第05讲平行线中的翻折问题解题技巧-2021-2022学年七年级数学下册常考点（数学思想解题技巧专项突破精准提升）

第05讲平行线中的翻折问题解题技巧（解析版）专题解读：平行线中的翻折问题主要是求角的度数。关键是根据翻折的性质，翻折前后两个图形重合，得到相应的角相等。注意利用平行线的性质，并结合数形结合思想，方程思想的应用。一些题目还要注意分类讨论。第一部分专题典例分析+针对训练类型一翻折一次典例1（2021春•工业园区校级月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM=12∠EFM，则∠A．45° B．36° C．72° D．18°思路引领：由折叠的性质可得：∠MFE＝∠EFC，又由∠BFM=12∠EFM，可设∠MFB＝x°，然后根据平角的定义，即可得方程：x+2x+2解：设∠MFB＝x°，则∠MFE＝∠CFE＝2x°，∵x+2x+2x＝180，∴x＝36，∴∠MFE＝72°＝∠CFE，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE＝72°，又∵NE∥MF，∴∠AEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故选：B．点睛：此题考查了折叠的性质、矩形的性质及平角的定义，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．典例2（2019春•秦都区校级期中）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，若∠1＝32°，则∠2＝（）A．112° B．110° C．108° D．106°思路引领：根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到∠3的度数和∠2+∠3﹣180°，从而可以得到∠2的度数．解：由题意可得，∠3＝∠4，∵∠1＝32°，∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠3＝∠4＝74°，∵AD∥BC，∴∠3+∠2＝180°，∴∠2＝106°，故选：D．点睛：本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．典例3如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．思路引领：（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE＝∠AED；（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD＝∠BAF+∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAF=12∠BAE，∠CDF=12∠CDE，则∠AFD=12（∠BAE+∠CDE（3）由（1）的结论得∠AGD＝∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG＝4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD＝2∠AED−32∠BAE，加上90°﹣∠AGD＝180°﹣2∠AED，从而可计算出∠解：（1）∠BAE+∠CDE＝∠AED．理由如下：作EF∥AB，如图1，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，∴∠BAE+∠CDE＝∠AED；（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD＝∠BAF+∠CDF，∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F，∴∠BAF=12∠BAE，∠CDF=1∴∠AFD=12（∠BAE+∠∵∠BAE+∠CDE＝∠AED，∴∠AFD=12∠（3）由（1）的结论得∠AGD＝∠BAF+∠CDG，而射线DC沿DE翻折交AF于点G，∴∠CDG＝4∠CDF，∴∠AGD＝∠BAF+4∠CDF=12∠BAE+2∠CDE=12∠BAE+2（∠AED﹣∠BAE）＝2∠AED∵90°﹣∠AGD＝180°﹣2∠AED，∴90°﹣2∠AED+32∠BAE＝180°﹣2∠∴∠BAE＝60°．点睛：本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．针对训练11．如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则等于A． B． C． D．答案：C2．如图，将一张长方形纸条沿折叠后，与交于点．若，则的度数为A． B． C． D．答案：C3．如图，纸片，，点、分别在、上，沿折叠纸片，点、分别与点、对应．如果在翻折之后测量得，则．答案：110°4．如图，将纸片ABCD沿PR翻折得到△PC′R，恰好C′P∥AB，C′R∥AD．若∠B＝120°，∠D＝50°，则∠C＝度．思路引领：根据折叠得出∠CRP＝∠C′RP，∠CPR＝∠C′PR，根据平行线的性质得出∠C′RC＝∠D＝50°，∠C′PC＝∠B＝120°，求出∠CRP＝∠C′RP＝25°，∠CPR＝∠C′PR＝60°，即可得出答案．解：∵将纸片ABCD沿PR翻折得到△PC′R，∴∠CRP＝∠C′RP，∠CPR＝∠C′PR，∵C′P∥AB，C′R∥AD，∠B＝120°，∠D＝50°，∴∠C′RC＝∠D＝50°，∠C′PC＝∠B＝120°，∴∠CRP＝∠C′RP＝25°，∠CPR＝∠C′PR＝60°，∴∠C＝180°﹣∠CRP﹣∠CPR＝95°，故答案为：95．点睛：本题考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，能正确运用性质和定理进行推理是解此题的关键．5．（2021春•汝阳县期末）如图，△ABC中，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A′处，若∠B＝40°，则∠BDA′的度数是．思路引领：根据平行线的性质，可得∠ADE与∠B的关系，根据折叠的性质，可得△ADE与△A′DE的关系，根据角的和差，可得答案．解：DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝40°．