高三数学二轮复习提升练习：空间向量与立体几何-解答题

高三数学二轮复习提升练习

空间向量与立体几何——解答题1

1.如图，在多面体A3CDER中，四边形3CER是矩形，ADHBC,BCLCD,

BC=CD=1,AD=FA=FB=2,CM=2ME.

(1)证明：FArCD;

(2)求直线AR与平面M3。所成角的正弦值.

2.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是边长为1的菱形，ZBCD=60°,E为AD

的中点，PEL平面A3CD,R为PC上的一点，＜PF=-FC.

2

⑴证明：上4//平面3ER

(2)若二面角P-助-产的平面角为30°,求四棱锥尸-MCD的体积.

3.如图，在平面五边形ABCDE中ZxADE是边长为2的等边三角形，四边形A3CD是直

角梯形，其中AD//BC,0cBe=1,8=月.将沿AD折起，使得点E到达点M

的位置，且使

M

(1)求证：平面平面A3CD；

(2)设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面P3D与平面MAD所成的二面角的

正弦值.

4.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，。为AC的中点，AB=BC=BBt,ZABC=,求

CG与面BCQ所成角的正弦值.

5.如图，已知△ABC中，ZACB=90°,1ABC,ADLSC于。，求证：AD,平面

SBC.

6.如图，在斜三棱柱ABC-44G中，CA=CB,D,E分别是48,耳C的中点.

求证：DEH平面ACQA.

7.如图，在四棱锥尸-MCD中,4)//BC,ZAfiC=ZSPC=90。，5C=CD=2AD=2CP=2,平面

PBCL平面ABCD.

⑴证明:PCLR4;

(2)求直线Afi与平面PCD所成角的正弦值.

8.如图，在直三棱柱ABC-A4G中,A3=M=2,耳尸分别是A耳和网的中点,AC_LA尸，尸

是棱AC上一点.

A

B

(I)求证：PE"F；

(II)若CP=2B4,三棱锥P-EFC的体积为1,求PE与平面EFC所成角的正弦值.

9.如图，四棱锥的底面为矩形，平面PCDJL平面是边长为2的等边

三角形,2C=应，点E为CD的中点，点般为PE上一点(与点P,E不重合).

(1)证明:AA/_LBD.

(2)当AM为何值时，直线AM与平面BDM所成的角最大？

10在三棱锥尸-TWC中,ZABC=44B=60。，PA=1,A3=2,AC=26,。为棱8c上一点，且

①证明:PD_LAB；

(II)若平面上平面ABC,求直线PC与平面ABC所成角的余弦值.

高三数学二轮复习提升练习

空间向量与立体几何——解答题2

1.如图，多面体由两个正四棱台MCD-EFGH,〃笈-£FG”组成,两个棱台的高之比为2:1,

点〃为线段用上靠近R的四等分点.

(1)证明:PG_L平面4⑷.

(2)若AB=3,E尸=6,4=12,求二面角"-4-尸的余弦值.

2.如图，四边形ABEF是矩形，平面ABC±平面ABEF,D为BC的中点,

ZCAB=120。,AB=AC^4,AF=y/6.

(1)证明:平面4阴_L平面BCF；

⑵求二面角尸-AD-E的余弦值.

3.如图，在多面体ABCDEF中,ABCD是正方形,AB=2,3尸=DE且BF//DE,M为棱的中点.

E

(1)求证:平面BMDH平面EFC；

(2)若OE，底面ABCD,3M，CF,求二面角E-AF-3的余弦值.

4.如图，四边形ABCD为正方形，四边形CDEF为等腰梯形,CD//EF,CD=DE」EF,平面

2

ABCD，平面CDM,点P为线段BE上一点.

(2)求直线DP与平面ABFE所成角的正弦值的最大值.

答案：(1)见解析

⑵迪

7

(1)证明：延长耳，交河于点G,连接DG,延长&1与抨的延长线交于点H,如图.

因为丝=2,BH〃CD〃EF,所以里二.

PB3HB3

又EF=2CD=2AB,

所以EF=H4,即点G为E4的中点.

因为平面ABCD_L平面CDEF,AD_LCD,平面ABCDI平面CDEF=CD,

所以AD_L平面CDEF.

又u平面CDEF，所以AD_LDF.

在等腰梯形CDEF中，易得DE，分.

又ADIDE=D,

所以D尸，平面ADE.

又AEu平面AGE,所以_LAE.

因为CD=OE,所以AD=DE,所以AE_LDG.

又DGIDF=D.

所以AE_L平面DFG.

