2021届人教a版 平面向量 单元测试

平面向量

一、单选题

1.在中，点P是A8上一点，且方=2画+1而，又N=贝!|f的值

33

为

1215

AA•JnLJ•13•

3323

【答案】A

【解析】本题考查向量加法的平行四边形法则或三角形法则.

由AP=tAB得AC+CP=t（AC+CB）所以

CP=t（AC+CB）-AC=（i-t）CA+tCB,因为屈=—瓦+—而，所以1=］故选

A

2.已知％5满足同=26,忖=3,不/=-6,则M在日上的投影为（）

A.-2B.-1C.-3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量投影的定义，即可求解.

【详解】

“在办的投影为同2首昔7

故选:A

【点睛】

本题考查向量的投影，属于基础题.

3.已知向量a=(2,m),B=(l,l),若a•彼=卜，-囚，则实数加=()

A.­B«--C.一

223

【答案】D

【解析】

试题分析:3,选D.

考点：向量坐标运算

【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法

(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a-b=|a|,b|cos9；二是坐标公式

a•6=*凶+外丫2；三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公

式进行化简.

4.设“是AABC的垂心，且3函+4丽+5阮=0，则cosNBHC的值为()

回RV5„V6nV70

105614

【答案】D

【解析】

【分析】

由三角形垂心性质及已知条件可求得|丽卜

y,由向量的夹角公

式即可求解.

【详解】

由三角形垂心性质可得，HAHB=HBHC=7JCHA^不妨设

HAHB=HBHC=HCHA=x，

：3耐+4而+5比=。,

3HA-HB+4HB+5HC-HB=O'

.•.即=7^7,

小“HBHCV70

…小丽=-丁

故选：D.

【点睛】

本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而

用同一变量表示出|而卜|阮卜要求学生有较充实的知识储备，属于中档题.

5.已知/4后+A£)=AC，且AC=。，BD=b>则A3=()

A.^(a-b1-T

B.-(a+bc.押D.—a—b

2、2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量的加减法运算，列方程组即可求AB.

【详解】

AB+AD=a--1/-

根据条件《._，AB=-\ci—b\.

AD-AB=b2、'

故选：A.

【点睛】

本题考查向量的加减运算，属于基础题.

6.已知向量£_1〃，忖1,则总+5=()

同

A.V2B.GC.75D."

【答案】A

【解析】

【分析】

利用设B=(cosa,sina),a=由Z・B=02cosa+力sina=0,

转化位mn

fj+B-1=+cosa,-1=+sina,进而化简求解即可

\lm2+n2\lm2+n2/

【详解】

设B=(cosa,sina),〃=,由75=0=/ncosa+〃sina=0,

/

mn

/+cosa,/

7ml+//yjm2+n

2

m22〃2cosa2〃sina.2/

—7+cosa+r+r+sina+-r

m~+n~>/m24-H2册之+〃2m~+n~

m2+n2.?2mcos6z2〃sina

―；----7+cos~2a+sma+——=r+—j=—

m~+Vnr+/?7rrr+rr

2x0

2+=垃

y/ni2+n2

答案选A

【点睛】

本题考查向量的模运算，属于基础题

7.如图,D,E,F分别是MBC的边AB,BC,CA的中点，则而一丽等于（）

B.FC

C.FED.BE

【答案】D

【解析】

AF-DB=AF-AD=DF=BE'故选D.

8.已知£为单位向量，2+B=（3,4）,则|+1•可的最大值为（）

A.6

B.5

C.4

D.3

【答案】B

【解析】

试题分析：设M=（cose,sine）,B=（3-cos6,4-sin。），

l+M-B=l+（3—cose）cos8+（4-sine）sin。=4sin6+3cos6=5sin（e+o）,最

大值为5.

考点：向量运算.

