2021年高考数学（文）模拟考场仿真演练卷(新课标Ⅰ卷)（解析版） (三)

绝密★启用前

2021年高考数学（文）模拟考场仿真演练卷

第四模拟

本试卷共23题（含选考题）.全卷满分15（）分.考试用时120分钟.

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时，洛答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题.每小题5分洪60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={X£N|XW1},8={-1,0,1,2},则AD3的子集的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由题意人口8={0,1},因此它的子集个数为4.故选D.

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】D

【解析】因为z=l+i,所以三二^二（1+，）（1—1）一力二——2/（1+>=_27.故选D.

Z1+Z\+i1+i

3.已知等差数列{q}满足4a3=34,则｛q｝中一定为零的项是（）

A./B.a?C.。8D.。9

【答案】A

【解析】设等差数列{4}的公差为d,由4%=3a2得q=-54,，4=4+5d=0,故选A.

4.已知平面=加是。内不同于/的直线，那么下列命题中塔年的是（）

A.若用〃〃，则加/〃B.若加/〃，则

C.若机_L/7,则机_L/D.若机_L/,则机

【答案】D

【解析】A选项：m//户,由又，〃ua,则由线面平行的性质可用相〃/,故A正确.

8选项：mill,由aD/=/，,由线面平行的判定可得相〃/，故B正确.

C选项：由an〃=/，则/<=/?,又ml。,所以加_L/,故C正确.

。选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故O错误.

故选Z）

5.4,B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量叫（。，叱（。与时间”天）的关系如图所示,

则一定有（）

A.两机关单位节能效果一样好

B.4机关单位比8机关单位节能效果好

C.A机关单位的用电量在［0,记上的平均变化率比B机关单位的用电量在［0,相上的平均变化率大

D.4机关单位与8机关单位自节能以来用电量总是一样大

【答案】B

【解析】由图可知，活动开始后两机关的用电量变化率不同，节能效果也就大同，故A错；在相同的时间

内，A机关单位比B机关单位用电量减少的多，故B对；在［0,Z0］上两机关的用电量都在减少，所以变化

率都为负值，A机关单位的用电量变化的嗝度更大，所以变化率反而更小，故C错；自节能以来，A机关单

位比3机关单位用电量大，在4天时用电量相等，故D错.故选B.

6.世界著名的数学杂志《美国数学月刊》于1989年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题.题中的正六边形棋

盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如下图），若在棋盘内随机取一点，则此点取

自白色区域的概率为（）

1115

C

6-B.3-4-D.一

A.I16

案

答J1B

【解析】直接数出正六边形共包含菱形48个，其中白色16个，则此点此点取自白色区域的概率

白色区域面积161

故选B.

正六边形面积483,

7.在平行四边形A8CO中，A5=2，40=逐，点尸为边CD的中点，若衣.丽=（），则而./=

（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】•・•而・丽=o.・..A尸_LA5,如图建立平面直角坐标系，F（0,2）,C（l,2）,B（2,0）,

・••衣=（1,2）,丽二（一2,2）,・••乔.恁=-2+4=2,故选C

8.已知边长为3的正LJA3C的顶点和点。都在球。的球面上.若AO=6,且AQ_L平面ABC,则球。的

表面积为（）

A.32岳B.48乃C.244D.124

【答案】B

【解析】由题意知：球。为三棱锥力—ABC的外接球，・・・：］ABC为边长为3的正三角形，.（ABC的外接

圆半径厂二=又AD_L平面ABC,AO=6，..•球。的半径

R==J^r?=26，「•球0的表面积S=4乃R2=48).故选B.

\12J

9.执行如图所示的程序框图，若输出的S=0,则空白判断框中可填入的条件是()

A.n>3?B.n>4?C.〃>5?D.〃>6?

【答案】C

【解析】模拟执行程序框图，

输入5=160，〃=1,不满足SW10,则S=80，n=2.需不满足判断框，循环；

不满足SK10,则S=40，〃=3,需不满足判断框，循环；

不满足SW10,则S=20,〃=4,需不满足判断框，循环；

不满足SK10,则S=10,〃=5,需不满足判断框，循环；

满足SK10,则5=0，〃=6,需满足判断框，输出5=0；

判断框中的条件应为：〃>5?.故选C.