又AEu平面ABFE,所以平面PDF_L平面ABFE.

(2)如图，以。为坐标原点，分别以AADC所在直线为x轴、y轴，过点。且垂直于平面

ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系D-xyz.

设AB=2,贝!I。(0,0,0),4(2,0,0),3(2,2,0),矶0,-1,3),

L1LUUL1UULUUUU

所以A3=(0,2,0),AE=(-2,-1,V3),DE=(0,-1,5,EB=(2,3,—竟).

、UULULtUUIULlUUlULIULHUUU1

设砂=4班，贝！JQP=OE+E尸=。5+/1£5=(0,—1,6)+/1(2,3,—五)=(243；1—1,近一扇).

设平面ABFE的法向量为〃=(羽y,z).

(uun

由'T=Q得2…厂

n-AE=0,[_2x_y+.3z=0.

令尤=百,则y=0,z=2,

所以"=(6,0,2).

num

2山/始3\n-DP\273白

所以|COS(M,OP)|=-----------HHU-=——,==――/=.

'/\n\-\DP\V7-V1622-12A+4＜7-^422-32+1

所以直线上与平面WE所成角的正弦值”厂，＞=—।出

"巧一32+1万".+；

当彳=3时」取最大值迪.

87

所以直线DP与平面池在;所成角的正弦值的最大值迪.

7

5.如图，四边形是菱形,44£＞。=60。,£4,平面ABCD,FD，平面ABCD,且AE=2,D/=1.

(1)证明:平面AEC_L平面£FC；

(2)若二面角B-EC-F的余弦值为-零，求三棱锥E-AFC的体积.

6.如图所示,AB,C,D四点共面，其中ZBMD=ZADC=90。,42=点在平面ABCD

2一

的同侧，且B4_L平面ABCD,CQ_L平面ABCD.

⑴若直线/u平面PAB，求证:〃/平面CDQ;

(2)若PQ//AC,ZABP=ZDAC=45°，平面BPQ1平面CDQ=s,求锐二面角B-m-C的余弦值.

7.如图，在四棱台A3cD-AACQ中，底面A3CD是正方形，平面A3CD,

A.B,=DD,=AAB,2e(0,l).

(1)当2=g时，证明：平面AB|C_L平面A3CD；

(2)若二面角3-AD「C的大小为30。，求2的值.

8.如图所示，在三棱锥S-ABC中，点C到点A,民S的距离均为1,平面&4CL平面ABC,。是

线段M的中点,ZACB=ZACS=90°.

(1)求证:平面平面SCD.

(2)探究:在线段AB上(不含端点位置)是否存在点M使得直线SA与平面CSM所成角的正

弦值为士5?若存在，求出也的值若不存在,请说明理由.

10BA

9.如图，在直三棱柱ABC-A4G中,=A4,=gP=PG=1.

(1)求证:平面ABC±平面A.PC；

(2)求二面角A-A.C-P的余弦值.

10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ZABC=\20°,PA=PB=PC.

(1)证明：△PBD为直角三角形；

(2)若PD=2,E是PC的中点，且二面角尸的余弦值为硬，求三棱锥

P-ABE的体积.

高三数学二轮复习提升练习

空间向量与立体几何——解答题3

1.如图，在四棱锥O-MCD中，底面A5CD是正方形,OB=O£>=5"OA=AD=5,点”为线

段00的中点.

(I)求证:AM_L平面&WD；

(II)求三棱锥O-ABC的表面积.

2.如图，在四棱台ABCD-ABCQ中，底面A3CD是正方形，平面A3CD,

4B,=DDX=AAB,Ae(0,l).

(1)当2=工时，证明：平面A4CL平面A3CD；

2

(2)若二面角3-9-C的大小为30。，求2的值.

3.如图所示，在三棱锥S-ABC中，点。到点A,民S的距离均为1,平面&4CL平面ABC,。是

线段的的中点,ZACB=ZACS=90°.

(1)求证:平面SAB_L平面SCD.

(2)探究:在线段AB上(不含端点位置)是否存在点M使得直线SA与平面CSM所成角的正

弦值为生叵？若存在，求出也的值若不存在,请说明理由.

10BA

4.如图，在直三棱柱48C-A4G中,A8_L8C,AB=A4,=4P=PC[=1.

(1)求证:平面ABC_L平面APC；

⑵求二面角A-AC-P的余弦值.

5.如图，在多面体48CDA4G中，平面A£>r>1,ABHCD,四边形C£>AG、四边形

8CC14均为平行四边形，AB=2AD=2DD,=2,BC=AD、=五,E,产分别为AB,CQ的

中I占八、、•

(1)判断E/与平面ABC的位置关系，并给予证明；

(2)求直线AG与平面A42所成角的正切值.

