概率与统计-高中数学

12.1随机事件的概率

一、选择题

1.把12人平均分成两组，再从每组里任意指定正、副组长各一人，其中甲被指

定为正组长的概率是()

1111

A.诵B.-CqD.-

解析甲所在的小组有6人，则甲被指定正组长的概率为!.

6

答案B

2.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为'-、—>―,

706968

且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为()

331

A.—B.—C.—D.—

68697070

解析加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得

加工出来的零件的次品率p=l-丝X竺x"=3.

70696870

答案C

3.某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机

抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是()

解析记4听合格的饮料分别为4、4、4、4,2听不合格的饮料分别为5、民，

则从中随机抽取2听有(4,4),(4,4),(4,4),(4,6),(4,氏)，(4,

4),(4,4),(4,B),(4,B),(A,4),(A,B),(4,B),(4,5),(4,

B),(8，B),共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(4,身)，(4,B),

(4,A),(4,4),(4,0,(4,B),(4,㈤，(4,反)，®旦)，共9种,

9Q

故所求概率为P=—=~.

155

答案B

4.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.

则此射手在一次射击中不够8环的概率为().

A.0.40B.0.30C.0.60D.0.90

解析依题意，射中8环及以上的概率为0.20+0.30+0.10=0.60,故不够8

环的概率为1-0.60=0.40.

答案A

5.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1

个白球的概率是（）.

A±RA39

1010510

解析法一（直接法）：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类:

两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共

9

有10种，所以所求概率为正，故选D.

法二（间接法）：至少一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3

IQ

个红球共1种取法，故所求概率为1-沔=沔，故选D.

答案D

6.掷一枚均匀的硬币两次，事件朋一次正面朝上，一次反面朝上；事件也至

少一次正面朝上，则下列结果正确的是（）.

A.P（助=＜，P（附=~B.P（删=；,P（附

1313

C.P（M）=-,P（M=7D.=5，P（A）=亍

解析O={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，人{（正，反），（反,

13

正）},及={（正，正），（正，反），（反，正）},故尸励=5,尸（加=不

乙T：

答案D

7.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两

倍的概率是（）.

1111

A.-B.-C.~D.-

boyz

解析采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：

{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6个,符合“一个数是另一个

数的两倍”的基本事件有{1,2},{2,4},共2个，所以所求的概率为)

答案B

二、填空题

8.甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队

需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

解析由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概

率尸=.所以选D.

答案-

4

9.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件力为出现奇数点，事件8为出现2

点，已知PC4)=<，P®=J,则出现奇数点或2点的概率为

26

I19

解析因为事件4与事件8是互斥事件，所以

263

依上2

答案3

10.从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球,

则取出的2个颜色相同的概率是_______.

「202024

解析概率尸=至十方"+至=7^

CioCiovio10

公-4

答案正

11.在△/及7中，角力、B、。所对的边分别是a、b、c,4=30°,若将一枚质地

均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b,则满足条件的三角

形有两个解的概率是.

a>Z?sin^,

解析要使△力固有两个解，需满足的条件是因为4=30。，所以

b<2a,

;满足此条件的a,6的值有8=3,刘=2；6=4,a=3；6=5,a=3；

b>a

b=5,<3=4；b=&,a=4；6=6,a=5,共6种情况，所以满足条件的三角形有

两个解的概率是捺=(.

1

1

案

答-

12.甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风

的概率分别为0.8和0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为

解析由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1一

(1-0.8)(1-0.75)=0.95.

答案0.95

三、解答题

13.已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能

被确认为止.

(1)求检验次数为3的概率；

⑵求检验次数为5的概率.

解析(1)设“在3次检验中，前2次检验中有1次检到次品，第3次检验到次品”

为事件4则检验次数为3的概率为

尸㈤,a=2i-

(2)记“在5次检验中，前4次检验中有1次检到次品，第5次检验到次品”为

事件B,记“在5次检验中，没有检到次品”为事件C,则检验次数为5的概率

为

⑵至少2人排队的概率.

解析记“没有人排队”为事件4“1人排队”为事件6,“2人排队”为事件

C,力、B、。彼皮互斥.

