数学同步练习：应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.2应用举例1．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，应当测量的数据是()A．α、a、bB．α、β,aC．a、b、γD．α、β，b2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向，则灯塔A与灯塔B的距离为(）A．akmB.eq\r(3）akmC.eq\r（2)akmD．2akm3．某人向东走了xkm，然后向右转150°，向新方向走了3km，结果他离出发点eq\r（3)km，则x的值为__________．4．在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东的两船的俯角分别为45°和30°,此时两船的距离为__________．答案：1．C选择易到达、容易测量的长度a、b和∠γ，然后利用余弦定理求AB的长度．2．B如图所示,可知∠ACB＝120°，AC＝BC＝a,在△ABC中，过点C作CD⊥AB,则AB＝2AD＝2acos30°＝eq\r（3）a。3.eq\r(3)或2eq\r（3）根据余弦定理知(eq\r（3）)2＝x2＋32－2·3·x·cos30°，解得x＝eq\r(3）或2eq\r（3）。4．200(eq\r（3)＋1）m如图，BH＝AH＝200m,而CH＝AH·tan60°＝200eq\r(3）m,∴两船相距200(eq\r（3)＋1)m．课堂巩固1．两座灯塔A和B到海岸观察站O的距离相等，灯塔A在观察站沿北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°2．如图,D、C、B三点在地面同一直线上,DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是α、β(α<β),则点A离地面的高AB等于()A。eq\f(asinαsinβ，sin（β－α））B。eq\f(asinαsinβ，cos（β－α))C.eq\f（acosαcosβ,sin(β－α)）D.eq\f(acosαcosβ,cos（β－α)）3．在一次夏令营活动中，同学们在相距10海里的A、B两个小岛上活动结束后，有人提出到隔海相望的未知的C岛上体验生活,为合理安排时间，他们需了解C岛与B岛或A岛的距离．为此他们测得从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛之间的距离是__________海里．4．甲在A处，乙在甲的北偏东45°距A10千米的C处，乙正沿南偏东75°方向以9千米/时的速度奔向B处，甲欲以21千米/时的速度与乙会合，则甲、乙会合的最短时间为__________小时．5．（辽宁高考，文18)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0。1km,试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0。01km，eq\r（2)≈1.414,eq\r(6）≈2。449）．6．（海南、宁夏高考，文17)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B,C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m,于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．答案:1．B如图所示，∵∠OBC＝60°，∠AOB＝80°，∴∠ABO＝50°。∴∠ABC＝∠OBC－∠ABO＝10°.2．A由图可知,△ADC中，∠DAC＝β－α。由正弦定理，得eq\f(AC，sinα）＝eq\f（a,sin（β－α))，即AC＝eq\f(asinα,sin（β－α））。在Rt△ABC中,AB＝AC·sinβ，∴AB＝eq\f(asinαsinβ,sin(β－α)）。3．5eq\r（6)在△ABC中，由题意知∠CAB＝60°，∠ABC＝75°,∴∠ACB＝45°。由正弦定理eq\f(AB，sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，∴BC＝5eq\r（6）.4。eq\f（2，3）设甲、乙会合的最短时间为x,在△ACB中,AC＝10，AB＝21x，CB＝9x，∠ACB＝45°＋75°＝120°.由余弦定理,得(21x）2＝102＋(9x)2－2×10×9x·cos120°,∴36x2－9x－10＝0.解得x＝eq\f(2,3）或x＝－eq\f(5,12）(舍去）．5．解:在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1。又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA。在△ABC中,eq\f（AB，sin∠BCA)＝eq\f(AC，sin∠ABC)，即AB＝eq\f（ACsin60°,sin15°）＝eq\f(3\r(2）＋\r(6）,20），因此,BD＝eq\f(3\r（2）＋\r（6），20)≈0.33(km）．故B，D的距离约为0。33km。6．解:作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝eq\r（MF2＋DM2）＝eq\r(302＋1702）＝10eq\r（298),DE＝eq\r（DN2＋EN2)＝eq\r（502＋1202）＝130,EF＝eq\r((BE－FC）2＋BC2）＝eq\r(902＋1202)＝150。在△DEF中,由余弦定理,cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(1302＋1502－102×298，2×130×150)＝eq\f(16,65）.1．江岸边有一炮台高30米,江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距（）A．10eq\r(3）米B．100eq\r（3）米C．20eq\r(30）米D．30米1．答案:D如图所示，设炮台顶部为A，两条船分别为B，C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°,AD＝30,分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30,DC＝30eq\r（3),在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°＝900，∴BC＝30.2．在200m的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为(）A.eq\f（400,3）mB。