6.如图，在三棱柱4G中，A4,=AB=AC=BC=2,ZA.AB=60°,第=巫.

⑴求证：ABL\C-

(2)若A4,=5AM,求二面角的余弦值.

7.如图，四棱锥尸-ABCD的底面是正方形，9_L底面ABCD,E,F,H分别是3C,

PC,PD的中点，PA^AB=2.

H

(I)求证：平面£7»〃/平面PR4；

(II)求四棱锥尸-ABC。被平面EFH分成的两部分的体积比.

8.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a,

PA=PC=sf2a,^<iiE:

(1)PD±¥ffiABCD；

(2)平面丛CL平面P3D；

(3)二面角尸-BC-O的平面角的大小为45。.

9.如图，在三棱柱3CE中，四边形ABCD是菱形,

NABC=120O,AF=3,AD=2OF=26,P,Q分别为AD,BE的中点，且平面平面

ABCD.

⑴求证：DF±PQ；

(2)求直线PQ与平面所成角的正弦值.

10.如图，在直四棱柱中，底面A3CD是菱形，

AB=sf5,BD=2AC,ACr>BD=O,E,F,G分别为例,的中点.

(1)若AA.=AC,求证：BF_L平面AQG；

⑵若直线RG与平面BOE所成角的正弦值为噜，求平面30E与平面QOE所成的锐

二面角的余弦值.

高三数学二轮复习提升练习

空间向量与立体几何——解答题4

1.如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是菱形，ZADC=60°,AC与BD交于

点。，EC_L底面A3CD,R为3E的中点，AB=CE.

(1)求证：。£7/平面ACR；

(2)求异面直线E。与AR所成角的余弦值；

(3)求AR与平面防。所成角的正弦值.

2.如图，在直三棱柱ABC-AUG中，CA=CB=1,ZBCA=9QP,棱惧=2,点N为A4,

的中点.

(1)求丽的模；

(2)求cos〈瓯，西〉的值.

3.如图所示，在三棱锥A-BCD中，DA,DB,DC两两垂直，S.DB=DC=DA=2,E为1

(1)证明：AE±BC;

(2)求直线AE与DC所成角的余弦值.

4.如图所示,该几何体是由一个直三棱柱3CF和一个正四棱锥尸-ABCD组合而成

的,AD_L”，AE=AD=2.

(1)证明：平面平面A3ER

(2)求正四棱锥尸-ABCD的高力,使得二面角C-AF-尸的余弦值是手.

5.如图，四棱台ABC。-A4G。中，底面ABCD为直角梯形，ABPCD,ABLBC,

底面A3CD,AB=2BC=2CD=2D、=4DG,P为棱CG的中点.

(1)证明：ACP平面片DP；

(2)求二面角g-DP-C的余弦值.

6.如图所示，在四棱锥尸-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为

。的正三角形，且平面PDCL底面ABCD,E为PC的中点.

(1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值；

(2)求直线AP与平面A3CD所成角的正弦值.

7.如图，四棱锥尸-ABCD的底面A3CD是直角梯形，ABPDC,ADLDC,平面PDC_L

平面ABC。，VPDC是等边三角形，AB=AD=-CD=1,E,R,G分别是棱PD/CBC的中

2

点.

(1)求证：尸4P平面ERG.

(2)求二面角G-防-。的大小；

ULUUUUI

(3)若线段P3上存在一点。，使得尸C,平面ADQ,且尸0=2尸8,求实数彳的直

8.如图，已知钻_L平面ACD,DE_L平面ACD,VACD为等边三角形，

AD=DE=2AB=2a,F为CD的中点.

(1)求证：A尸尸平面3CE；

(2)判断平面BCE与平面CDE的位置关系，并证明你的结论.

9.如图，在直三棱柱ABC-A4cl中，AAl=AB=AC=2,AB_LAC,M,N分别是棱CQ，

3c的中点，点P在线段AB上(包括两个端点)运动.

(1)当尸为线段AB的中点时，求证：PNJ.AG；

(2)求直线PN与平面AMN所成角的正弦值的取值范围.

10.如图，在多面体ABCO砂中，底面A5CD是边长为2的菱形，44A=60。，四边形

BDEF是矩形,平面3C平面A5C0,DE=2,M为线段5尸的中点.

（1）求加到平面DEC的距离及三棱锥/—COE的体积;

（2）求证：平面ACE

答案以及解析1

1.答案：(1)证明过程见解析.