△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A′处，∴∠A′DE＝∠ADE＝40°．由角的和差，得∠BDA′＝180°﹣∠A′DE﹣∠ADE＝180°﹣40°﹣40°＝100°．故答案为：100°．点睛：本题考查了平行线的性质，折叠问题，折叠得到的图形与原图形全等是解题关键．类型二翻折两次或多次典例4（2021春•万州区期末）图①为长方形纸带，将长方形纸带的CD端沿EF折叠成图②，C点折至C'、D点折至D'，（1）若∠DEF＝20°，则图②中∠C'FH的度数是多少？（2）将纸带的C′D′端沿HF折叠成图③，C'点折至C''，D'点折至D''，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE．思路引领：（1）因为长方形的对边是平行的，所以∠BFE＝∠DEF＝20°；在梯形EFC′D′中，∠HEF+∠EFC′+ED′C′+∠D′C′F＝360°，∠C′FH＝180°﹣20°﹣20°＝140°；（2）由（1）的规律可以得到结果．解：（1）∵长方形的对边是平行的，∴∠BFE＝∠DEF＝20°，由对折可知：∠FEH＝∠DEF＝20°，在梯形EFC′D′中，∠HEF+∠EFC′+ED′C′+∠D′C′F＝360°，∴∠C′FH＝180°﹣20°﹣20°＝140°；（2）与（1）同理，∠EFH＝β，∠HFC′＝180°﹣2β，则∠C″FH＝∠C″FE+∠EFH，∴∠C″FE＝∠C″FH﹣∠EFH＝180°﹣2β﹣β＝180°﹣3β．点睛：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．针对练习26．如图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3．若，则图3中度数是A． B． C． D．答案：A7．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带第一次沿折叠成图（2），再第二次沿折叠成图（3），继续第三次沿折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住，整个过程共折叠了11次，问图（1）中的度数是A． B． C． D．答案：D8．（2021秋•临海市期末）如图1，将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着MP翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处．（1）若∠BMN＝70°，求∠AME的度数．（2）若∠PMQ＝α，试用含α的式子表示∠AMQ，并说明理由．思路引领：（1）根据翻折变换的性质可得：∠EMN＝∠BMN＝70°，再运用平角的定义即可求得答案；（2）由翻折可得：∠PMN＝∠PMQ＝α，∠BMN＝∠NMQ＝2α，再运用平角的定义即可求得答案．解：（1）如图1，∵将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置，∴∠EMN＝∠BMN＝70°，∴∠AME＝180°﹣（∠EMN+∠BMN）＝180°﹣（70°+70°）＝40°；（2）∠AMQ＝180°﹣4α．理由如下：如图2，∵将△PMN沿着PM翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处，∴∠PMN＝∠PMQ＝α，∴∠BMN＝∠NMQ＝2α，∴∠AMQ＝180°﹣（∠BMN+∠NMQ）＝180°﹣（2α+2α）＝180°﹣4α．点睛：本题考查了几何变换﹣翻折的性质，平角定义的应用等，熟练掌握翻折变换的性质是解题关键．类型三因翻折的不确定性引发的分类讨论典例5如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54°思路引领：设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．点睛：本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．针对训练39．（2021春•奉化区校级期末）如图，长方形ABCD中，AD＞AB．E，F分别是AD，BC上不在中点的任意两点，连接EF，将长方形ABCD沿EF翻折，当不重叠（阴影）部分均为长方形时，所有满足条件的∠BFE的度数为度．思路引领：如图分两种情形分别求解即可解决问题．解：有两种情形：如图1中，满足条件的∠BFE＝135°如图2中，满足条件的∠BFE＝45°，综上所述，满足条件的∠BFE的值为135°或45°．故答案为135°或45°．第二部分专题提优训练1．将一个长方形纸片按如图所示折叠，若，则的度数是A． B． C． D．答案:A2．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为A． B． C． D．答案：C3．如图，把一张两边分别平行的纸条折成如图所示，为折痕，交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个答案：A4．（2020春•长岭县期末）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数是（）A．80° B．100° C．90° D．95°思路引领：根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．解：∵MF∥AD，FN∥DC，∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°，∵△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠BMN=12∠BMF∠BNM=12∠BNF在△BMN中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（50°+35°）＝180°﹣85°＝95°；故选：D．点睛：本题考查了平行线的性质，用到的知识点是两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．5．