(1)记“至多2人排队”为事件£,

则P(4=尸(/+8+。=尸(力+尸⑶+/(0=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)记“至少2人排队”为事件〃“少于2人排队”为事件A+B,那么事件D

与事件4+6是对立事件，

则/(。)=1一。4+而=1一[/(用+尸(而]=1—(0.1+0.16)=0.74.

15.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到

151

红球的概率为牙，得到黑球或黄球的概率是冠，得到黄球或绿球的概率是万，试求

得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？

解析分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件/、B、aD.由于4、B、aD

为互斥事件，根据已知得到

ri1

-+PB+PC+PD=1,pB=『

4

51

<PB+PC=—,解得<p。=6？

PC+PD=《，

pD

12=43

...得到黑球、黄球、绿球的概率各是5j,j.

16.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛

结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结

果相互独立.已知前2局中，甲、乙各胜1局.

(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；

(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.

解析记4表示事件：第/局甲获胜，，=3,4,5,8,表示事件：第j・局乙获胜，

J-3,4.

(1)记力表示事件：再赛2局结束比赛.

由于各局比赛结果相互独立，故

尸(力)=夕(44+&A)=W44)+尸(区A)=尸(4)尸(4)+m)PIBJ

=0.6X0.6+0.4X0.4=0.52.

(2)记6表示事件：甲获得这次比赛的胜利.

因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛

中，甲先胜2局，从而

B~AjA\+B.4As+AnB}A：,,

由于各局比赛结果相互独立，故

P⑦=P(44)+2(444)+。(4£4)

=尸(4)-(4)+m)〃(4)尸(4)+p(4)P⑻尸(4)

=0.6X0.6+0.4X0.6X0.6+0.6X0.4X0.6=0.648.

12.2古典概型

一、选择题

1.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体

玩具）先后抛掷3次，至少出现一次5点向上的概率是（）

A.5216B.25216C.31216D.91216

解析抛掷3次，共有6X6X6=216个事件.一次也不出现5,则每次抛掷都

有5种可能，故一次也未出现5的事件总数为5X5X5=125.于是没有出现一次

5点向上的概率P=125216,所求的概率为1-125216=91216.

答案D

2.先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6）,

骰子朝上的面的点数分别为，则是奇数的概率是（）

A.B.C.D.

答案C

3.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点

中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（）

A.318B.418

C.518D.618

解析正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的

基本事件.两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线），包括10个基

本事件，所以概率等于518.

答案C

4.连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于6的概率为（）.

A.536B.566C.IllD.511

解析设“朝上的点数之和等于6”为事件A,则P（A）=536.

答案A

5.从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概

率是（）.

A.35B.25C.13D.23

解析取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数

的概率P=l—515=23.

答案D

6.某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机

抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是().

A.115B.35C.815D.1415

解析从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件

共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料

的概率为P=915=35.

答案B

7.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这

些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是

().

A.112B.110C.325D.1125

解析小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为：81000=1125.

答案D

二、填空题

8.有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字.现将

它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S,则“S

恰好为4”的概率为.

解析本题是一道古典概型问题.用有序实数对(a,b,c)来记连续抛掷3次所得

的3个数字，总事件中含4X4X4=64个基本事件，取S=a+b+c,事件“S

恰好为4”中包含了(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)三个基本事件，则P(S恰好为

4)=364.

答案364

9.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10

个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是

解析组成满足条件的数列为：从中随机取出一个数共有取法种，其中小于的

取法共有种，因此取出的这个数小于的概率为.

答案

10.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4

个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的

概率是,

解析方法1：设事件A：甲乙两人中至少有一人抽到选择题.将A分拆为B：“甲

选乙判”，C：“甲选乙选”，D：“甲判乙选”三个互斥事件，

则P(A)=P(B)+P(C)+P(D).

而P(B)=C16cl4C110C19,P(C)=C16C15C110C19,P(D)=C14«C16C110C19,

P(A)=2490+3090+2490=7890=1315.

方法2：设事件A：甲乙两人中至少有一人抽到选择题，则其对立事件为A：

甲乙两人均抽判断题.，P(A)=C14cl3C110C19=1290,；.P(A)=1—1290=7890

=1315.

故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为1315.

答案1315

11.先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记作a,b,与5分别作为三

条线段的长，则这三条线段能够构成等腰三角形的概率是.