⑵正弦值为王.

解析：⑴如图，取AD的中点。，连接OF,

则OA=OD=BC=CD=\.

因为3C//AD,3C，CD,所以

所以四边形是正方形，OBA.BC.

因为四边形3CER是矩形，所以3c_LM.

因为C®c3尸=3,

所以3c，平面03R,又Ofu平面03R,所以BCLOf,所以AD_LO『

因为E4=FB,Q4=C®,O/=。尸，所以△QIFMAO射.

因为。4_L。尸，所以OB_L。尸，所以CD_L。尸.

XCD±AD,OF<^AD^O,所以C£>_L平面ADEE

又Abu平面ADER,所以CD_LAF.

(2)以。为坐标原点，OA,OB,。歹所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，

则A(l,0,0),B(0,1,0),C(-l,1,0),0(-1,0,0),E(-l,0,^),F(0,0,.

UUU1ULIL110111r-

所以8。=(T,T0),FA=(1,0,-A/3),EC=(0,1,-A/3),

uuiriuun(1(i

由CM=2AZE,得EM=-EC=0,-,--,所以M-1,-,

3333

-uuur(0)C、

所以期=T”,亍

设平面MBD的法向量机=(x,y,z),

(uumf—x—y=0

m-BD=0匚ui、i「

则niI彳uuur,所以〈22百

mBM=0-x--y+——z=O

°I33

设直线A尸与平面"5。所成的角为6,

uur3xl+(-3)xO+3

uir\m-FA\

则sin0=|cos〈E4,ni)|=------

\m\\FA\”256一10.

2

直线AR与平面MBD所成角的正弦值为*.

2.答案：（1）见解析.

⑵体积为，

解析：（1）证明：如图，连接AC交3E于G,连接RG.

因为底面ABCD是菱形，所以AD//3C,AD=BC.

又E为AD的中点，所以所以竺=任」.

2GCBC2

因为黑」院，即竺」，所以竺="，所以尸4//G

2FC2GCFC

又PGu平面3ER,7W平面3EE

所以R4//平面BEF.

(2)在A4BE中，|AB|=1,|AE|=g,4AE=60。，

所以由余弦定理得A£f+|AB|2-2|A£|-|AB|-cos60°=-+l-2x-xlxl=-,

4224

gPBE=—,所以|A8|2=|AE|2+|BE/，所以

2

如图，以E为坐标原点，E4所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z

轴，建立空间直角坐标系.

令|PE|=o(a>0),贝1j£(O,O,O),A(；,O,o1,80,*,o]p(O,,a),

~UUT(出、ULT门、

所以仍=10,芋oJ,PA七,0,一aj.

因为AELPE,AELBE,PEcBE=E,

所以隹，平面P3E,所以平面P3E的一个法向量为帆=(1,0,0).

设平面BEF的法向量为〃=(x,y,z),由"_LEB,可得y=0.

LILUUUU

因为〃_L/G,PA〃尸G,所以〃_LPA,

即有!九+0义丁一/=0,令z=l,贝！Jx=2a,

2

所以n=(2a,0,l),

由二面角尸-5£-尸的平面角为30°,

徨。7。。-一所九一I册.即4^=走，

Im||n|ixJl+4/Vl+4a22

解得a=*(负值舍去)，所以|PE|=g,

所以%棱锥”=为菱形+1尸引=g皿xl幽x|尸引=；xlx争。5

3.答案：(1)见解析.

⑵正弦值为当.

解析：如图，取AD的中点N,连接MN,BN.

因为△AMD是等边三角形，所以ACV_LAZ),且MV=AMsinGO。：后，

在直角梯形A3CD中，因为DN=BC=1,DN〃BC,AD工DC,

所以四边形3CDN是矩形，所以3N_LAZ),且BN=CDf,

所以口储+萩=6=B”，gpBNYMN,

又ADcMN=N,所以3N_L平面MAD

因为BNu平面A3CD,

所以平面舷4D_L平面ABCD.

⑵由⑴知W4,NB,NM两两互相垂直，

以N为坐标原点，直线W4为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，

根据题意，NQ,0,0),A(l,0,0),3(0,根,O),C(-1,根,0),M(0,0,有),0(-1,0,0),DB=(1,瓜0),

由P是棱CM的靠近点C的三等分点得，

uuruuniuutri(o

BP=BC+-CM=(-1,0,0)+-(1,-A/3,^)=,--—

设平面PBD的一个法向量为〃=(%,y,z),

uur23y+迫Z=0,

n,BP=0,即——x-

则uum即j333

n,DB=U,

x+岛=0,

令y=l,则尤=一如/=-1,故平面的一个法向量为”=(-后

而平面MAD的一个法向量为薪=(0,后,0),

设平面尸与平面MA。所成的二面角的平面角为e,

UiwLL

贝|J|cose1=1cos(n,器〉|=I岂然I=JL=—,

|n||A®|V5-735

所以sin0=\J1-cos20=

所以平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值为十.