（2016秋•新区期中）如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，E为AD中点，将点D绕着CE翻折到点D’处，连接BE，记∠AED’＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为（）A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°思路引领：直接利用平行线的性质结合翻折变换的性质得出△BAE≌△CDE（SAS），进而利用直角三角形的性质得出答案．解：∵E为AD中点，∴AE＝ED，在△BAE和△CDE中∵AB=DC∠A=∠D∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE＝∠ECD，∵将点D绕着CE翻折到点D′处，∴∠ECD＝∠D′CE，∠D′EC＝∠DEC，∵∠AED′＝α，∠ABE＝β，∴∠ECD＝β，∴∠DEC＝∠D′EC＝90°﹣β，∴∠DED′＝180°﹣2β，∵∠AED′＝180°﹣（180°﹣2β）＝α，∴α＝2β．故选：B．点睛：此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△BAE≌△CDE（SAS）是解题关键．6．把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，是折痕，若，则的度数为．答案：64°7．如图，将一张长方形纸条沿折叠，点，分别折叠至点，，若，则度数为．答案：115°8．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则的度数等于．答案：75°9．（2020春•昌图县期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF翻折后，点C，D分别落在C'，D'的位置，若∠1＝75°，则∠2的度数为．思路引领：直接利用平行线的性质得出∠DEF＝75°，再利用翻折变换的性质得出答案．解：∵AD∥BC，∴∠1＝∠DEF＝75°，则∠D′EF＝75°，∴∠2＝180°﹣75°﹣75°＝30°．故答案为：30°．点睛：此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠DEF的度数是解题关键．10．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且∠AFM=12∠EFM，则∠NED＝思路引领：由折叠的性质可得：∠MFE＝∠EFC，得2∠MFA＝∠MFE，可设∠MFA＝x°，然后根据平角的定义，即可得方程：x+2x+2x＝180，解此方程即可求得答案．解：折叠的性质可得：∠MFE＝∠EFC，∴2∠MFA＝∠MFE，设∠MFA＝x°，则∠MFE＝∠CFE＝2x°，∵x+2x+2x＝180，∴x＝36，∴∠MFE＝72°＝∠BFE，∵AB∥CD，∴∠DEF＝∠BFE＝72°，又∵NE∥MF，∴∠DEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故答案为：36．点睛：此题考查了折叠的性质、平行线的性质，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．11．（2019秋•张家港市期末）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM=12∠EFM，则∠AEN的度数为思路引领：由折叠的性质可得：∠MFE＝∠EFC，又由∠BFM=12∠EFM，可设∠MFB＝x°，然后根据平角的定义，即可得方程：x+2x+2解：设∠MFB＝x°，则∠MFE＝∠CFE＝2x°，∵x+2x+2x＝180，∴x＝36，∴∠MFE＝72°＝∠CFE，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE＝72°，又∵NE∥MF，∴∠AEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故答案为：36°．点睛：此题考查了折叠的性质、矩形的性质及平角的定义，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．12．（2018秋•南京期末）如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点C、D分别落在点M，N的位置，若∠BFM=12∠EFM，则∠BFE＝思路引领：由折叠的性质可得：∠MFE＝∠EFC，又由∠BFM=12∠EFM，可设∠BFM＝x°，然后根据平角的定义，即可得方程：x+2x+2解：由折叠的性质可得：∠MFE＝∠EFC，∵∠BFM=12∠EFM，可设∠BFM＝x°，则∠MFE＝∠EFC＝2∵∠MFB+∠MFE+∠EFC＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得：x＝36°，∴∠BFM＝36°．∴∠EFM＝2∠BFM＝72°，∴∠BFE＝36°+72°＝108°，故答案为：108°．点睛：此题考查了折叠的性质与平角的定义．此题比较简单，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．如图，将长方形纸片ABCD沿EF翻折，使点C落在点C处，若∠BEC′＝28°，则∠D′GF的度数为．思路引领：根据折叠的性质和平行线的性质解答即可．解：∵将长方形纸片ABCD沿EF翻折，∴∠C'EF＝∠FEC，∠D'FE＝∠EFD，∵∠BEC′＝28°，∴∠FEC＝76°，∵AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC＝76°，∴∠DFE＝180°﹣76°＝104°，∴∠D'FG＝104°﹣76°＝28°，∴∠D'GF＝90°﹣28°＝62°故答案为：62°点睛：此题考查平行线的性质，关键是根据折叠的性质和平行线的性质解答．如图，纸片ABCD，AD∥BC，点M、N分别在AD、BC上，沿MN折叠纸片，点C′、D′分别与点C、D对应．如果在翻折之后测量得∠C′NC＝140°，则∠AMN＝．思路引领：根据折叠的性质得出∠MNC＝∠MNC'，利用平行线的性质解答即可．解：由折叠可得：∠MNC＝∠MNC'，∵∠C′NC＝140°，∴∠MNC=1∵AD∥BC，∴∠AMN＝∠MNC＝110°，当向上翻折时，∠AMN＝70°，故答案为：110°或70°点睛：此题考查平行线的性质，关键是根据折叠的性质得出∠MNC＝∠MNC'．15．如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，