数学同步训练：同角三角函数的基本关系式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.2。3同角三角函数的基本关系式知识点一：平方关系1．若α是第四象限角，cosα＝eq\f(12,13），则sinα等于A。eq\f（5,13）B．－eq\f(5,13）C.eq\f(5，12）D．－eq\f(5，12）2．化简eq\r(1－2sin4cos4）的结果为A．sin4＋cos4B．sin4－cos4C．cos4－sin4D．－sin4－cos43．已知cosα＝eq\f(1,5)，且tanα<0，则sinα的值为A．±eq\f(2\r(6），5）B。eq\f(\r(6）,12）C．－eq\f（2\r（6),5)D．±eq\f(\r（6)，12)4．化简sin2α＋cos2αsin2α＋cos4α＝__________。5．化简eq\f(\r(1－2sin10°·cos10°)，sin10°－\r（1－sin210°））的值为__________．知识点二：商数关系6．已知sinα＝eq\f(3，5）,α∈(0，π)，则tanα的值为A。eq\f（4，3)B。eq\f(3，4）C．±eq\f（3，4)D．±eq\f（4，3)7．已知cosθ＝eq\f(3,5)且eq\f（3π,2）<θ〈2π，那么tanθ的值为A。eq\f（4，3）B．－eq\f(4，3）C。eq\f(3，5)D．－eq\f（3,4）8．若tanα＝eq\f(3，2)，则eq\f（4sinα＋cosα，5sinα－2cosα）的值等于A。eq\f（14，11）B．2C．－eq\f(10,9)D。eq\f（14,11）或eq\f(10,19)9．下列四个命题可能成立的是A．sinα＝eq\f（1,2)且cosα＝eq\f(1，2）B．sinα＝0且cosα＝－1C．tanα＝1且cosα＝－1D．tanα＝－1且sinα＝eq\f（\r(3）,2)10．已知α是第四象限角,tanα＝－eq\f(5，12)，求sinα.能力点一：利用基本关系式求值11．若角α的终边落在直线y＝－x上，则eq\f(sinα，\r（1－sin2α))＋eq\f(\r（1－cos2α），cosα)的值等于A．0B．2C．－212．已知tanα＝－eq\f(1,2)，则eq\f(2sinαcosα,sin2α－cos2α)的值是A.eq\f(4,3）B．3C．－eq\f（4，3）D．－313．若sinx＋sin2x＝1，则cos2x＋cos4x＝__________。14．（2010全国高考Ⅱ,文13）已知α是第二象限的角，tanα＝eq\f(1,2)，则cosα＝__________.15．已知eq\f（sinα＋cosα，sinα－cosα）＝2，求下列各式的值：（1）eq\f（3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；（2）sin2α－2sinαcosα＋1.16．已知sinα＝eq\f（4,5），求tanα的值．能力点二：利用基本关系式化简17．使eq\r（\f（1－cosα,1＋cosα))＝eq\f（cosα－1，sinα)成立的α的范围是A．{α｜2kπ－π〈α<2kπ,k∈Z}B．｛α|2kπ－π≤α≤2kπ，k∈Z}C．｛α｜2kπ＋π〈α<2kπ＋eq\f（3π，2)，k∈Z}D．只能是第三或第四象限的角18．已知sinθ＋cosθ＝－1，则sin2009θ＋cos2009θ的值为__________．19．化简下列各式．(1）eq\f(\r(1－2sin20°cos20°),sin20°－\r（1－sin220°））；(2）（eq\r(\f（1＋sinα，1－sinα）)－eq\r（\f(1－sinα,1＋sinα)）)·(eq\r（\f（1－cosα,1＋cosα））－eq\r(\f（1＋cosα，1－cosα）))．能力点三:利用基本关系式证明20．求证:(1)tanα－eq\f(1，tanα）＝eq\f(1－2cos2α，sinαcosα)；(2）(1＋tanα）2＋（1－tanα）2＝eq\f(2,cos2α）.21．求证：eq\f(3－sin4α－cos4α，2cos2α)＝1＋tan2α＋sin2α.22．