并灵活运用三角形内角和定理求解是解决问题的关键．2．在△ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．（1）如图，当点F在线段BE上时；①求证：∠EDF+∠BGF＝∠DFG；②求证：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）当点F在线段AE上时，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系．【分析】（1）①结论：∠EDF+∠BGF＝90°．如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．②过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．（2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可．【详解】解：（1）①结论：∠EDF+∠BGF＝∠DFG．理由：如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．∵DE∥BC，∴DE∥FH，∴∠EDF＝∠1，∵FH∥BC，∴∠BGF＝∠2．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∴∠EDF+∠BGF＝90°＝∠DFG．②证明：过点F作FH∥BC交AC于点H．如图2，∴∠ABC＝∠AFH，∴∠ABC＝∠1+∠3，∴∠3＝∠ABC﹣∠1，∵∠EDF＝∠1，∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF，∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°，∴∠BFG+∠3＝90°，∴∠3＝90°﹣∠BFG，∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF，∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）解：结论：∠BGF﹣∠EDF＝90°．理由：设DE交FG于J．如图3，∵DE∥BC，∴∠BGF＝∠FJE，∵∠FJE＝∠DFJ+∠EDF，∠DEJ＝90°，∴∠BGF﹣∠EDF＝90°．当点G在CB的延长线上时，同法可证∠EDF+∠BGF＝90°，如图4，【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．3．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）求证：∠BAC＝∠B+2∠E；（2）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论；（2）根据角平分线的定义及已知条件可求解∠ACE，∠ECD，∠BCE的度数，可得结论，【详解】（1）证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACE．∵∠BAC＝∠E+∠ACE，∴∠BAC＝∠E+∠ECD，∵∠ECD＝∠B+∠E，′∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，∴∠BAC＝2∠E+∠B．（2）解：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠ACB＝40°，∴∠ACE＝∠ECD=12（180°﹣40°）＝∴∠BCE＝∠ACB+∠ECA＝110°，∴∠E＝180°﹣30°﹣110°＝40°．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，直角三角形的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（问题背景）∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（问题思考）（1）如图①，AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A，点B的运动，∠AEB＝135°；；（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO＝80°则∠D＝45°；②随着点A、B的运动∠D的大小会变吗？如果改变求∠D的度数；如果不变，请说明理由；（问题拓展）（3）在图②的基础上，射线OA的反向延长线上有一点P，如果∠PON＝α，其余条件不变，围随着点A、B的运动（如图③），则：∠MON＝180°﹣α．用含α的代数式表示）∠D＝12α．．（用含【分析】（1）根据角平分线的定义及三角形内角和定理，将∠BAE+∠ABE求出，即可求解．（2）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理，求出∠OBD+∠ABO+∠OAB，即可求解；②设∠BAD＝x，根据角平分线的定义及三角形内角和定理，求出∠ABC＝45°+x，即可求解．（3）设∠BAD＝x，根据角平分线的定义及三角形内角和定理，求出∠ABC=【详解】解：（1）∵∠MON＝90°∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∴∠BAE+∴∠AEB＝135°；故答案为：135°．（2）解：①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝80°，∴∠ABN＝170°，∠ABO＝10°，∵BC是∠ABN的平分线，∴∠CBN=∴∠OBD＝∠CBN＝85°，∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝40°，∴∠D＝180°﹣（∠OBD+∠ABO+∠OAB）＝180°﹣（85°+10°+40°）＝45°．故答案为：45°．②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD＝x，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2x，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90°+2x，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+x，∴∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+x﹣x＝45°．故∠D的度数不随A、B的移动而发生变化．（3）设∠BAD＝x，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2x，∵∠AOB＝α，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝α+2x，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=∴∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD=1=1∴∠MON＝180°﹣∠PON＝180°﹣α．故答案为：180°﹣α，12【点睛】本题考查了根据角平分线的定义及三角形内角和定理应用，掌握角平分线的定义及三角形内角和定理，并会灵活运用是解题的关键．5．综合与实践如图1，线段AD与BC相交于点O，连接AC，BD，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系．（1）请通过观察、测量，猜想图1中∠A+∠C与∠B+∠D之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作∠CAD与∠CBD的平分线交于点P，若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；（3）智慧小组在图1的基础上，分别作射线AP，BP，使得∠CAP=1n∠CAD，∠CBP=1n∠CBD，两条射线交于点【分析】（1）利用三角形内角和定理，对顶角相等证明即可；（2）设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，根据方程组解决问题即可；（3）结论：n∠P＝（n﹣1）∠C+∠D．