数学同步练习：函数与方程第二小节

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时,第一次经计算f（0)〈0,f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算________．以上横线应填的内容分别是()A．（0,0.5）f(0.25）B．(0，1）f(0.25）C．(0.5,1)f（0.75)D．(0,0。5）f(0.125)2．用“二分法"可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(）A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算计数与ε无关3．函数f(x）＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2，4］上的零点必在________内．（）A．［－2,1］B．[eq\f（5，2)，4]C．[1，eq\f(7,4)］D．［eq\f(7，4），eq\f(5，2）］4．在用二分法求方程f（x）＝0在[0，1］上的近似解时，经过计算f（0。625）〈0，f(0.75)>0，f（0.6875)<0，即可得出方程精确到0.1的一个近似解为________．5．下面是连续函数f（x）在[1，2］上一些点的函数值：x11.251.3751。40651.4381。51.6251。751.8752f(x）－2－0.984－0.260－0.0520。1650。6251。9822.6454。356由此可判断：方程f(x)＝0的一个近似解为________．（精确到0.1)1．右下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间中,存在不能用二分法求出的零点,则该零点所在的区间是（)A．[-2.1,-1]B．［1。9,2.3］C．［4。1,5]D．［5,6。1］2．函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数为（)A．1B．2C．0D．无法确定3．已知连续函数y＝f（x)，有f（a）·f（b）〈0(a<b)，则y＝f（x）(）A．在区间［a，b]上可能没有零点B．在区间［a，b］上至少有一个零点C．在区间[a,b]上零点的个数为奇数D．在区间[a，b]上零点的个数为偶数4．已知f（x)的一个零点x0∈(2,3），用二分法求精确度为0。01的x0的近似值时,判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为()A．6B．7C．8D．95．若函数y＝f(x）在区间（－2，2）上的图象是连续不断的曲线，且在（－2，2)上有且仅有一个零点，则f（－1）·f(1)的值(）A．大于0B．小于0C．等于0D．可正可负也可为零6．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，问如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子,10km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理?7．用二分法求函数f(x）＝x3－3的一个正零点．(精确到0。01)1．若函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,24），(0,12)，(0，6),（0,3）内,则下列命题正确的是（）A．函数f（x）在区间(0,2)内有零点B．函数f(x)在区间(0,2)或(2，3）内有零点C．函数f（x）在区间（3，24）内无零点D．函数f（x)在区间(2，24）内无零点2．若方程2ax2－x－1＝0在（0，1)内恰有一解，则a的取值范围是(）A．a<－1B．a>1C．－1<a〈1D．0≤a<13．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:f(1）＝－2f(1.5)＝0.625f（1.25)＝－0。984f（1。375)＝－0。260f（1.4375)＝0.162f（1。40625）＝－0。054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确到0。1)为()A．1.2B．1.3C．1.4D．1.54．已知y＝x（x－1)（x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1）(x＋1)＋0。01，则函数f(x）：①当x<－1时，恰有一零点(有一零点且仅有一零点）；②当－1<x〈0时,恰有一零点;③当0<x<1时，恰有一零点;④当x>1时,恰有一零点．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．45．对于函数f(x）＝x3＋x＋m，若满足f（a)<0，f（b）>0，则函数f(x)在区间(a，b)内至多有__________个零点．6．若一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，则a的取值范围是__________．7．某方程有一无理根在区间D内，若用二分法求此根的近似值,那么：(1）区间D＝(1,3）时，将D等分n次后，所得近似解可精确到多少?（2)一般情况，是否有必要尽可能多地将区间D等分？8．作出函数y＝x3与y＝3x－1的图象，并写出方程x3＝3x－1的近似解．(精确到0。1）9．已知f(x)＝x5＋x－3在区间［1，2］内有零点，自己设计精确度求方程x5＋x－3＝0在区间［1,2]内的一个近似解．答案与解析1．A∵f（0)<0，f(0.5）>0，∴函数f(x）的一个零点x0∈(0，0。5），第二次计算f(eq\f(0＋0.5,2))＝f（0。25）．2．B依“二分法"的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．