4.答案：］

解析：过点C作CH，C,D交CQ于点H,

由于三棱柱ABC-44G为直三棱柱.

CC11平面ABC,3。U平面ABC,故CG±BD,

又AB=BC,。为AC的中点，所以BD_LAC.

所以平面4(704,8<=平面4(704，故9_LCH.

又CHLCQ,所以CH_L平面

所以CH为CC］在平面BQD内的射影,

ZCCtD为CG与平面BCQ所成的角，

设AB=2a,贝!JC£)=夜0,CQ=灰。，

CD_叵a_退

所以sinNCC；O=

GD屈a3

5.答案：见解析.

解析：因为ZACB=90。，所以3C_LAC.

又5A_L平面ABC,所以&4_L3C.

又ACc5A=A,所以3C_L平面SAC.

因为ADu平面SAC,所以3C_LAD.

MCLAD,SCcBC=C,

所以AD，平面SBC.

6.答案：见解析.

解析：方法一：连接BC|,AG，

因为A3C-a4a是斜三棱柱，

所以四边形BCG4为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是的中点,

因为点。是A3的中点，所以。E//AG，

又DE仁平面ACCA，AGu平面ACGA，

所以。E7/平面ACGA.

方法二：连接ACAG交于。，连接。E,

则。是AC的中点，又E是与C的中点，

所以OEgB、,OE=^\B},

又AD//AiBl,AD=^AiBl,

所以。/AD,

所以四边形ADE。是平行四边形，

所以AO//DE,因为AOu平面ACGA，DEV平面ACGA，所以DE7/平面ACG》

7.答案：（1）见解析

解析：（1）因为平面PBC_L平面4BCD,平面PBCI平面ABCD=3C,ZABC=90。,

所以AB,平面P8C.

因为尸Cu平面PBC,所以AB_LPC.

XZBPC=90°,ABI尸3=3,所以「。_1.平面95.

因为B4u平面R4B,所以PC_LB4.

（2）如图，取CB的中点E,连接DE,

p

CMEB

因为BC=2AD,45//3C,所以AD//BE,AD=BE,

所以四边形ABED为平行四边形，所以DE//AB,

故直线AB与平面PCD所成的角即直线DE与平面PCD所成的角.

过P作8C的垂线交8C于点跖过〃作CD的垂线交CD于点N,连接NP，因为平面PBC1

平面ABCD，平面PBCI平面ABCD=BC,PM±BC,

所以尸M_L平面AfiCD,

因为。Cu平面ABCD,

所以PM_LDC.

又MN1DC,PM1MN=M,

所以OCJ_平面PW,

所以平面P肱V，平面PCD.

过M作PN的垂线交PN于点H,则MH，平面PCD.

易知/DCB=60。,PB=瓜CM=ME=工,PM=^^~=叵,MN=CMsinNDCB=工xg=也,

2CB2224

所以PN=1PM。+MN?=叵,

4

所以MH=PM-MN=姮.

PN10

又EC=2MC,所以点E到平面PCD的距离d为点、M到平面PCD的距离的2倍，

所以d==坐.

在RtACED中,DE=4CD。-CE?=退,

A/15

设直线AB与平面PCD所成的角为仇则sine=&=、=亚，

DEy/35

所以直线的与平面PCD所成角的正弦值为骼.

8.答案：（I）见解析

(II)T

解析：（I）证明:如图，连接AE,PE,在直三棱柱ABC-A4G中,

A4,_L平面A4G，A4u平面A4G，

所以A4,，4丹.

因为AB=M=2,

所以△44户名△用石，

所以4网=幺五耳.

因为幺尸耳+/啰8=90。，

所以ZAE4,+ZFA.B=90°,

即\FLAE.

又A~AC,ACIAE=A,

所以AB，平面ACE.

又PEu平面ACE,

所以尸E_LAP.

(II)因为AFLAC.

又AC_LAW【M=A，

所以AC_L平面A414g.

又ABu平面A4,g8,所以ACJ_AB.

连接就，因为CP=2RL,

所以Vp-EFC=^E-PFC=^^E-AFC=^^C-AEF'

3

又AS平面

所以Vp_E"=：xg><m,AC=l,

解得AC=3.

