第20讲期末复习（讲义）

第20讲期末复习本节主要针对八年级下学期的知识点进行总结，主要有一次函数．代数方程．四边形和概率初步，特别是四边形章节是本学期的重难点，要求同学们可以和三角形全等的知识结合起来，需要添加辅助线，综合性较强，也是中考的热门考点之一．一、选择题1.如果函数y=kx+2的图象不经过第三象限，那么k的取值范围是（ ）A．k＞0 B．k≥0 C．k＜0 D．k≤0【难度】★【答案】D【解析】因为一次函数y=kx+2的图象不经过第三象限，所以图像经过第一、二、四象限或第二、四象限，∴k≤0．故选D．【总结】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．2.点A（3，a）和点B（2，b）在关于x的函数的图像上，则a和b的大小关系是（）A．a>b B．a<b C． a=b D．无法确定【难度】★【答案】B【解析】因为0，所以关于x的函数的值随着x的增大而减小，因为32，所以ab，故选B．【总结】本题主要考查一次函数图象的性质．3.下列方程中，是分式方程的为（）A． B． C． D．【难度】★【答案】A【解析】A．，分母中含有未知数的字母，所以它是分式方程，故本选项正确；B．由，得，是无理方程，不是分式方程，故本选项错误；C．，分母中不含有未知数的字母，所以它不是分式方程，故本选项错误；D．由原方程，得（x1）=2，分母中不含有未知数的字母，所以它不是分式方程；故本选项错误；故选A．【总结】考本题考查了分式方程的定义．4.下列二元二次方程中，没有实数解的方程是（ ）A．x2+（y1）2=0 B．x2（y1）2=0C．x2+（y1）2=1 D．x2（y1）2=1【难度】★【答案】C【解析】A通过分析，即得x=0，y=1，故本选项错误；B通过解方程得：x2=（y1）2，可推出x=0，y=1，另外还有其他得解，故本选项错误；C通过分析，x2=（y1）21，等式不成立，本方程无解，故本选项正确；D项通过解方程得：其中一组解为x=0，y=0，故本选项错误，故选C．【总结】本题主要考查分析解答高次方程，关键在于正确的对方程进行分析．5.某工程队修一条长为360米的公路，实际每天比原计划多修2米，结果提前6天完成任务，设原计划每天修x米，则可列方程为() A． B． C． D．【难度】★【答案】B【解析】设原计划每天修x米，根据题意，可列方程：，故选B．【总结】考察了分式方程在工程问题中的运用，．6.下列判断中，不正确的是（）A．如果，则 B． C． D．【难度】★【答案】D【解析】向量是矢量单位，如果向量相等，则包含方向和长度两个方面均是相等的故A对，B、C分别是向量的结合律和交换律，D选项应该是，故错误的选D．【总结】考察了向量的简单运算．7.下列事件中，是必然事件的是（）A．购买一张彩票中奖一百万元；B．打开电视机，任选一个频道，正在播新闻；C．在地球上，上抛的篮球会下落；D．掷两枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于6【难度】★【答案】C【解析】必然事件是一定条件下必然出现的现象，A、B、D都是不能确定的现象．【总结】本题考察了必然事件的概念，注意进行分析．8.如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为（）A．1或2 B．1或2C．1或2D．1或2【难度】★★【答案】C【解析】可转化为，原分式方程的增根是，分别将代入，得：．【总结】本题考察了增根的概念及分式方程的解法．9.如果点C、D在线段AB上，，那么下列结论中正确的是（ ）A．与是相等向量 B．与是相等向量C．与是相反向量 D．与是平行向量【难度】★★【答案】D【解析】解：∵点C、D在线段AB上，，∴．A．与方向相反；B．与方向相反；C．相反向量是方向相反，模相等的两向量，而＞；D．与共线，是平行向量，故本选项正确．故选D．【总结】此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是熟记相等向量、相反向量与平行向量的定义与数形结合思想的应用．10.抛掷两枚硬币，则正面全都朝上的概率是（）A． B． C． D．【难度】★★【答案】D【解析】该事件发生的可能性如右图所示：A代表正面朝上，B代表反面朝上，共四中可能，两次都是正面朝上的概率是．【总结】考察了随机事件发生的可能性，用树形图表示简单明了．11.如果直线y=2x+m与两坐标轴围成的三角形面积等于m，求m的值（）A．±3 B．3 C．±4D．4【难度】★★【答案】D【解析】一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积和k、b的关系是，在本题中k=2，b=m，代入上式即可求出m=4，故选D．【总结】考察了一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积问题，注意数形结合的运用．12.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形应符合下列条件中的（）A．AB//CD，BC=AD； B．AB=CD，OA=OC；C．AB//CD，OA=OC； D．AB=CD，AC=BD．【难度】★★【答案】C【解析】由AB//CD，OA=OC，得△AOB≌△COD，得AB=CD，又因为AB∥CD，所以ABCD是平行四边形，故选C．【总结】考察了平行四边形的判定定理的运用．13.下列命题中错误的是()A．