9.如图，OC-2OP,AB—2AC,OM=mOB,ON=nOA，若机=—,那么〃

8

()

12「34

A.5B,-C-4D.-

【答案】C

【解析】

试题分析：由0。=2。户，A月=2而1，知点C是AB的中点，点P是0C的中点，

所以反=；（赤+函n而=；（砺+函，又丽=（砺，ON=nOAt

从而福=丽一两=〃砺一一OBMP=OP-OM=-OA——OB

队间848

再注意到点M,P,N共线，所以存在实数X,使=成立;

—•3—■1—•1—.

即：nOA——OB=A（-OA一一OB）

8481

1,

_n=-A3

又因为0A03不共线，所以有｛4,=〃=：；

--=--24

I88

故选C.

考点：1.平面向量基本定理；2.向量的加减法；3.向量共线.

10.在AABC,角A,8,C的边分别为a,b,C,且csin(B+工］=@a,

I3j2

CA.CB=20»。=7,则AABC的内切圆的半径为（）

A.72B.1C.3D.73

【答案】D

【解析】

由csin[B+工)=且。及正弦定理得2sinC(—sinB+—cos8)=出sinA，

(3J222

整理得sirtBsinC+V3cosBsinC二百sinA.

,/sinA=sin(B+C)=sin3cosC+cosBsinC,

•e•sinBsinC+V3cosBsinC=>/3sinBcosC+>/3cosBsinC，

•e•sinBsinC=>/3sinBcosC，

又sinfiwO,

***sinC=A/3COSC»故tanC=>/3,C=y.

：•CACB=abcosC=20,

ab=40.

22

由余弦定理得/=a+b-2ahcosC，

即49=a2+/-ah=(rz+Z?)2-3ah-(a+b?-120，

解得〃+/?=13.

，Q+/?+C=20.

Sgsc=^absinC=；(a+b+c)r,

”=G选D.

点睛:

(1)解三角形中，余弦定理和三角形的面积公式经常综合在一起应用，解题时要注意

余弦定理中的变形，如Y+从=3+份2—297,这样借助于。力和三角形的面积公式联

系在一起.

（2）求三角形内切圆的半径时，可利用分割的方法，将三角形分为三个小三角形，且

每个小三角形的高均为内切圆的半径，然后利用公式厂=2s产可得半径.

a+b+c

--1rr1

11.△ABC中，m=(cosA,sinA),〃=(85民一51113),若〃2-〃=5，则角。为()

27r51

B.—D.

3*~6

【答案】B

【解析】

【分析】

!1jr

根据向量数量积得cosAcos8—sinAsin8=—，cos(A+B)=—,A+8=-即可求

2'’23

解.

【详解】

由题：AA6C中，m=(cosA,sinA),”=(cosB,—sinB),

ITrii

若/”•〃=—,即cosAcosB-sinAsin8=一

22

1jr

COS(A+3)=5，A+B=]

所以话.

故选：8

【点睛】

此题考查根据平面向量数量积的坐标表示求解三角形的内角，关键在于熟练掌握两角和

的余弦公式的逆用.

12.如图所示，已知在AA5c中，。是边AB的中点，则。方=（）

B4--------------------

urn1uu'uuniuuruuniuiruimiuir

A.BC--BAB.-BC+-BAC.-BC--BAD.BC+-BA

2222

【答案】B

【解析】

【分析】

由题易知：BD=—BA,再根据向量的加法法则计算即可.

2

【详解】

是边4?的中点，，有方='丽，，前=丽+6方=一百己+，胡.

22

故选：B.

【点睛】

本题考查向量的加法法则，考查运算求解能力，属于基础题.

二、填空题

13.已知向量万万满足可。+9=5,且同=2,同=1,则向量。与5的夹角为

【答案】|

【解析】

【分析】

由丁（万+万）=5可求得］石=1，利用向量夹角公式即可得解.

【详解】

因为矶万+可=5,同=2,

所以万2十万石=5，解得：a石=1,

a-b1

H=丽二

所以向量1与5的夹角为

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积运算及向量夹角的数量积表示，考查计算能力，属于基础

题.

14.已知向量a=1)=(3,m),若a〃(a+。，则机=.