设∠CAP＝α，∠CBP＝β，则∠PAD＝（n﹣1）α，∠PBD＝（n﹣1）β，构建方程组求解．【详解】解：（1）理由：∵∠A+∠C+∠AOC＝180°，∠B+∠D+∠BOD＝180°，∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D．（2）设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，根据∠CAD和∠CBD的角平分线相交于点P可知：∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y，∵三角形的内角和等于180°，∠C＝35°，∠D＝29°，∴∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD，即35°+2x＝29°+2y①．∵∠AEB是△APE与△DBE的外角，∴∠P+∠EAP＝∠D+∠DBP，即∠P+x＝29°+y②．同理，∵∠AFB是△ACF与△BFP的外角，∴∠C+∠CAP＝∠P+∠CBP，即35°+x＝∠P+y③，①﹣②得，y＝x+35°﹣∠P④，①﹣③得，x＝y+29°﹣∠P⑤，④代入⑤得，x＝x+35°﹣∠P+29°﹣∠P，2∠P＝35°+29°，解得∠P＝32°；（3）结论：n∠P＝（n﹣1）∠C+∠D．理由：设∠CAP＝α，∠CBP＝β，则∠PAD＝（n﹣1）α，∠PBD＝（n﹣1）β，∴α+∠由①可得α﹣β＝∠P﹣∠C，由②可得（n﹣1）（α﹣β）＝∠D﹣∠P，∴（n﹣1）（∠P﹣∠C）＝∠D﹣∠P，∴n∠P＝（n﹣1）∠C+∠D，【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是学会利用参数解决问题．6．模型认识：我们学过三角形的内角和等于180°，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．如图①．在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．解决问题：（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BPC＝120°；（直接写出答案）（2）若∠BAC＝100°，求出∠BPC的度数：拓展延伸：如图②，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，直接写出∠BPC与∠A+∠D的数量关系．【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；（3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系．【详解】解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，∴∠PBC=12∠ABC=12×40°＝20°，∠PCB=12∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣20°﹣40°＝120°；故答案为：120°；（2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°-12（180°﹣∠BAC）＝90°+1∵∠BAC＝100°，∴∠BPC＝90°+12∠BAC＝90°+12（3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°-12（360°﹣∠A﹣∠D）=12（∠A【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．7．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝110°．（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．【分析】（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案；（2）根据角平分线的性质可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形内角和定理可得到∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，进而得到∠1+∠3＝60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形得出∠1+∠3＝∠ADE+∠BED＝60°，由题意知∠ADE比∠BED大6°，联立方程组即可解得答案．【详解】解：（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，在△AOB中，∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝180°﹣70°＝110°，∴∠C+∠D＝110°，故答案为：110；（2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝120°，∴2∠1+2∠3＝120°，∴∠1+∠3＝60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形，∴∠1+∠3＝∠ADE+∠BED＝60°①，又∵∠ADE比∠BED大6°，∴∠ADE﹣∠BED＝6°②，联立①②得∠ADE+解得∠ADE=33∴∠BED＝27°．答：∠BED的度数为27°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键．8．将一把直角尺放置在钝角△ABC（∠BAC＞90°）上，使得点B、C分别在该直角尺的两条直角边DE、DF上，且直角顶点D与点A在BC边的同侧．（1）如图，点A在直角尺内部．①若∠A＝120°，∠ABD＝10°，求∠ACD的度数；②若∠A＝α，∠ABD＝β，求∠ACD的度数（用含α、β的式子表示）．（2）改变直角尺的位置，使点A在直角尺外部，其它条件不变，探索∠ABD、∠ACD、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）①根据∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，利用三角内角和定理求得即可；②根据∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，得∠ACD＝90°﹣（∠ABD+∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（β+180°﹣α）＝α﹣β﹣90°．（2）分两种情况解答即可．【详解】解：（1）①∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°．∴∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝90°﹣（∠ABD+∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（10°+60°）＝20°．②∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α．∵∠D＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝90°﹣（∠ABD+∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（β+180°﹣α）＝α﹣β﹣90°．（2）①如图，当点D在AB的左侧时，设AB与CD交于点M．∵∠D+∠ABD+∠DMB＝∠A+∠ACD+∠AMC＝180°，又∠DMB＝∠AMC，∴∠D+∠ABD＝∠A+∠ACD，∴∠A+∠ACD﹣∠ABD＝90°．②如图，当点D在AB的右侧时，∵∠D+∠ABD+∠DMB＝∠A+∠ACD+∠AMC＝180°，又∠DMB＝∠AMC，∴∠D+∠ABD＝∠A+∠ACD，∴∠A+∠ABD﹣∠ACD＝90°．