解析基本事件的总数是6X6=36,

当a=l时，b=5符合要求，有1种情况；

当a=2时，b=5符合要求，有1种情况；

当a=3时，b=3,5符合要求，有2种情况；

当a=4时，b=4,5符合要求，有2种情况；

当a=5时，b=1,2,3,4,5,6均符合要求，有6种情况；

当a=6时，b=5,6符合要求，有2种情况.

故所求其概率为：1436=718.

答案718

12.将一颗骰子投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax—by=0与圆(x—2)2+

y2=2相交的概率为.

解析圆心⑵0)到直线ax—by=0的距离d=|2a|a2+b2,当dV2时，直线与

圆相交，则有d=|2a|a2+b2V2,得b>a,满足题意的b>a,共有15种情况,

因此直线ax-by=0与圆(x-2)2+y2=2相交的概率为1536=512.

答案512

三、解答题

13.从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动.

(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；

(2)求所选2人中至少有一名女生的概率.

解析设2名女生为al,a2,3名男生为bl,b2,b3,从中选出2人的基本事件

有:(al,a2),(al,bl),(al,b2),(al,b3),(a2,bl),(a2,b2),(a2,

b3),(bl,b2),(bl,b3),(b2,b3),共10种.

(1)设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A,则A包含的事件有：(al,bl),

(al,b2),(al,b3),(a2,bl),(a2,b2),(a2,b3),共6种，

.*.P(A)=610=35,

故所选2人中恰有一名男生的概率为35.

⑵设''所选2人中至少有一名女生”的事件为B,则B包含的事件有：(al,a2),

(al,bl),(al,b2),(al,b3),(a2,bl),(a2,b2),(a2,b3),共7种，

/.P(B)=710,

故所选2人中至少有一名女生的概率为710.

14.有编号为Al,A2,…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm),得到下

面数据：

编号AlA2A3A4A5A6A7A8A9A10

直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.53

1.47

其中直径在区间［1.48,1.52］内的零件为一等品.

(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；

⑵从一等品零件中，随机抽取2个.

①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；

②求这2个零件直径相等的概率.

解析(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽

取一个为一等品”为事件A,则P(A)=610=35.

⑵①一等品零件的编号为ALA2,A3,A4,A5,A6.

从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：

{Al,A2},{Al,A3},{Al,A4},{Al,A5},{Al,A6},{A2,A3},

{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},

{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有15种.

②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能

结果有：

{Al,A4},{Al,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有6种.所

以P(B)=615=25.

15.设平面向量am=(m,1),bn=(2,n),其中m,nG{1,2,3,4).

(1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果；

⑵若“使得amL(am-bn)成立的(m,n)”为事件A,求事件A发生的概率.

解析(1)有序数组(m,n)的所有可能结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),

(4,4),共16个.

(2)由am_L(am—bn)，得m2—2m+1—n=0,即n=(m—1)2,由于m,n£{1,2,3,4},

故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4),共2个，又基本事件的总数为16,

故所求的概率为P(A)=216=18.

16.新华中学高三(1)班共有学生50名，其中男生30名、女生20名，采用分层

抽样的方法选出5人参加一个座谈会.

⑴求某同学被抽到的概率以及选出的男、女同学的人数；

⑵座谈会结束后，决定选出2名同学作典型发言，方法是先从5人中选出1名

同学发言，发言结束后再从剩下的同学中选出1名同学发言，求选出的2名同学

中恰好有1名为女同学的概率.

解析(1)某个同学被抽到的概率P=550=110,根据分层抽样方法，应抽取男

同学3人，女同学2人.

(2)记选出的3名男同学为Al,A2,A3,2名女同学为Bl,B2.

则基本事件是：

(Al,A2),(Al,A3),(Al,Bl),(Al,B2),(A2,Al),(A2,A3),(A2,B1),

(A2,B2),(A3,Al),(A3,A2),(A3,Bl),(A3,B2),(Bl,Al),(Bl,A2)(B1,

A3),(Bl,B2),(B2,Al),(B2,A2)(B2,A3),(B2,B1).

基本事件的总数为20个，其中满足“恰好有1名为女同学”的基本事件有12

个，故所求的概率P=1220=35.