eq\f(400\r(3），3）mC.eq\f(200\r(3)，3）mD。eq\f(200，3）m2．答案：A如图，在Rt△CDB中，CD＝200，∠BCD＝90°－60°＝30°，BC＝eq\f(200,cos30°）＝eq\f(400\r（3),3)，在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°,∴∠BAC＝120°.由eq\f(BC,sin120°)＝eq\f（AB，sin30°)，∴AB＝eq\f(BC·sin30°，\f(\r(3）,2））＝eq\f（400,3）m.3．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行,航向的方位角∠NBC＝140°，A处有灯塔，其方位角∠NBA＝110°，在C处观测灯塔A的方位角∠N′CA＝35°，由B到C需航行半小时,则C到灯塔A的距离是()A．10eq\r（6)kmB．10eq\r(2）kmC．10（eq\r(6)－eq\r(2）)kmD．10(eq\r(6）＋eq\r（2））km3．答案:C在题图中，∠ABC＝30°，∠N′CB＝40°，∠N′CA＝35°，∴∠BAC＝180°－(30°＋75°)＝75°。由正弦定理，得eq\f(BC，sinA)＝eq\f(AC,sin30°)，∴AC＝eq\f（20×sin30°，sin75°)＝10(eq\r（6)－eq\r(2）)．4．甲船在岛A的正南B处以4km/h的速度向正北航行，AB＝10km，同时乙船自岛A出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(）A。eq\f(150，7)minB。eq\f(17，7）hC．21。5minD．2.15h4．答案：A设航行th后,两船相距d，如图，经分析，当0〈t≤eq\f（5，2）或t>eq\f（5,2）时d的表达式均为d＝eq\r（AB′2＋AC2－2AB′ACcos120°）＝eq\r(28t2－20t＋100）＝2eq\r（7t2－5t＋25)，∴当t＝eq\f（5，14）h时，d取最小．∴t＝eq\f(5,14)×60＝eq\f（150，7）min时两船相距最近．5．A和B两人同时拉动有绳子相缚的物体,当A和B所拉着的绳子与铅直线成30°、45°的角时，A和B的手上所承受的力之比为__________．5。答案：eq\r(2)根据力的合成与平衡,得F1＋F2＝－G，如图，所求的力之比为相应平行四边形的边长之比，由正弦定理得eq\f（|F1｜，sin45°）＝eq\f(｜F2|，sin30°），∴|F1｜∶｜F2|＝sin45°∶sin30°＝eq\r(2）.6．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°,在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长__________m。6．答案：10eq\r(2)在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°,AB＝10m，由正弦定理，得BB′＝eq\f（ABsin45°，sin30°）＝10eq\r（2).7．在某年的奥运会比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以连接本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出．由经验和测速仪显示，通常情况下，球速为游击手最大跑速的4倍，则游击手在这种布置下__________接着球．(能，不能)7．答案：不能假设游击手能接到球,接球点为B，则游击手从A点跑出，本垒为O点，则∠AOB＝15°,OB＝vt，AB≤eq\f（vt,4)，在△AOB中，由正弦定理可得eq\f（OB，sin∠OAB)＝eq\f（AB,sin15°),所以sin∠OAB＝eq\f(OBsin15°，AB)≥eq\f（vt,\f（vt，4))·eq\f（\r（6)－\r(2)，4)＝eq\r（6）－eq\r(2)>1.所以∠OAB不存在，即游击手不能接到球．8．如图，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分时测得船在海岛北偏西60°的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少?8．答案：解：轮船从点C到点B耗时80分钟，从点B到点E耗时20分钟，而船始终匀速行进，由此可见：BC＝4EB.设EB＝x,则BC＝4x.由已知得∠BAE＝30°，只要求出BE＝x的值，便可求出轮船的速度,在△ABE中，要求BE，至少还应求得一角或一边．在此求出AB。在△AEC中，由正弦定理，得eq\f（EC，sin∠EAC）＝eq\f(AE，sinC）,即sinC＝eq\f（AEsin∠EAC,EC）＝eq\f(5sin150°，5x）＝eq\f（1,2x).在△ABC中，由正弦定理,得eq\f（BC,sin120°）＝eq\f（AB,sinC），即AB＝eq\f（BCsinC，sin120°)＝eq\f（4x·\f（1,2x）,sin120°)＝eq\f（4，\r（3）)。在△ABE中，由余弦定理,得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AEcos30°＝eq\f(16,3）＋25－2×eq\f（4\r(3），3)×5×eq\f(\r（3),2）＝eq\f(31,3)。∴BE＝eq\r(\f（31,3))km。∴船的速度为eq\f（\r(31),\r（3)）÷eq\f（1,3)＝eq\r(93)≈9.64(km/h）．9．如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100km/h的速度向东匀速行驶．汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500km且与海岸距离为300km的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中，并求快艇以最小速度行驶时的方向与OM所成的角．9．答案：解：设快艇从M处以vkm/h的速度出发，沿MN方向航行,t小时后与汽车相遇，在△MON中,MO＝500，ON＝100t，MN＝vt,设∠MON＝α，由题意知sinα＝eq\f(3，5)，则cosα＝eq\f（4,5)。由余弦定理知MN2＝OM2＋ON2－2OM·ONcosα，即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×eq\f（4,5),整理，得v2＝(500×eq\f（1,t)－80)2＋3600.当eq\f（1，t）＝eq\f（80，500)，即t＝eq\f（25,4）时，veq\o\al（2，min）＝3600，∴vmin＝60°，即快艇至少必须以60km/h的速度行驶,此时MN＝60