综上所述，当点D在AB的左侧时，∠A+∠ACD﹣∠ABD＝90°；当点D在AB的右侧时，∠A+∠ABD﹣∠ACD＝90°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理．9．已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．（1）试说明∠ACB＝90°；（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据高定义求出∠CDA＝90°，根据三角形内角和定理求出∠A+∠ACD＝90°，再求出答案即可；（2）根据角平分线的定义得出∠CAE＝∠BAE，根据三角形内角和定理求出∠CEF＝∠DFA，根据对顶角相等求出即可．【详解】（1）解：∵CD是AB边上的高，∴∠CDA＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠A＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠A＝90°；（2）解：∠CFE＝∠CEF，理由是：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠CDA＝∠BCA＝90°，∠DFA＝180°﹣（∠CDA+∠BAE），∠CEA＝180°﹣（∠BCA+∠CAE），∴∠CEF＝∠DFA，∵∠DFA＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF．【点睛】本题考查了角平分线的定义，高的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．10．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°-12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝【详解】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠=12（360°﹣∠ABC﹣∠=12（180°+∠＝90°+12∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°-1（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+=12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°-12∠A＝∠A，解得∠A＝④∠E＝2∠Q，则12∠A＝2（90°-12∠A），解得∠A综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．11．综合与实践：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，运动的时间t秒．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，t＝1时，△BPD与△CQP是否全等是（填“是”或“否”）；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当△BPD与△CQP全等时，请直接写出点Q的运动速度为4厘米/秒．（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？此时相遇点距离B点的路程是多少？【分析】（1）①先求得BP＝CQ＝3厘米，PC＝BD＝6厘米，然后根据等边对等角求得∠B＝∠C，最后根据SAS即可证明；②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B＝∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝4.5厘米，根据全等得出CQ＝BD＝6厘米，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【详解】解：（1）①∵t＝1，∴BP＝CQ＝3厘米，∵AB＝12厘米，D为AB中点，∴BD＝6厘米，又∵PC＝BC﹣BP＝9﹣3＝6（厘米），∴PC＝BD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD与△CQP中，BP=CQ∠B=∠C∴△BPD≌△CQP（SAS）；故答案为：是；②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，又∵∠B＝∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP＝CP＝4.5厘米，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ＝BD＝6厘米．∴点P的运动时间t=BP3此时VQ=CQt=6∴当△BPD与△CQP全等时，点Q的运动速度为4厘米/秒．故答案为：4厘米/秒；（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x＝3x+2×12，解得x＝24（秒），此时P运动了24×3＝72（厘米），又∵△ABC的周长为33厘米，∴72﹣33×2＝6（厘米），∴经过24秒，点P与点Q第一次在△ABC的BC边上相遇；此时相遇点距离B点的路程是6厘米．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和一元一次方程的应用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．12．（1）如图（1），△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE．则∠AEB的度数为90度，线段AD与BE的数量关系为AD＝BE（用几何语言填写）．（2）如图（2），△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．若∠CAD＝30°，求AB与BE的位置关系．【分析】（1）根据手拉手模型﹣旋转型全等可得△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质可得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，再根据已知易得：∠CAD+∠DAB+∠ABC＝90°，从而可得∠CBE+∠DAB+∠ABC＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠AEB＝90°，即可解答；（2）根据手拉手模型﹣旋转型全等可得△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBE＝30°，从而可得∠ABE＝90°，即可解答．【详解】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠DAB+∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠DAB+∠ABC＝90°，∴∠AEB＝180°﹣（∠CBE+∠DAB+∠ABC）＝90°，故答案为：90；AD＝BE；（2）AB⊥BE，理由：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD＝∠CBE＝30°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴AB⊥BE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转型全等是解题的关键．13．如图，已知，AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上，且AE＝AD，∠B＝∠C，连接EC，BD、EC交BD于点M、连接AM．（1）求证：△EBM≌△DCM；（2）嘉琪说：“若S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点”，请你运用所学知识判断嘉琪的说法是否正确，若正确，给出证明；若不正确，说出理由．