〃[3x+l,x<1"、「/、

10.已知函数"x)={2,,，若几〉m，且/(〃)=/(加)，设，=〃一加，则()

A.f没有最小值B./的最小值为百-1

417

C.1的最小值为一D.1的最小值为不

312

【答案】B

【解析】如图，作出函数/(x)的图象，••・/(〃)=/(相)且〃>机，则〃?£1,且〃>1,

2-2n>\/_

:.3m+1=n2-1»即加=-n-----由0<^-1<4,解得1〈〃工©

3

n2-21/2C13、217

n—tn=n-------=—(n—3n—2)=—(zn—)H----,

333L2J12

又「IV〃“有，，当〃=有时，(〃一加入皿二石一1•故选B

11.已知数列｛4｝满足q+〃2=°，%+（T芦~（=2,则数列｛〃“｝的前2020项的和为（）

A.0B.1010C.2020D.2024

【答案】C

【解析】由*+（-1）等4=2,4+%=°，令〃=123,4,…㈠）竽勺=2

可得%-4=2,4一/=2,两式相加可得6+4=4,%+%=2,《+4=2,

两式相加/+%=°，％~a5=2,〃8-。6=2=>%+6=4,

进行推论归纳可得4卜3+a4k-2-0，a4k-\+a4k=4,kwN",

所以数列｛a,,｝的前2020项的和为等x4=2020.故选C.

12.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京巾和张家口巾联合举行.这

是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克

运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬

残奥会）国家.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场"鸟巢”的钢

结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点5

9

分别向内层椭圆引切线4C,BD（如图），且两切线斜率之积等于-yr，则椭圆的离心率为（）

D,正

2

【答案】B

【解析】若内层椭圆方程为J由离心率相同，可设外层椭圆方程为

「，+/:、2=1(团>1)，,4一〃肛0),8(0,mb),设切线AC为y=勺(X+rna),切线BD为

(may(mb)

y=k、(x+ma)

y=kx+i?ib,/.v2，整理得(/%；+b2)x2+2m/k*+m2a"k；-a2b2=0,由△=0知:

2b+F=1

⑵也3K2）2_4（〃2K2./）（苏/好一々2加）=0,整理得林=与―二

a"1-m

y=kox+mb

-h2A49A2Q

同理,x2y2，可得公=—y"(52—1)，J(A/,)?===(一启)2，即一7=77，故

2242

—+V=1aa16a16

a~b-

二、填空题：本题共4小题、每小题5分，共20分.

13.在一组样本数据为（西,凹）,32,%），…，（天,券）（〃之2，x，w，…，Z不全相等）的散点图中，若所有

样本点（%,丫）（，=1,2「・,〃）都在直线〉=-3工一3上，则这组样本数据的相关系数r=

【答案】-1

【解析】因为-1<0,所以这两个变量成负相关，故这组样本数据的相关系数为负值，又所有样本点

2

（4》改=1,2「一,〃）都在直线丁=一*一3上，则上|=1,所以r=—1.

14.设双曲线C=\{a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi,尸2,离心率为君.P是C上一点,且KP_LF2P.

a2tr

若△尸Fi尸2的面积为4,则。=

【答案】I

【详解】法一：设|「月|=枷，仍后|=〃，尸为双曲线右支上一点,

2

则SjjP-FqrFj=-2inn=A,m-n=2a,n^+n=4c\

从而修=4+4,又。=3=区,从而4=1.

a

.2

法二：由题意得，SPFF=-^—=4,得。2=4,

-12tan45

又e=£=逐，且廿=标+方2,所以a=i.

a

15.已知函数/（%）=2sin（s+”）（G>0,|。|<］）与函数y=g（幻的部分图像如图所示，且函数的

图像可由函数的图像向右平衅个单位长度得到，则。，函数/*）在区间

7TJT

【解析】由题意可知将函数y=g（x）的图像上的点（一一,0）向右平移一个单位长度,

34

可得了（此的图像在五点法作图时的第一个点，坐标为（一2+（,0）,即（-芸,0），

由/（1）的部分图像可知五点法作图时的第二个点坐标为（学,0），

12

71.八

---0+0=0co=2

J2,解得•/./(x)=2sin(2x+-),由一卫得0《2工+工4生,

则

5,71(b=—6121263

——co+(p=乃

112甲6

则当2x+5=3,工=5时，sin(2x+?)11m=1,当2x+£=?,x=得时,sin(2x+=-^-»

o2ooo31262

故函数/（功在区间［—菅,£］的值域为［-石,2］.故答案为：2：［-石,2］

16.已知函数"r）=|lnM一纨有三个零点，则实数。的取值范围是.