已知tan2α＝2tan2β＋1,求证：sin2β＝2sin2α－1.23．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(1，5)。（1）求sinAcosA；（2）判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．答案与解析基础巩固1．B2．C原式＝｜sin4－cos4|，而4>eq\f(5π，4），由单位圆中的三角函数线得：sin4〈cos4〈0,∴原式＝cos4－sin4。3．C∵cosα＝eq\f（1，5)>0且tanα〈0,∴角α为第四象限角．∴sinα＝－eq\r（1－cos2α）＝－eq\f（2\r（6）,5）.4．1原式＝sin2α＋cos2α(sin2α＋cos2α)＝sin2α＋cos2α＝1.5．－1原式＝eq\f（\r(sin10°－cos10°2）,sin10°－\r(cos210°))＝eq\f(｜sin10°－cos10°|，sin10°－cos10°)＝eq\f（cos10°－sin10°，sin10°－cos10°）＝－1。6．C由sin2α＋cos2α＝1，α∈（0，π),∴cosα＝±eq\f(4,5）。∴tanα＝eq\f（sinα，cosα）＝±eq\f(3，4）。7．B8．A∵tanα＝eq\f（3，2)，∴cosα≠0。∴原式＝eq\f（4\f（sinα，cosα)＋1，5\f（sinα，cosα）－2）＝eq\f(4tanα＋1,5tanα－2）＝eq\f（4×\f（3，2)＋1,5×\f（3,2)－2)＝eq\f(14,11)。9．B10.解法一：由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（sin2α＋cos2α＝1,,\f（sinα,cosα）＝－\f(5，12），））解得sinα＝±eq\f（5，13）.又∵α为第四象限角，∴sinα＜0。∴sinα＝－eq\f(5，13).解法二：∵α是第四象限角，∴sinα<0.又∵tanα＝－eq\f（5,12），∴可设α终边上一点坐标为(12，－5），∴sinα＝－eq\f(5,13）。能力提升11．A原式＝eq\f(sinα，|cosα|)＋eq\f(|sinα｜,cosα），当角α终边在y＝－x(x≥0）上时，cosα〉0，sinα<0；当角α终边在y＝－x（x<0）上时，cosα〈0，sinα〉0.综上知,原式＝0.12．C原式＝eq\f(2tanα,tan2α－1)＝eq\f（2×－\f(1，2)，－\f(1,2)2－1)＝－eq\f(4，3)。13．1由sinx＋sin2x＝1得sinx＝1－sin2x＝cos2x，∴cos2x＋cos4x＝sinx＋sin2x＝1.14．－eq\f(2\r(5),5）由eq\f(1,cos2α)＝1＋tan2α得eq\f（1，cos2α)＝1＋eq\f（1，4)＝eq\f(5,4)。∴cos2α＝eq\f（4,5)。∵α是第二象限的角，∴cosα<0.∴cosα＝－eq\f(2\r(5),5）.15．解：由eq\f（sinα＋cosα,sinα－cosα）＝2,得sinα＝3cosα。∴tanα＝3.（1)解法一：原式＝eq\f（3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq\f（8cosα,9cosα）＝eq\f（8，9).解法二：原式＝eq\f(3·\f（sinα,cosα）－\f(cosα,cosα），2·\f(sinα，cosα)＋3·\f(cosα，cosα))＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1，2×3＋3)＝eq\f（8,9）。(2）原式＝eq\f（sin2α－2sinαcosα，sin2α＋cos2α）＋1＝eq\f(tan2α－2tanα，tan2α＋1）＋1＝eq\f（32－2×3,32＋1)＋1＝eq\f(13，10）。16．解：∵sinα＝eq\f（4,5)〉0，∴α是第一象限或第二象限的角．若α是第一象限角,则cosα〉0，tanα〉0.