【分析】（1）根据线段和差问题得出BE＝CD，再利用AAS即可证明△EBM≌△DCM；（2）由△EBM≌△DCM，得出ME＝MD，再根据SSS证明△AEM≌△ADM，则有S△BEM＝S△AEM，根据三角形面积公式可得AE＝BE，即可求解．【详解】（1）证明：∵AB＝AE+BE，AC＝AD+CD，又∵AB＝AC，AE＝AD，∴BE＝CD，在△EBM和△DCM中，∠B=∴△EBM≌△DCM（AAS）（2）解：嘉琪的说法正确，理由如下：∵△EBM≌△DCM，∴ME＝MD，在△AEM和△ADM中，ME=MDAE=AD∴△AEM≌△ADM（SSS），S△AEM＝S△ADM；∵S△BEM＝S△ADM，∴S△BEM＝S△AEM，过点M作MF⊥AB于点F，则S△BEM∴AE＝BE，即E是AB的中点．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，线段和差问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质．14．如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．（1）试猜想筝形的对角线AC与BD有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；（2）过点D作DE∥AB交BC于点E，若BC＝10，CE＝4，求DE的长．【分析】（1）由AD＝CD，AB＝CB，BD＝BD，根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABD≌△CBD，得∠ABD＝∠CBD，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明BD⊥AC；（2）由DE∥AB，得∠EDB＝∠ABD，而∠ABD＝∠CBD，所以∠EDB＝∠CBD，则DE＝BE＝BC﹣CE＝10﹣4＝6．【详解】解：（1）BD⊥AC，证明：在△ABD和△CBD中，AD=CDAB=CB∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，∵AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，∴BD⊥AC．（2）∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE＝BE，∵BC＝10，CE＝4，∴BE＝BC﹣CE＝10﹣4＝6，∴DE＝6，∴DE的长为6．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABD≌△CBD是解题的关键．15．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．【分析】（1）证明△ACD≌△BCE，推出∠ADC＝∠BEC，由点A、D、E在同一直线上，且∠CDE＝50°，推出∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，推出∠BEC＝130°，根据∠AEB＝∠BEC﹣∠CED计算即可．（2）由（1）可知AD＝BE，只要证明DE＝2CF即可解决问题．【详解】（1）证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE．∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE．（2）解：AE＝BE+2CF．理由如下：∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵CF⊥DE，∴∠CFD＝90°∴△CDF和△CEF都是等腰直角三角形．∴DF＝EF＝CF．由（1）可知AD＝BE，∴AE＝AD+DE＝BE+2CF．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．16．（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为AC＝BH，位置关系为AC∥BH．（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交AD于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．【分析】（1）证△ACD≌△HBD（SAS），得AC＝BH，∠C＝∠HBD，再由平行线的判定得AC∥BH即可；（2）延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，证△ACD≌△GBD（SAS），得AC＝BG，∠CAD＝∠BGD，再证BG＝BF，得∠BGD＝∠BFG＝∠AFE，然后证∠AFE＝∠EAF，即可得出结论．【详解】（1）解：∵D为BC边的中点，∴BD＝CD，在△ACD和△HBD中，CD=BD∠ADC=∠HDB∴△ACD≌△HBD（SAS），∴AC＝BH，∠C＝∠HBD，∴AC∥BH，故答案为：AC＝BH，AC∥BH；（2）证明：如图2，延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，∵D为BC边的中点，∴BD＝CD，在△ACD和△GBD中，AC=BD∠ADC=∠GDB∴△ACD≌△GBD（SAS），∴AC＝BG，∠CAD＝∠BGD，∵BF＝AC，∴BG＝BF，∴∠BGD＝∠BFG＝∠AFE，∴∠AFE＝∠CAD，即∠AFE＝∠EAF，∴AE＝EF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．17．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．【分析】（1）由CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；（2）根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD＝∠CBE，再根据∠AFC＝∠BFH，即可得到∠AMB＝∠ACB＝α；（3）先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ，最后根据∠ACB＝90°即可得到∠PCQ＝90°，进而得到△PCQ为等腰直角三角形．【详解】解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；（3）△CPQ为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，∵AD，BE的中点分别为点P、Q，∴AP＝BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP＝∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，CA=CB∠CAP=∠CBQ∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，又∵∠ACP+∠PCB＝90°，∴∠BCQ+∠PCB＝90°，∴∠PCQ＝90°，∴△CPQ为等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．18．如图所示，BD、CE是△ABC高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．（1）判断：∠1＝∠2（用“＞”、“＜”、“＝”填空）；（2）探究：PA与AQ之间的关系；（3）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，试探究PA与AQ之间的关系，请画出图形并直接写出结论．【分析】（1）根据垂直的定义和三角形的内角和定理即可得到答案；（2）由条件可得出∠1＝∠2，可证得△APB≌△QAC，可得结论；（3）根据题意画出图形，结合（1）可证得△APB≌△QAC，可得结论．