【答案】07。7—.

e

【解析】由函数y（x）=|lnx|一©有三个零点，可转化为y=|lnR与直线y=ax有三个交点，

显然把0时不满足条件.当。>0时，若x>L设切点坐标为（xo,Inw）,由了=1111得旷=一,

x

所以切线的斜率为'，所以切线方程为y—lnxo=，（工一刈），由切线过原点，得xo=e,此时切线的斜率

//

为L

e

如图，

结合图象可得当OVaV1，且%>1时，直线y=ai与y=|lnx|有两个交点；

e

当OJVL,且OVxVl时，直线y=ar与y=|lnx|有一个交点，

e

所以实数。的取值范围是OVaV

e

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必

须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.（12分）在DABC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c.C=1,A8边上的高为JJ.

（1）若S^C=2G，求口工/。的周长；

（2）求2+g的最大值.

ab

【解析】（1）依题意%8c=,absinC=」c・G=2G,可得c=4,（2分）

22

jr

因为C=M，所以而=8.由余弦定理得"+）2—06=02,

因此（。+份2=/+3"=40,即…=2屈.（5分）

故口44。的周长为2屈+4.（6分）

（2）由（1）及正弦定理可得,

212b+a2b+〃2sinB+sinA

—I—=---=---5/7sin（A+。）,（其中。为锐角,

abab2c―忑

且tanO=2）（10分）

2

由题意可知O<A<2:,因此，当a+e=C时，2+!取得最大值H2分）

32ab3

18.（12分）如图，在四棱锥P—48co中，底面A8CO为直角梯形，ADHBC，NA£>C=90。，平面P4O_L

底面ABC。，ZPBC=90°,PA=AD=2BC=2,CD=6

（1）求证：PA=PD；

（2）求点。到平面B钻的距离.

【解析】（1）取AZ）的中点Q，连接8。，PQrADHBC，。为4短的中点，AD=2BC=2,

•.BC//QD,8。=。短，.•.四边形8C。。为平行四边形,

:.BQ/ICD,vZADC=90°,A。J_BQ,（3分）

・；/PBC=90"AD/IBC.:.AD±PB.

又P5n8Q=B,平面PBQ.

・.・PQu平面P8Q,:,PQ1AD.

又。为AO的中点，所以Z4=PZ>（6分）

(2),・•平面QAZ)J_平面438,平面PAOP)平面4BC£)=4。，PQA-AD.

.•.尸(2_1平面43。。，..2。_1(2&

..PB=[p^+QB?=yjp^-A^+CD2=34-1+3=瓜

AXX（9分）

S/■8O/cx）」AOCO」2G=6,

设点D到平面PAB的距离为h，

则由%—=Vp-ABD，得;S人皿•尸。二；S./，

,h=SABD.PQ.&港.2屈

SPAB5

~T~

即点D到平面PAB的距离为口叵.（12分）

5

19.（12分）单板滑雪型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的名运动员按照预赛成绩由低到高

的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单

次最高分作为比赛成绩.现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：

运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩

分站

第1次第2次第3次第1次第2次第3次

第1站80.2086.2084.0380.1188.400

第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60

第3站79.10087.5089.1075.3687.10

第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01

第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70

假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立.

(1)从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；

(2)假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推

荐谁参加，并说明理由.

(注：方差/=/不一寸+但一目…+(土一可]，其中二为4,x2....乙的平均数)

【解析】(I)设“该站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩”为事件A;

运动员乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为：

88.40、88.60、89.10、88.20、87.70,(2分)

运动员甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为：86.20、92.80.87.50、89.50、86.00,

其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩

...P(A)=],(5分)

(2)推荐乙.

甲5站的平均成绩为：焉=1(86.20+92.80+87.50+89.50+86.00)=88.40

乙5站的平均成绩为：(88.40+88.60+89.10+88.20+87.70)=88.40(8

甲5站成绩方差为：

%=#(88.40-86.20)2+(88.40-92.80)2+(88.40-87.50)2+(88.40-89.50)2+(88.40-86.00)2]=6.396

乙5站成绩方差为：

[(88.40-88.40)2+(88.40-88.60)2+(88.40-89.10)2+(88.40-88.20)2+(88.40-87.70)2]=0.212

(10分)

焉=，说明甲乙二人水平相当，s,>/表明乙的发挥比甲的更稳定

所以预测乙的成绩会更好.（12分）

20.（12分）己知焦点为尸的抛物线。：、2=23（〃>0）经过圆。：（大一4）2十（丁一4）2=产（r>0）的圆心，

点E是抛物线C与圆。在第一象限的一个公共点且|石耳=2.