3．D由于f(－2）<0，f(4）>0，f（eq\f(－2＋4,2))＝f（1)<0，f(eq\f(1＋4,2))＝f(eq\f(5，2）)〉0，f（eq\f（1＋\f（5,2),2))〈0，∴零点介于[eq\f(7，4)，eq\f(5,2)］之间．4．0。7∵f(0.6875)·f(0。75)<0，∴函数的零点在区间(0.6875,0.75)上,由精确度可知近似解为0。7.5．1.4由题中表中对应的数值可得函数零点必在区间(1.4065，1。438）上，由精确度可知近似解为1.4。课堂巩固1．B由不变号零点的特征易判断得该零点在[1。9,2.3］内．2．B∵ac<0，∴a≠0,且b2－4ac>0，故二次函数与x轴有两个交点,即函数有两个零点．3．B∵f（a）·f（b)<0，∴由函数零点的性质判断得f（x）在[a，b］上至少存在一个零点．4．B函数f（x)的零点所在区间的长度为1，用二分法经过7次分割后区间的长度为eq\f(1，27)〈0.01.5．D设x0为函数在区间（－2，2)上的零点,若x0∉(－1,1),则f（－1)·f（1）>0；若x0∈(－1，1)，则f（－1)·f（1)<0;若x0＝－1或x0＝1,则f（－1）·f(1)＝0。6．解：可以利用二分法的原理进行查找．如图所示,他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50m～100m之间,即一两根电线杆附近．7．解：由于f（1)＝－2〈0，f（2)＝5>0,因此可取区间［1,2］作为计算的初始区间，用二分法逐次计算如下表:端点或中点横坐标计算中点函数值定区间a0＝1，b0＝2f(1）〈0，f（2）〉0［1,2］x0＝1。5f（x0)>0[1,1.5］x1＝1。25f(x1）〈0[1。25，1.5]x2＝1.375f(x2)<0[1。375，1。5］x3＝1.4375f（x3）〈0[1.4375,1。5]x4＝1.46875f（x4)>0［1。4375，1.46875］x5＝1.453125f（x5)>0［1。4375，1。453125]x6＝1。4453125f(x6）〉0[1。4375,1.4453125]x7＝1.44140625f（x7)<0[1。44140625，1。4453125］x8＝1。443359375f（x8）〉0［1.44140625，1.443359375]因为区间［1。44140625,1.443359375]的左、右端点精确到0。01后的近似值都是1.44，所以1.44就是所求函数一个精确到0.001的正零点的近似值．点评：此类问题的求解，首先是大致区间的确定，要使区间长度尽量小,否则会增加运算次数和运算量，虽然此类题要求用计算器运算,但也应注意运算的准确性，另外在计算第n步时，区间［an,bn］的两端点近似值相等时，则该近似值就是所求零点的近似解．课后检测1．C由题意可得f(x）有唯一的零点在（0,3）内，∴f(x)在区间（3，24）内无零点．2．B令f（x）＝2ax2－x－1，a＝0时显然不适合，a≠0时，则有f（0）·f（1）＝－1×（2a－2）<0,∴a〉1。3．C由零点的定义及精确到0.1知近似根为1。4。4．B函数f（x)的图象是由y＝x(x－1）（x＋1)的图象向上平移0。01个单位得到的，易知f(x）：当x<－1时有一个零点；当－1〈x〈0时无零点；当0〈x<1时有两个零点；当x>1时无零点．5．1易知该函数在（－∞，＋∞)上是增函数，又f（a)<0，f(b)>0，故该函数在（a，b)内有且只有一个零点．6．（－∞，0)由题意知,两根之积x1·x2＝eq\f(1,a)<0，∴a〈0.点评：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两正根的条件是eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b2－4ac≥0，，－\f（b,a)〉0，,\f(c，a）〉0,))有两负根的条件为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b2－4ac≥0，,－\f（b,a)〈0,，\f（c,a）〉0，))有一正一负两根的条件为eq\f（c,a)〈0，即ac<0，此时不必讨论判别式，∵b2－4ac>0恒成立．7．解:（1)设无理根为x0，将D等分n次后的长度为dn。包含x0的区间为(a，b)，于是d1＝1，d2＝eq\f（1,2),d3＝eq\f(1，22),d4＝eq\f（1,23），…,dn＝eq\f（1，2n－1).所以|x0－a|≤dn＝eq\f(1，2n－1)，即近似值可精确到eq\f(1，2n－1)。（2)由于eq\f（1，2n－1）随n的增大而不断地趋向于0，故对于事先给定的精确度ε，总有自然数n,使得eq\f（1,2n－1)≤ε.所以，只需将区间D等分n次就可以达到事先给定的精确度ε。所以，一般情况下，不需尽可能多地将区间D等分．8．解:由图象可以知道，方程x3＝3x－1的解在区间（－2，－1），(0，1）和(1，2）上，那么,对于区间(－2,－1)，（0,1）和（1，2)分别利用二分法就可以求得它精确到0。1的近似解为x1≈－1.8，x2≈0。4,x3≈1。5。9．解：设f(x）＝x5＋x－3，取[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：端点（中点)坐标计算中点函数值取值区间f（1)＝－1〈0f(2)＝32＋2－3＝31〉0[1，2]x1＝eq\f（1＋2,2)＝1。5f（x1）＝6．09375>0[1，1。5］x2＝eq\f（1＋1.5,2）＝1。25f（x2）＝1．301757〉0［1，1.25]x3＝eq\f（1＋1。25，2）＝1。125f（x3）＝－0。072968〈0[1.125，1。25]x4＝eq\f（1.125＋1.25，2）＝1.1875f(x4)＝0．548892>0[1。125，1。1875]x5＝eq\f（1。1