【详解】解：（1）设CE、BD交于F，∵BD、CE是△ABC高，∴∠BEF＝∠CDF＝90°，∵∠BFE＝∠CFD，∴∠1＝180°﹣∠BEF﹣∠BFE＝90°﹣∠BFE，∠2＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD＝90°﹣∠CDF，∴∠1＝∠2；故答案为：＝；（2）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ，证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°，∴∠1＝∠2，在△QAC和△APB中，QC=AB∠1=∠2∴△QAC≌△APB（SAS），∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，而∠DAP+∠P＝90°，∴∠DAP+∠QAC＝90°，即∠QAP＝90°，∴AQ⊥AP；即AP＝AQ，AP⊥AQ；（3）上述结论成立，理由如下：如图所示：∵BD、CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°，∵∠CAE＝∠DAB，∴∠1＝∠2，在△QAC和△APB中，QC=AB∠1=∠2∴△QAC≌△APB（SAS），∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，∵∠PDA＝90°，∴∠P+∠PAD＝90°，∴∠QAC+∠PAD＝90°，∴∠QAP＝90°，∴AQ⊥AP，即AP＝AQ，AP⊥AQ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．19．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．（1）求证：OP平分∠AOB；（2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和．【分析】（1）过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得PC＝PD＝PE，再利用角平分线性质定理的逆定理，即可解答；（2）根据△PMN的面积是16，可求出PD＝4，从而可得PD＝PC＝PE＝4，然后再利用四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝△POM的面积+△PON的面积，进行计算即可解答．【详解】（1）证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E，∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，∴PC＝PD，∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，∴PD＝PE，∴PC＝PE，∴OP平分∠AOB；（2）∵△PMN的面积是16，MN＝8，∴12MN•PD＝16∴12×8•PD＝∴PD＝4，∴PD＝PC＝PE＝4，∵△OMN的面积是24，∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝16+24＝40，∴△POM的面积+△PON的面积＝40，∴12OM•PC+12ON•PE∴12OM•4+12ON•4∴OM+ON＝20，∴线段OM与ON的长度之和为20．【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．20．（1）证明角平分线具有的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证．如图1，已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD＝PE．（2）如图2，在△OAB中，OP平分∠AOB，交AB于点P，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，OA＝OB＝6，若S△OAB＝15，求PD的长．【分析】（1）利用AAS证明△PDO≌△PEO，即可解决问题；（2）根据角平分线的性质可得PD＝PE，所以S△AOP＝S△BOP=152，进而可得【详解】（1）证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°，∵OC平分∠AOB，∴∠DOP＝∠EOP，在△PDO和△PEO中，∠PDO=∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD＝PE；（2）解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD＝PE，∵OA＝OB＝6，∴S△AOP＝S△BOP，∵S△OAB＝15，∴S△AOP＝S△BOP=12×∴12OA•PD=∴6PD＝15，∴PD=5【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答本题的关键得到△PDO≌△PEO．21．在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为AE＝AB+DE；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连接CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连接CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG=12【详解】解：（1）AE＝AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF＝AB，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC，在△ACB和△ACF中，AB=AF∠BAC=∠FAC∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，∵C是BD边的中点，∴BC＝CD，∴CF＝CD，∵∠ACE＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∠ACF+∠ECF＝90°，∴∠ECF＝∠ECD，在△CEF和△CED中，CF=CD∠ECF=∠ECD∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF＝ED，∵AE＝AF+EF，∴AE＝AB+DE，故答案为：AE＝AB+DE；（2）猜想：AE＝AB+DE+12证明：在AE上取点F，使AF＝AB，连接CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连接CG，∵C是BD边的中点，∴CB＝CD=12∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC，在△ACB和△ACF中，AB=AF∠BAC=∠FAC∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF＝CB，∴∠BCA＝∠FCA，同理可证：CD＝CG，∴∠DCE＝∠GCE，∵CB＝CD，∴CG＝CF，∵∠ACE＝120°，∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣120°＝60°，∴∠FCA+∠GCE＝60°，∴∠FCG＝60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG＝FC=12∵AE＝AF+EG+FG，∴AE＝AB+DE+12【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．22．如图，OC平分∠AOB，P为OC上的一点，∠MPN的两边分别与OA、OB相交于点M、N．（1）如图1，若∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，请判断PM与PN的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若∠AOB＝120°，∠MPN＝60°，求证：OP＝OM+ON．