【点评】近几年新课标高考对概率与统计的交汇问题考查次数较多.解决此类题

目步骤主要有：，第一步：根据题目要求求出数据有的用到分层抽样、有的用

到频率分布直方图等知识,,第二步：列出所有基本事件，计算基本事件总数；，

第三步：找出所求事件的个数；，第四步：根据古典概型公式求解；，第五步：明

确规范表述结论.

12.3几何概型

一、选择题

1.已知地铁列车每10min（含在车站停车时间）一班，在车站停1min,则乘客

到达站台立即乘上车的概率是（）

1111

A-wB-9c-nD-8

解析试验的所有结果构成的区域长度为10min,而构成事件/的区域长度为1

min,

故P（A）==

答案A

2.设不等式组表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点，则此

Q<y<2

点到坐标原点的距离大于2的概率是（）

A.-B,C.-D.

4264

"0<V<2

解析题目中二一一、表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减

0<v<2

2X2--,T-2:._

去四分之一圆的面积部分，因此尸=------——==，故选D.

2x24

答案D

3.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，

豆子落在正方形内切圆的上半圆（圆中阴影部分）中的概率是（

11

A-4B,8

nJI

C-TD-T

解析设正方形的边长为2,则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率

答案D

4.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中

CQQO

解析由几何概型知，不叽=可，故S阴=5X22=*

J正方形JJJ

答案B

S

5.在面积为S的△/8C的边上上任取一点只则的面积大于a的概率是

（）.

1132

AqB.-C.-D.-

解析由△/SC,有公共底边比；所以只需尸位于线段胡靠近8的四分之

AF3

一分点6与4之间，这是一个几何概型，砺=1

答案C

6.ABO）为长方形,46=2,BC=\,。为46的中点，在长方形/四内随机取一

点，取到的点到。的距离大于1的概率为（）.

ITJIJI

A•了B.1-C.y

解析如图，要使图中点到。的距离大于1,

JI

9——

2JI

则该点需取在图中阴影部分，故概率为Q=—^-=1一1.

答案B

7.分别以正方形/腼的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示,

若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）.

X

AB

4—nJT—2

A.2B，2

4—nn—2

C.D4

4

解析设正方形边长为2,阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接

正方形的面积，即为“一2,则阴影区域的面积为2n—4,所以所求概率为々

2冗一4兀一2

-4-=21

答案B

二、填空题

8.如图，已知正方形的面积为10,向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在

阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约

为.

200—114

解析根据随机模拟的思想，这个面积是10X—=4.3.

答案4.3

9.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若

此点到圆心的距离大于;，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于点则去打

篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为.

解析设力=｛小波周末去看电影｝,

8=（小波周末去打篮球｝,。=｛小波周末在家看书｝,

｛小波周末不在家看书｝,如图所示，\

11

122

--

C4Jr

S

3

则p(m=1

科生13

''木16

10.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段

AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为.

解析设线段AC的长为xcm,则线段CB的长为(12-x)cm,那么矩形的面积为

x(12-x)cm2,由x(12-x)>20,解得2<x<10。又0<x<12,所以该矩形面积

小于32cm2的概率为2,故选C.

3

答案-

3

11.在区间［0,1］上任取两个数a,b,则关于x的方程f+2ax+82=0有实数根

的概率为.

解析由题意得4=4a2-4A2>0,

(0—

,：a,be[0,1],二，OWKL

画出该不

〔心力，

等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示).故所求

概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为g.

答案2

12.如图所示，在直角坐标系内，射线勿1落在30°角的终边上，任作一条射线

0A,则射线以落在内的概率为_______.

解析如题图，因为射线以在坐标系内是等可能分布的，则勿落在Ny”内的

加“601

概率，为Qnn=£.

3600

答案I

0

三、解答题

13.如图所示，在单位圆。的某一直径上随机的取一点。，求过点0且与该直径

垂直的弦长长度不超过1的概率.

A/3

解析弦长不超过1,即I0Q\2乎，而0点在直径4?上是随机的，事件A={弦

乙

长超过1}.

A/3

.X2

由几何概型的概率公式得以⑷=—^―4

...弦长不超过1的概率为1—尸(心=1

2,

14.设。为坐标原点，点尸的坐标(x—2,x~y).

(1)在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽

到两张卡片的标号分别记为x,y，求I。网的最大值，并求事件取到最大

值”的概率；

(2)若利用计算机随机在［0,3］上先后取两个数分别记为x,y,求尸点在第一象

限的概率.