以a为坐标原点，A4,AG，4A所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),E(l,0,0),F(2,0,l),P(0,l,2),C(0,3,2),

UUUULIUUUU

所以尸E=(1,-1,-2),EF=(1,0,1),EC=(-1,3,2),

设平面EFC的法向量为〃=(羽y,z),

ruun

r-,,,n-EF=X+Z=0,—Erlan

则5uun取x=l,则y=l,z=-l,即n=(1,1,-1),

n•EC=-x+3y+2z=0,

设PE与平面EFC所成角为0,

uim

则sinQ=|cos(P£,n\|=也''=—,

\/\PE\-\n\3

所以PE与平面EFC所成角的正弦值为变.

3

9.答案：(1)见解析

(2)30°

解析：(1)证明：如图，连接钻,交班)于点R因为四边形ABCD为矩形,8=2,8。=也，点

E为CD的中点,J^fy!tanZDA£=—=—,tanZBZ)C=—=—,

AD2CD2

所以tanZQ4E=tanZBDC,

则ZDAE=ABDC.

因为NDAE+ZAED=90°,

所以ZBDC+ZAEE)=90。，

所以ZDFE=90。,则BD_LAE.

因为VPCD是边长为2的等边三角形，点E为CD的中点，所以PELCD.

因为平面尸CD_L平面ABCD,平面PCDI平面TWCD=CD,所以PE_L平面ABCD.

又fiDu平面ABCD,所以PE_L.

因为PEIAE=£T，所以应)，平面APE.

因为4以u平面"E,所以BD_LAM.

Pj

(2)取他的中点连接EH，则EHLCD.

以E为坐标原点,EH,EC,EP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图的空间直角坐

标系，

由已知条件可知,A(A/2,-1,0),0(0,-1,0),B(72,1,0),PE=#C2-CE2=>/22-l2=也.

、_UUUL_UUlULCIULIU

设M(0,0,m)(0<相<真)，贝I」AM=(-V2,l,m),BD=(-72,-2,01DM=(0,1,m).

设平面BDM的一个法向量为/i=(x,y,z),

ruum

则第…即卜岳一2y=0,

令z=l,贝!jy=—m,x=4^m.

所以〃=.

设直线AM与平面BDM所成的角为仇

UULU

则sin。=|cos(Z,n\|==/,2〃；=

'/IAM||nIV3+m2-A/3m2+1

I2<2△，当且仅当3苏=3,即加=1时，等号成立.

23。邯可+】。加

所以直线AM与平面BDM所成的角的最大值为30。,止匕时AM=\AM\=也+1+1=2.

10.答案：①见解析

(II)迹

26

解析：(I)证明:在中,ZB4fi=60。,P1=1,AB=2,

由余弦定理得PB2+AB2-2PAAB-cos60°=3,

所以尸B=

在AABC中,/ABC=60。,AC=2括,AB=2,

由正弦定理得」^

sinZABCsinZACB

即窄=.2

73sinZACB

~2

解得sinZACB=L

2

又AB<AC,所以ZACB<ZABC=60。，

所以ZACB=30。，

所以44c=90。,即△ABC为直角三角形,

则由勾股定理得BC=y/AB2+AC2=4.

过点。作DE，AB于点E,则DE//AC,

所以处=更，即气毁，所以此二

BCBA422

连接PE,在中,尸2=代,8石=3,/尸班=30。,

2

则由余弦定理得PE2=PB2+BE2-2PB-BEcos30°=-,

所以PE=3,贝IPE?+酩2=PB-,

2

所以PE_L3E,即PEYAB.

又DE_LAB,PEIDE=E,

所以AB_L平面PDE.

又PZ)u平面包无，所以PD_LAB.

(II)若平面_L平面ABC,

由(I)可知PE_LBE.

因为BEu平面ABC,

所以PEL平面ABC,连接EC,

则ZPCE即为直线PC与平面ABC所成角.

在RtAAEC中,ZEAC=90°,AE=-,AC=2y5,

2

由勾股定理得EC2=AE1+AC'=—,

4

所以EC」.

2

在中，

由勾股定理得PC2=PE-+EC2=—=13,

4

则PC=y/l3,

7

所以直线PC与平面ABC所成角的余弦值为UU.

26

答案以及解析2

1.答案：(1)见解析

20^553

O----------

553

解析：⑴证明：如图，连接3J,CK,”,易知四棱柱ABCD-〃他为长方体.