【分析】（1）根据角平分线的性质可得PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，再根据∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，可得∠PMO+∠PNO＝180°，进一步可得∠PMA＝∠PNO，可证△PEM≌△PFN（AAS），根据全等三角形的性质即可证明PM＝PN；（2）过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，根据角平分线的性质可得PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，可证△PME≌△PNF（AAS），可得EM＝FN，再根据含30°角的直角三角形的性质可得OP＝2OE，OP＝2OF，进一步可证OP＝OE+OF＝OM+ON．【详解】（1）解：PM＝PN，理由如下：∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，∵∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，∴∠PMO+∠PNO＝180°，∵∠PMO+∠PMA＝180°，∴∠PMA＝∠PNO，∴在△PEM和△PFN中，∠PME=∴△PEM≌△PFN（AAS），∴PM＝PN；（2）证明：过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，如图所示：∵OC平分∠AOB，∴PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，∵∠AOB＝120°，∠MPN＝60°，∴∠PMO+∠PNO＝180°，∵∠PNO+∠PNF＝180°，∴∠PMO＝∠PNF，在△PME和△PNF中，∠PMO=∴△PME≌△PNF（AAS），∴EM＝FN，∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP＝60°，∴∠EPO＝∠FPO＝30°，∴OP＝2OE，OP＝2OF，∴OP＝OE+OF＝OM+ON．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．23．如图，池塘两端A、B的距离无法直接测量，请同学们设计测量A、B之间距离的方案．小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达A、B的点O，然后连接AO和BO，接着分别延长AO和BO并且使CO＝AO，DO＝BO，最后连接CD，测出CD的长即可．小红的方案如图②：先确定直线AB，过点B作AB的垂线BE，在BE上选取一个可以直接到达点A的点D，连接AD，在线段AB的延长线上找一点C，使DC＝DA，测BC的长即可．你认为以上两种方案可以吗？请说明理由．【分析】分别证明△ABO≌△CDO（SAS），Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），即可解决问题．【详解】解：以上两种方案可以，理由如下：甲同学方案：在△ABO和△CDO中，AO=CO∠AOB=∠COD∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同学方案：在Rt△ABD和Rt△CBD中，DA=DCDB=DB∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴AB＝BC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用，解决本题的关键是得到△ABO≌△CDO和Rt△ABD≌Rt△CBD．24．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．【分析】（1）证明△BCD≌△CBE（SAS），得出∠FBC＝∠FCB，根据等腰三角形判定即可得出答案；（2）先求出∠ABC=∠ACB=12(180-∠BAC)=67.5°，由（1）得出∠DBF＝∠ECF，设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135﹣2x，分三种情况：①当BD＝BF时，②当BD＝DF时，【详解】解：（1）BF＝CF，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD与△CBE中，BC=BC∠ACB=∠ABC∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF；（2）∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABC=由（1）知，∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠ECF，设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，即∠FBD＝30°；②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，即∠FBD＝45°；③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，∴x＝x+45°，无解；综上所述，∠FBD＝30°或45°．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键．25．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝25°．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．【详解】（1）解：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中∵AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝25°，∴∠DCE＝25°，故答案为：25°；（2）①解：当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中∵AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②解：当D在线段BC上时，α+β＝180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α＝β．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．26．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE＝AD，连接CD、AE．（1）求证：△ACE≌△CBD；（2）如图②，延长EA交CD于点G，则∠CGE的度数是60度．【分析】（1）先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，再求出CE＝BD，然后利用“边角边”证明即可；（2）易知△ABC是等边三角形，由探究可知△ACE和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E＝∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE＝∠ABC即可．【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，∵BE＝AD，∴BE+BC＝AD+AB，即CE＝BD，在△ACE和△CBD中，CE=BD∠ACB=∠ABC∴△ACE≌△CBD（SAS）；（2）如图2中，∵△ABC是等边三角形，由（1）可知△ACE≌△CBD，∴∠E＝∠D，∵∠BAE＝∠DAG，∴∠E+∠BAE＝∠D+∠DAG，∴∠CGE＝∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠CGE＝60°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造出探究的条件是解题的关键．27．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，△ABD为等边三角形，连接CD．（1）求∠ACD的度数；（2）如图2，作∠BAC的平分线交CD于E，M为线段BC右侧一点，满足∠CMB＝60°，求证：EM平分∠CMB．