解析(1)记抽到的卡片标号为(x,y),所有的情况分别如下表：

(x,y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)

P(x—

(―(—L(—1，(0,—

2,x(0,1)(0,0)(1,2)(1,1)(1,0)

1,0)—1)-2)1)

-y)

OP1乖101乖1

其中基本事件是总数为9,随机事件A"|OP|取最大值”包含2个基本事件，故

9

所求的概率为P(A)=-

⑵设事件B为“P点在第一象限”.

C0WxW3,

右kyW3,

则其所表示的区域面积为3X3=9.

〃0WxW3,

0WyW3,

由题意可得事件B满足<c、c

x—2>0,

<x—y>0,

即如图所示的阴影部分，

15

其区域面积为1X3-]X1X1=2.

5

25

・•.P(B)=g=市

15.已知|x|W2,|y|W2,点尸的坐标为(x,y),求当x,y£R时，户满足

(x-2)2+(y-2)2<4的概率.

思路分析由题意画出图象可求面积之比.

解析如图，点尸所在的区域为正方形48口的内

部(含边界)，满足5—2)2+3—2)2忘4的点的区域

为以⑵2)为圆心，2为半径的圆面(含边界).

LX22

4jc

...所求的概率P尸=二.

【点评】解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区

域，对照定义可求得结果，较好地体现了数形结合思想的重要性.

16.已知集合力={—2,0,2},B={~\,1},设〃={(x,力1x64yG国,在集

合"内随机取出一个元素(x,y).

(1)求以(心力为坐标的点落在圆系+”=1上的概率；

jx—y+2^0,

⑵求以(x,力为坐标的点位于区域。：1x+y—2W0,内(含边界)的概率.

〔在-1

解析(1)记“以(x,力为坐标的点落在圆/+/=1上”

为事件4则基本事件总数为6.因落在圆x?+/=l上

21

的点有(0,-1),(0,1)2个，即4包含的基本事件数为2,所以产(4=公=可.

63

(2)记“以(％力为坐标的点位于区域内”为事件6,

则基本事件总数为6,由图知位于区域。内(含边界)

的点有：(一2,—1),(2,一1),(0,-1),(0,1),

42

共4个，即5包含的基本事件数为4,故〃(0=工=可.

63

12.4禺散型随机变量及其分布列

一、选择题

1.已知随机变量才的分布歹I如下表：

12345

1241

Pm

15T5153

则加的值为（）

1

12-D

A-TiB.石5

31

得-

解析利用概率之和等于1,m--5-

15

答案c

2.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差

为f,则“f25”表示的试验结果是（）

A.第一枚6点，第二枚2点

B.第一枚5点，第二枚1点

C.第一枚1点，第二枚6点

D.第一枚6点，第二枚1点

解析第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5,即只能等于5,故选〃

答案D

3.离散型随机变量才的概率分布规律为产（才=力=厂/J（〃=L2,3,4）,其

15

中a是常数，则尸（5＜才＜吊）的值为（）

乙乙

23

A-3Bq

45

C.7D.—

56

解析由^1X2+2X3+3X4+4X5^Xa=1-

〃45

矢口三a=1

□4

故=尸⑴+尸⑵=^x；+^x^=1.

答案D

4.设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量才去描述1次试验的成功

次数，则/（乃=0）的值为（）.

111

A---

B.23D.5

解析设X的分布列为:

即“乃=0”表示试验失败，“¥=1”表示试验成功，设失败的概率为p,成功的

概率为20.由0+2夕=1,则0=］因此选C.

O

答案c

5.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色

后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则尸(¥=12)等于

().

解析“1=12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白

球，因此

答案D

6.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量f表示所选3

人中女生的人数，则尸(f〈l)等于().

1234

儿5-B.5-5-D.5-

解析P(fWl)=1一尸(f=2)=1--^r=§.

答案D

7.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，

用完后装回盒中，此时盒中旧球个数片是一个随机变量，则〃(1=4)的值为

).

1272721

A，220B，55C，220D，55

解析用完后装回盒中，此时盒中旧球个数片是一个随机变量.当才=4时，说

r*r207

明取出的3个球有2个旧球，1个新球，.•.以1=4）=等=两，故选C.