因为IJKL-EFGH是正四棱台,AB=〃=，£F,点M为线段FG上靠近歹的四等分点,

2

所以FG_LJM.

又JK//PG,JK_L平面ABJI，所以/G_L平面ABJI.

又A/u平面〃，所以FGJ_A/.

又A7I加=」,所以b6_1平面4^7.

(2)如图,易知“，平面ABCD，以D为坐标原点，以以DC,DL所在直线分别为x轴、y

轴、z轴，建立空间直角坐标系。-.z,则J(3,3,12),A(3,0,0),F(|,|,8),

uuruumaQ

所以A/=(0,3,12),Ab=(』,2,8).

22

易知平面A/M的i个法向量为根=(1,0,0).

设平面AJF的法向量为〃=(%,y,z).

3y+12z=0,

n-AJ=0,

39

n•AF=0,—xH—y+8z=0.

、22

令z=l,则y=-4,%=g,所以n=(^,-4,1).

20

T207553

所以cos(m,n)=----------

\m\-\n\

经观察，二面角M-A7-尸为锐角，

所以二面角M-A7-b的余弦值为"逗.

553

2.答案：(1)见解析

解析：本题考查面面垂直的判定、利用空间向量求二面角的余弦值.

⑴证明：因为AB=AC,D为3c的中点，所以AD_L3C.

因为四边形ABEF是矩形，所以AF，AB.

因为平面/WC_L平面A5EF,平面ABCI平面=AFu平面所以A尸_L平面

ABC.

因为3Cu平面ABC,所以AF_L3C.

又AFIAD=AAF,ADu平面厂，

所以3c，平面ADF.

又3Cu平面3CF,所以平面AZ3F_L平面3CF.

(2)由(1)知,AF_L平面ABC,且NC4B=120。，

ULIUUU1U

故以A为坐标原点,分别以AB,A尸的方向为y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系A-xyz,

E

By

则4(0,0,0),尸(0,0,后),5(0,4,0),C(2有,-2,0),石(0,4n)，所以。(百,1,0),所以

LlUUlUUUUUUI

AD=(A1,0),AE=(0,4,&)，BC=(26—6,0).

由(1)知,BC为平面ADF的一个法向量.

设平面ADE的法向量为〃=(%,%z)),

uum

几•A。=0,日口A/3X+y=0,

则UUD即<

n-AE=0,4y+A/6Z=0,

令x=1厕y=-6z=20,

所以"=（1,-6,2后），

所以M吟点二亲黑与因为二面角…3石为锐角,所以二面角

〜3E的余弦值为*

3.答案：（1）见解析

⑵-？

解析：本题考查面面平行的判定及二面角的余弦值.

⑴证明：如图，连接AC,交于点N,则N为AC的中点，连接MN.

QM为棱AE的中点,MN//EC.

QW平面EFC,ECu平面EFC,:.AGV〃平面EFC.

又QBF//DE且5尸=DE,/.四边形BDEF为平行四边形,

/.瓦）//FE.又BD仁平面EFC,FEu平面EFC,

/.BDHEFC,XMVI&D=N,.•.平面BMD〃平面EFC.

（2）Q£D，底面ABCD,ABCD是正方形,，DADC,DE两两垂直,...以。为原点，以

.•.ZM,DC,DE所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系，如图.设DE=2a,则

8（2,2,0）,M（l,0,a）,C（0,2,0）,P（2,2,2a）,E（0,0,2a）,A（2,0,0）,

UUUUUU

/.BM=（-l,-2,a）,CF=（2,0,2a）.QBM±CF,.\-lx2+a-2a=0，解得

〃=1,,温=（2,0,—2）,等=（0,2,2）.设平面印的法向量为加=（%,乂2）,则|?—?二:取

[2y+2z=0,

z==BF//DE,DE_L底面ABCD,r.3尸_L底面ABCD,.,.N_LDA,又ZM_LAB,ZM_L

uunuun0

平面AFB平面AFB的法向量为DA=（2,0,0）./.cos（m,DA）=..—=二，且由图可知

71+1+1x23

二面角E-AF-3为钝角,.•.二面角的E-AF-3余弦值为

3

4.答案：（1）见解析

⑵逋

7

⑴证明：延长严，交融于点G,连接DG,延长脑与门的延长线交于点H,如图.

因为世=2,BH//CD//EF,所以空=2.

PB3HB3

又EF=2CD=2AB,

所以即=H4,即点G为E4的中点.

因为平面ABCD_L平面€7汨尸,45_18,平面筋。1平面CDEF=CD,

所以AD_L平面CDEF.