【答案】-3

【解析】

试题分析：a+b=(2,l+m),由于〃〃♦，+可，lx(l+m)=1x2,解得加=一3.

考点：向量平行的条件.

15.若向量％=(―1,3),5=住,2),向量“一石与万的夹角为彳，则整数k=

【答案】1

【解析】

7T

由题意得cos

V24+k

—y--------------,-=>2攵之+%一3=0•.・攵£Z.•.攵=1

2Vio7(i+^)2+i

16.已知A(1,2)和B(3,2),若向量〃=(x+3,x2-3x-4)与福相等，贝Ux=

【答案】-1

【解析】

【分析】

首先求出向量A%,再由向量相等的定义可得关于x的方程组，解方程即可.

【详解】

•/A(l,2),8(3⑵，

几=(2,0)，

又'JI可量a-(x+3,x2_3x_4)与AB相等，

尤+3=2

4，解得：X=—1

f2-3x—4=0

【点睛】

本题主要考查向量的表示以及向量相等的定义，属于基础题型.

三、解答题

17.（本小题满分10分）已知|£|=2,伍|=3,£与坂的夹角为60»,c=5a+3b,

d-3a+kb,

c±d,求k的值。

【答案】k=~—

14

【解析】

试题分析：首先由已知条件整理出的值，由转化为32=0代入已知向量

后整理得攵的方程，从而解得上的值

试题解析:

=2x3xcos60=3

•：cA-d:.c-d=0(5a+35)•(3a+kb\=15a+3kb+(9+5k^a-b

29

=60+3&x9+3(9+5&)=0；M

L4

考点：向量的数量积运算

18.ABCD是梯形，AB/7CD,且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的中点，已知而

=2万」，试用2、落示加。

【答案】：

【解析】试题分析：由图可得：MN=MA+AD+DN,根据已知标=—■!■通，

2

—•1―-

£>N=—A3代入即可得

4

试题解析：如图可得：MN=MA+AD+DN=--AB+AD+-AB=b--a

244

考点：向量的加减运算

19.已知汗=(3,1),5=(—2,1),求£+石和一3讶+25.

【答案】a+b=(1,2),-35+2b=(-13,-1)

【解析】

【分析】

根据平面向量线性运算的坐标运算法则计算可得.

【详解】

解：•••£=(3,1),B=(-2,l),

a+B=(3-2,1+1)=(1,2),

-3a+2b=-3(3,1)+2(-2,1)=(-9,-3)+(-4,2)=(-13,-1).

【点睛】

本题考查平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题.

20.如图，已知QABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(—2,1),(-1,3),(3,4),

求顶点。的坐标.

【答案】(2,2)

【解析】

【分析】

设顶点。的坐标为(x,y),表示出通，反的坐标，根据丽=觉得到方程组，解得.

【详解】

解：设顶点。的坐标为(X,y).

•「4—2,1),8(—1,3),C(3,4),

AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),阮=(3—x,4—y),

又AB=DC，

所以(l,2)=(3-x,4—y).

1=3—x,x=2,

即.c,解得《

、2=4—y,>=2.

所以顶点。的坐标为(2,2).

【点睛】

本题考查向量的坐标运算，向量相等，属于基础题.

21.已知向量，〃=(3sinx,cosx),«=(—cosx,cosx),fix)=m-n—^^.

(1)求函数近幻的最大值及取得最大值时x的值；

(2)若方程/(x)=a在区间10,扯有两个不同的实数根，求实数”的取值范围.

【答案】(D百；⑵(—区—与

【解析】

试题分析：(1)根据向量的数量积运算，化简得到/(x)=&si〃(2x+警)

6

,根据三角函数的性质求出最值，

(2)求出函数/G)的单调区间，并画出y=/(x)和丫=。的图象，由图象可得

到答案.

试题解析：(1次0=〃?•"一避=—3sinxcosx+再cos?*—亚=—2sin2x+亚(1+cos2x)—

2222

亚

2

3

5