【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义得到AB＝AC，由等边三角形的性质得到AD＝AB，∠BAD＝60°，则∠CAD＝150°，AD＝AC，由此根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案；（2）如图所示，过点E作EG⊥BM于G，EH⊥CM交MC延长线于H，连接BE，由角平分线的定义得到∠BAE=∠CAE=12∠BAC=45°，则由三角形内角和定理得到∠AEC＝120°，证明△AEB≌△AEC（SAS），得到∠AEB＝∠AEC＝120°，BE＝CE，则由周角的定义得到∠BEC＝120°，根据四边形内角和定理求出∠GEH＝120°，则∠BEG＝∠CEH，由此证明△BGE≌△CHE（AAS），得到EG＝【详解】（1）解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∵△ABD是等边三角形，∴AD＝AB，∠BAD＝60°，∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝150°，AD＝AC，∴∠ACD=（2）证明：如图所示，过点E作EG⊥BM于G，EH⊥CM交MC延长线于H，连接BE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACE＝120°，∵AB＝AC，AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（SAS），∴∠AEB＝∠AEC＝120°，BE＝CE，∴∠BEC＝360°﹣∠AEC﹣∠AEB＝120°，∵EG⊥MG，EH⊥MH，∠GMH＝60°，∴∠GEH＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠BEG＝∠CEH＝120°﹣∠CEG，又∵∠BGE＝∠CHE＝90°，∴△BGE≌△CHE（AAS），∴EG＝EH，∴EM平分∠BMC．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等边对等角，四边形内角和定理，角平分线的判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【分析】用含t的代数式表示出BP、BQ．（1）由于∠B＝60°，当BP＝BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；（2）分两种情况进行讨论：当∠BQP＝90°时，当∠BPQ＝90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论．【详解】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴t=4当t=43时，△（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴t=8即当t=85或t＝1时，△【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键．29．如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．（1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由．（2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系．【分析】（1）先由角平分线定义得∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，再由平行线的性质得∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO，则∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，证出BD＝DO，OE＝CE，进而得出结论；（2）同（1）证出BD＝DO，OE＝CE，进而得出结论．【详解】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．∴DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO，∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，∴BD＝DO，OE＝CE，∴DO+OE＝BD+CE，即DE＝BD+CE；（2）DE＝BD﹣CE，理由如下：∵∠ABC和∠ACF的平分线相交于点O，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠FCO，∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．∴DO∥BF，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠FCO，∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，∴BD＝DO，OE＝CE，∵DE＝DO﹣OE，∴DE＝BD﹣CE．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线的性质等知识是解题的关键．30．如图1，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝100°，AB＝AC＝AD＝AE，BC与AD，DE分别交于点F，H，AC和DE交于点G，连接BD，CE．（1）若∠DBA＝70°，求∠DAC的度数；（2）如图2，连接BE，AH，求证：AH垂直平分BE．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；（2）根据条件证明△ABD≌△AEC（SAS）和△DBH≌△CEH（AAS），等量代换即可证明结论．【详解】解：（1）∵AB＝AD，∠DBA＝70°，∴∠BDA＝∠ABD＝70°．∴∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∵∠BAC＝100°，∴∠DAC＝100°﹣40°＝60°，（2）证明：∵AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝100°．∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝40°，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE＝∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△AEC（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC，∴∠DBH＝∠CEH，∠DBH=∴△DBH≌△CEH（AAS），∴BH＝EH，又∵AB＝AE，∴点A，H在线段BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE．【点睛】本题是三角形的综合题，主要涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，是解答的关键．31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值．【分析】（1）通过∠A＝30°，AP＝2t可得AD=3t，再由DC＝AC﹣AD（2）由∠DPQ＝60°，PD⊥AC，∠A＝30°可得△APQ是等腰三角形，进而求解．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴BC=2，在Rt△APD中，∠ADP＝90°，∠A＝30°，AP＝2t，∴PD=t，∴DC=AC-AD=23-3t（（2）如图，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝60°，∴∠PQD＝30°＝∠A，∴PA＝PQ，∴△APQ是等腰三角形．∵PD⊥AC，∴AD＝DQ．∵点Q与点C重合，∴AD+DQ＝AC，∴2AD＝AC．即23解得t＝1．