（1）分别求〃与r的值；

（2）直线/：丁二丘+2交。于A,8两点，点G与点A关于x轴对称，直线AG分别与直线0。，OB交

于点M，N（。为坐标原点），求证：=

【解析】⑴由已知得抛物线C过点0（4,4）,所以16=2/4,所以，=2.（1分）

即抛物线C的方程为V=4x.

设点£（%,%）（%>（））,则|叫=%+1=2,所以』=1,于是得先=匹=2,即E（L2）,（3分）

将点E的坐标代入圆。的方程，得产=（l—4y+（2—4『=13,所以r=

所以p=2,r=\f\3：（5分）

（2）设A（%,y）,则6（%,一乂），显然，5,看均不为。・

y=kx+2、

联立J；2_以，消去儿得无于+（水一4）x+4=0.

4.4A4

则百+工2=B①，%/=工7②-

，1

由题意得&。0,且△=（〃:—4）-16j=16—32%>0,即（7分）

因为。（4,4）,所以直线0。的方程为丁二不故加（.与）.

直线08的方程为丁=&工，故N（石，星

若要证肱V],只需证2%=%+以，即证/+%=2不，即证八必+天,=2%々，

“2

y=立+2,/、/、/、/、

将，_代入上式，即证（乜+2）玉+（@+2）/=2%/,即证（2上一2）%%2+2。]+%2）=0

y»=Kx^+JL

③，（10分）

4

将①②代入③得（2%—2）x+—/_=（）,此等式显然成立.

7KTK

所以2yM=%+6恒成立，故|AM=|MN|.(12分)

21.(12分)已知函数/(x)=e=l+"人，g(x)=(a+l)e“-l.

X

(1)证明：^-/(x)<l；

(2)求/(%)的最小值.

【解析】⑴・・3〉0，・•・证明e'—/(x)Wl即证明上电即证明lnx+1—x0O.(l分)

X

]—Y

设(p(x)=lnx+l-x,(pf(x)=------(x>0),(2分)

x

A0<x<1H'j(p{x}>0,奴x)单调递增；x>l时质(％)<0,0(X)单调递戒.

，。(外2=MD=0,(4分)

Aln^+l-x<0即er-f(x)<1成立.(5分)

1—1—Inr_xVr+lnx

(2)f\x)=ex-J-2.(6分)

xA"

设力(k)=x2eK+Inx,hXx)=ex(x2+2x)+—>0,

・•・/?(A)在(0,+8)上单调递增，(8分)

•・•/(；)<(),〃⑴>0,

・•・存在为使〃(毛)=0,且0VXV/时力(x)<0即f'(x)<0,/(或递减;

x>/时力(幻>0即/'(x)>0,f(x)递增，(10分)

・•・/(.3/(%)=1，

%

•・・力(%)=°，，片e"十lnXo=O,・♦・/1+—1眸=0,

xo

-lnxb

：.xQe^=-lnxoe,

Vt(x)=xex在(0,+8)是单调递增,

/.x0=-lnx0,

1

/，、31+lnx011-lnx0.

:.fMmin=e"-------=------+------=1.（5分）

%%%而

（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题计分.

22.［选修4~Y：坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系X0X中，点A是曲线G：（x-2『+y2=4上的动点，满足2砺二两的点8的轨迹是C?•

（1）以坐标原点。为极点，工轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线G，G的极坐标方程；

（2）直线/的参数方程是〈（1为参数），点P的直角坐标是（一1,0）,若直线/与曲线G交于

y=fsma

M，N两点，当|PM|-|PN|=|MN/时，求cosa的值.

【解析】（1）把/+、2=22,尤=28§夕代入_?一4工+4+丁=4,

化简得曲线G的极坐标方程为夕=4cos氏（2分）

设动点8极坐标为（2,。），则由2而=次可知，点A的极坐标为（2夕,夕），

代入曲线G的极坐标方程。=4cos/得2/=4cos。，

所以由线G的极坐标方程为夕=2cos。.（5分）

（2）因为曲线。2的极坐标方程为夕=2cos氏所以p2=2pcos6,

所以9+y2=2x,即（冗一1）2+丁2=1,

即曲线C2的直角坐标方程为：（x—l）2+y2=i,（7分）

x