又£＞尸u平面CD£F,所以AD_LZ）F.

在等腰梯形CDEF中，易得DE，DG

又ADIDE=D,

所以平面ADE.

又AEu平面4龙,所以

因为CD=OE,所以AD=DE,所以AE_L£>G.

又DGIDF=D.

所以AE_L平面WG.

又AEu平面ABEE,所以平面PDF_L平面ABFE.

(2)如图，以。为坐标原点，分别以仞,DC所在直线为x轴、y轴，过点。且垂直于平面

ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系D-xyz.

设？1B=2,则。(0,0,0),A(2,0,0),3(2,2,0),E(0,T3),

UUUUUUULHUULU

所以A8=(0,2,0),AE=(-2,-1,^),DE=(0,-1,A/3),EB=(2,3,-君).

ULILULIUUttlUL1WUliULUHULH

设砂=X砂，贝！JQP=+E尸=OE+X班=(0,—1,W3)+2(2,3,-73)=(2432—1,6一V32).

设平面ABFE的法向量为〃=(x,y,z).

(uun

由;".然=°'得，=&

n-AE=Q,[-2x-y+y/3z=0.

令x=山，则y=0,z=2,

所以"=(百,0,2).

UUIU

/UUD\M•。尸|26V3

所以|cos(〃,DP)|=-

\n\-\DP\T7-V1622-12A+4674万-32+1

所以直线3P与平面ABFE所成角的正弦值t=「,=—,也.

――"加一K

当彳=3时,/取最大值延.

87

所以直线上与平面在;所成角的正弦值的最大值述.

7

5.答案：(1)见解析

⑵逋

3

解析：本题考查面面垂直的判定、利用空间向量求二面角及三棱锥的体积公式.

⑴证明:连接血交AC于。，取EC的中点G,连接OG,FG,如图.

由题知OC//AE,DF7/AE,且。尸=1,OG」AE=1,所以四边形OGFD为平行四边形，所以

2

FG//DO,即FG//BD.由ABCD是菱形，得3£>_LAC.由平面ABCD,3Du平面ABCD，所以

因为EI47=4,短,4。匚平面4£€1,所以£0_1平面4£（7.因为尸6〃皮»,所以/6_1

平面AEC,因为FGC平面EFC，所以平面AECJL平面EFC.

⑵以0为坐标原点,OC,OB,OG所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角

坐标系。-孙z,设AB=2a(a>0),则AC=2a.

可知C(a,0,0),8(0,舟,0),E(-a,0,2),F(0,-6a,l).

设平面BEC的一个法向量为7"=（无i，%,zj,

rUUU

EC•m=2axi-2z=0,日门Z.=ax.,r|LL

:x

则有uur即<厂取％=1,则m=(6,1,6a).

4二,3例，

EB-m=axl+/3町-2zx=0,

同理,设平面FEC的一个法向量为鹿=（々，%*2）,

ruim

则有器”=2"「：=0,即广崇,，取尤2=1,则〃=（L0M）.

EFn=ax2-,3〃%-z2=0,[%~

因为二面角…「的余弦值为一嘤，且二面角…一的平面角是山与〃夹角的

退+■2

补角，所以cos⑺㈤=-理I，解得,S故

，3+1+3a~\/1+ci~I

VE-AFC=%.E4c=gxSv砌cX/G=；xgxAExACxFG=gxgx2x2y/2x-j6=^Y-.

6.答案：(1)见解析

解析：本题考查空间线面的位置关系,向量法求二面角的余弦值.

(1)证明：因为以_L平面ABCD,CQ_L平面ABCD,所以PA//CQ.

因为B4u平面MB,CQ<z平面丛B,所以CQ〃平面PLB.

因为ZS4£>=ZADC=90。,所以AB//CD,因为ABC平面尸AF,CD0平面PAB,所以CD〃平面

PAB.

因为CQICD=C,C。u平面CDQ,CQu平面C。Q,

所以平面CDQH平面PAB.

因为直线IU平面的,所以I//平面CDQ.

(2)因为AP_L平面ABCD,ABu平面ABCD,ADu平面ABCD,所以AP_LAB,AP_L.又因为

AB，AD,所以AP,A民AD两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间

直角坐标系如图所示.

由⑴得PA//CQ,又因为PQ//AC,所以四边形APQC为平行四边形，所以CQ=AP.

不妨设9=1,由题意得4(0,0,0),8(1,0,0)/(0,0,1),。(2,1),0(0,2,0).

UULULHU

所以BP=(-1,0,1),BQ=(1,2,1).

ruur

设平面B