【点睛】本题考查三角形的动点问题，解题关键是掌握直角三角形与等腰三角形的性质．32．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．【详解】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，DE=CE∠DEB=∠ECF∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．33．如图1，已知CA平分∠MCN，AB∥CN．（1）求证：AB＝CB；（2）作∠ABC的平分线，分别交AC，CN于E，D两点（如图2），若∠MCN＝60°，AB＝2，求CE的长．【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义证明∠MCA＝∠BAC，根据等角对等边即可得出答案；（2）先求出∠BCA=12∠MCN=30°，根据等腰三角形的性质得出BE⊥AC【详解】（1）证明：∵AB∥CN，∴∠BAC＝∠ACN，∵CA平分∠MCN，∴∠MCA＝∠ACN，∴∠MCA＝∠BAC，∴BA＝BC．（2）解：∵∠MCN＝60°，CA平分∠MCN，∴∠BCA=∵BA＝BC，BD平分∠CBA，∴BE⊥AC∵BA＝BC＝2∴BE=12∴CE=2【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质．34．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠【分析】（1）求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；（2）连接FB，根据AB＝BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF=12∠ABC，证得∠CFD＝∠CBF后即可证得∠CFD=1【详解】解：（1）∵∠AFD＝155°，∴∠DFC＝25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠FDC＝∠AED＝90°，在Rt△FDC中，∴∠C＝90°﹣25°＝65°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A＝65°，∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．（2）连接BF∵AB＝BC，且点F是AC的中点，∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF=12∠∴∠CFD+∠BFD＝90°，∠CBF+∠BFD＝90°，∴∠CFD＝∠CBF，∴∠CFD=12∠【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是从复杂的图形中找到相等的线段，这是利用等腰三角形性质的基础．35．问题背景：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．（1）探究一：当∠BAE＝90°时．①若∠B＝45°，求∠DAC的度数；②若∠B＝α°，则∠CAE的度数用含α的式子表示为（45-12α）°，∠CAD的度数为45（2）探究二：若∠BAE＝n°，直接写出∠DAC的度数．【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠AED＝2∠C，①求出∠AEB，再根据∠EAC＝∠C，利用三角形的外角的性质，可得∠CAE．求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）①∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，①，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA=12（180°﹣45°）＝∵∠BAE＝90°∴∠B＝∠AEB＝45°，∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵∠AEB＝∠EAC+∠C，∴∠EAC＝∠C＝22.5°，∴∠DAC＝∠DAE+∠CAEα＝45°；②∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C①，∵∠B＝α，∠BAE＝90°，∴∠AEB＝90°﹣α，∵∠AEB＝∠EAC+∠C，∴∠CAE=12（90°﹣α）＝45°-∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵∠BAE＝90°，∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，∴∠BAD=12（180°﹣∠B）=12[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C②，由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；故答案为：（45-12α），（2）设∠ABC＝m°，则∠BAD=12（180°﹣m°）＝90°-12m°，∠AEB＝180°﹣∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+12∵EA＝EC，∴∠CAE=12∠AEB＝90°-12n∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+12m°+90°-12n°-1【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．36．如图，在△ABC中AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）在（1）的条件下（如图2），F为AB中点．求证：DF＝2FE．【分析】（1）根据等边对等角，等角的余角相等，对顶角相等，运用等角对等边证明．（2）过A作AG⊥DE于G，证明△AGF≌△BEF，即可得证．【详解】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵ED⊥BC，∴∠D+∠C＝90°，∠B+∠BFE＝90°，∴∠D＝∠BFE，∵∠DFA＝∠BFE，∴∠D＝∠AFD，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形．（2）过A作AG⊥DE于G，∵AD＝AF，AG⊥DF，∴GF=1又∵AG⊥DE，BE⊥DE，∴∠AGF＝∠BEF，又∵F为AB中点，∴AF＝BF，∵∠AGF=∴△AGF≌△BEF（AAS），∴EF＝FG，∴DF＝2FE．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一性质的应用，熟练掌握等腰三角形判定和性质是解题的关键．37．（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明）【分析】（1）按要求画图（作AB的中垂线或作BC的中垂线）即可；（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把24°的三角形分成两个等腰三角形的各种情形，一共有4种情况，分别画图即可；（3）根据（1）（2）中的图形总结即可．【详解】解：（1）如图所示：（2）设分割线为AD，相应用的角度如图所示：图1的最大角＝39°+78°＝117°，图2的最大角＝24°+180°﹣2×48°＝108°，图3的最大角＝24°+66°＝90°，图4的最大角＝84°，故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°；（3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一：①该三角形是直角三角形；②该三角形有一个角是最小角的2倍；③该三角形有一个角是其中一个角的3倍．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”等数学思想，是一道不可多得的好题．38．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，