答案c

二、填空题

8.随机变量X的分布列如下：

才-101

Pabc

其中a,b,c成等差数列，则小|*=1）=

解析,:a,b,c成等差数列，•,.Zbna+c.

12

又a+6+c=l,/.b=~,.•.尸（|川=1）=a+c=..

OO

9

答案可

O

9.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的

概率为竺，则该队员每次罚球的命中率为____________.

25

解析由1—p2=更得p=3

255

答案-

5

10.设随机变量才的分布列为尸（才=1）=噌，（41,2,3,4）,贝I=

解析启〈乃〈目=0（¥=1）+尸（%=2）+/（乃=3）=|.

答案1

□

11.如图所示，/、6两点5条连线并联，它们

在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.

现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信

息总量为f，则P(&>8)=

解析法一由已知f的取值为7,8,9,10,

f的概率分布列为

32

105

:.P(f28)=P(f=8)+夕(f=9)+尸(f=10)

__3_21__4

=TO+5+TO=?

C2cl4

法二尸(f》8)=i一尸(f=7)=1—安=m

C55

田生4

答案i

12.甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相

同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球.现分别

从甲、乙两袋中各随机抽取2个球，则取出的红球个数X的取值集合是.

解析甲袋中取出的红球个数可能是0,1,2,乙袋中取出的红球个数可能是0,1,

故取出的红球个数X的取值集合是｛0,1,2,3).

答案｛0,1,2,3｝

三、解答题

13.口袋中有A(〃6N*)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红

球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球

7

的次数为了若尸(才=2)=右，求：

(DA的值；

(2)二的分布列.

解析(1)由尸(1=2)=看知己'乂萨=击，

.*.90/7=7(/?+2)(/?+3).

".n=l.

(2)¥=1,2,3,4

777

且。(/三口二行，/?(Z=2)=—,/(¥=3)=诉,

1UOUJL乙U

1

尸(淤=4)=

120,

...1的分布列为

X1234

7771

P

1030120T20

14.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个.从袋中任取3个小球，按3个

小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用乃表示取出的

3个小球上的最大数字，求：

(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)随机变量乃的分布列；

⑶计分介于20分到40分之间的概率.

解析(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为4则尸储)=

您555乙

%=§,

⑵由题意知，乃有可能的取值为2,3,4,5,取相应值的概率分别为.

Cc；+cC1

尸(X=2)=Cio-30；

c；cl+c：c；2

产(1=3)=--^15;

z^2z>l।

十3

产(¥=4)=

10;

(X+CC8

产(1=5)=F—=i5-

15.在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50

元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某

顾客从此10张奖券中任抽2张，求：

（1）该顾客中奖的概率；

⑵该顾客获得的奖品总价值才元的概率分布列.

解析（1）该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是

等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率

C：C；+C：302

=后=亍

（或用间接法,即-Ai-iH）

（2）依题意可知，C的所有可能取值为0,10,20,50,60（元），且

..C簿1C；C；2

=

p(.x^s)=c?=[>户(1=10)="CT=5,

/、C；1/、C]Ce2

户(尸20)=武=^m=50)=豆=西

C；C：'1

产(1=60)=

所以1的分布列为:

才010205060

12121

P

35151515

【点评】概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经

常出现，其解题的一般步骤为：，第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的

题意，确定离散型随机变量的所有可能值；，第二步：利用排列、组合知识或互

斥事件，独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；，第三步：画

出随机变量的分布列；，第四步：明确规范表述结论；

16.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参

加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则

就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的

概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数1的分布列，

并求李明在一年内领到驾照的概率.

解析X的取值分别为1,2,3,4.

¥=1,表明李明第一次参加驾照考试就通过了，

故尸(才=1)=0.6.

1=2,表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，

故.(1=2)=(1—0.6)X0.7=0.28.

1=3,表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，

故尸(¥=3)=(1—0.6)X(1-0.7)X0.8=0.096.

片=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过，

故户(1=4)=(1-0.6)X(1-0.7)X(1-0.8)=0.024.

.♦.李明实际参加考试次数¥的分布列为

1234

P0.60.280.0960.024

李明在一年内领到驾照的概率为

1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)=0.9976.

12.5二项分布及其应用

一、选择题

1.甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占

20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%则甲市为