∴cosα＝eq\r(1－sin2α）＝eq\r（1－\f(4，5)2)＝eq\f（3，5）,tanα＝eq\f(sinα，cosα）＝eq\f(\f(4,5）,\f（3,5）)＝eq\f（4，3)。若α是第二象限角，则cosα〈0,tanα<0，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α）＝－eq\f（3，5），tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f（4，5），－\f(3,5））＝－eq\f(4，3）.17．A∵eq\r（\f(1－cosα，1＋cosα））＝eq\r（\f(1－cosα2,1－cos2α)）＝eq\f(1－cosα，｜sinα｜），∴sinα<0.故｛α｜2kπ－π〈α〈2kπ，k∈Z｝．18．－1由sinθ＋cosθ＝－1，平方得：sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝1,又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθcosθ＝0,sinθ＝0或cosθ＝0.又∵sinθ＋cosθ＝－1，∴θ的终边在x轴非正半轴或y轴非正半轴上．当θ的终边在x轴非正半轴上时，sin2009θ＋cos2009θ＝－1；当θ的终边在y轴非正半轴上时，sin2009θ＋cos2009θ＝－1。综上所述:sin2009θ＋cos2009θ＝－1.19．解：(1)∵1－2sin20°cos20°＝sin220°＋cos220°－2sin20°·cos20°＝(sin20°－cos20°）2，∴原式＝eq\f（｜sin20°－cos20°｜，sin20°－｜cos20°｜)＝eq\f（cos20°－sin20°，sin20°－cos20°）＝－1。（2）原式＝［eq\r（\f(1＋sinα2,cos2α）)－eq\r(\f(1－sinα2,cos2α）)］·［eq\r（\f（1－cosα2，sin2α）)－eq\r（\f(1＋cosα2，sin2α))]＝eq\f（|1＋sinα｜－｜1－sinα｜，｜cosα|)·eq\f(|1－cosα|－｜1＋cosα｜，｜sinα｜)＝eq\f（2sinα·－2cosα，|cosα｜·|sinα|)＝eq\f（－4sinαcosα，|sinαcosα｜)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－4，α∈kπ，kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,4,α∈\f(π,2)＋kπ，kπ＋π，k∈Z.))20．证明：(1)左边＝eq\f（sinα,cosα）－eq\f(cosα，sinα）＝eq\f(sin2α－cos2α，sinαcosα)＝eq\f(1－cos2α－cos2α,sinαcosα)＝eq\f（1－2cos2α,sinαcosα)＝右边，∴原题得证．（2)左边＝(1＋eq\f(sinα，cosα))2＋（1－eq\f（sinα,cosα)）2＝eq\f(sinα＋cosα2,cos2α)＋eq\f(cosα－sinα2,cos2α)＝eq\f（1＋2sinαcosα＋1－2sinαcosα,cos2α）＝eq\f(2，cos2α）＝右边，∴原题得证．21．证法一：作差：因为eq\f(3－sin4α－cos4α,2cos2α)－（1＋tan2α＋sin2α)＝eq\f（3－sin4α－cos4α，2cos2α）－（1＋eq\f(sin2α,cos2α）＋sin2α）＝eq\f(3－sin4α－cos4α－2cos2α－2sin2α－2sin2αcos2α,2cos2α)＝eq\f（3－sin2α＋cos2α2－2sin2α＋cos2α,2cos2α）＝eq\f（2－2，2cos2α)＝0.所以eq\f（3－sin4α－cos4α,2cos2α)＝1＋tan2α＋sin2α.证法二：左边＝eq\f（3－[sin2α＋cos2α2－2sin2αcos2α]，2cos2α)＝eq\f（2＋2sin2αcos2α，2cos2α）＝eq\f(1，cos2α)＋sin2α＝eq\f(sin2α＋cos2α，cos2α)＋sin2α＝1＋tan2α＋sin2α