矩形的两条对角线相等B．等腰梯形的两条对角线互相垂直C．平行四边形的两条对角线互相平分D．正方形的两条对角线互相垂直且相等【难度】★★【答案】B【解析】等腰梯形的性质有：同一底上的内角相等，对角线相等，没有对角线互相垂直的性质，故错误的选B．【总结】本题考察了等腰梯形的性质及特殊的平行四边形的性质，注意仔细辨析．14.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC⊥BD，BO=DO，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．∠OAB=∠OBA B．∠OBA=∠OBC C．AD∥BC D．AD=BC【难度】★★【答案】A【解析】A．∵AC⊥BD，BO=DO，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB=AD，CD=BC，∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，∵∠OAB=∠OBA，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AB=BC=AD=CD，∠BAD=90°，∴四边形ABCD是正方形形，故此选项错误；B．∵AC⊥BD，BO=DO，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB=AD，CD=BC，∴∠ABD=∠ADA，∠CBD=∠CDB，∵∠OBA=∠OBC，∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AB=BC=AD=CD，∴四边形ABCD是菱形，故此选项正确；C．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵∠AOD=∠BOC，BO=DO，∴△AOD≌△BOC，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，故此选项正确；D．∵AD=BC，BO=DO，∠BOC=∠AOD=90°，∴△AOD≌△BOC，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，故此选项正确．故选：A．【总结】此题主要考查了菱形的判定与性质，熟练地掌握菱形的判定，注意与矩形、正方形、平行四边形的判定进行比较，是提高同学们综合能力的关键．15.顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是()A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【难度】★★【答案】B【解析】顺次联结等腰梯形四边的中点得到的是菱形，根据中位线的性质得到．【总结】考察了中位线的性质及菱形的判定．16.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，BC=BD，∠A=100°，则∠C=()A．80° B．70° C．75° D．60°【难度】★★【答案】B【解析】在△ABD中，AB=AD，∠A=100°，∴∠ADB=∠ABD=40°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=40°，又∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=70°．【总结】本题考察了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的综合运用．17.如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）A．15cmB．20cm C．5cmD．10cm【难度】★★【答案】D【解析】∵OE⊥BD，OB=OD，∴BE=DE，∴．【总结】考察了平行四边形的性质及线段垂直平分线性质的综合运用．18.如图，平行四边形ABCD和平行四边形AEDB的边DC和ED在同一直线上则下列说法中错误的个数是()；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【难度】★★【答案】B【解析】向量包含两部分，相等向量是长度和方向都是一致的情况下才成立的，故①②都是正确的，③中，④与只是长度相同，方向不同，故均错误，因此选B．【总结】本题主要考察了向量的基本概念及简单运算．19.在1、2、3三个数中随机抽取一个数，其中确定事件是（）A．抽取的数是素数 B．抽取的数是合数C．抽取的数是奇数 D．抽取的数是偶数【难度】★★【答案】B【解析】A是随机事件，故选项正确；B是不可能事件，故是确定事件；C是随机事件；D是随机事件．故选B．【总结】本题主要考查了随机事件的定义，理解定义素数、合数的概念是关键．20.在一个凸多边形中，它的内角中最多有n个锐角，则n为（）A．2 B．3 C．4 D．5【难度】★★【答案】B【解析】根据任意凸多边形的外角和是360°，可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角．【总结】本题主要考察了内角与其相邻的外角是邻补角，由于外角和是不变的，所以分析内角的关系可以从外角的情况入手，难度适中．二、填空题1.（1）方程的解是_________________；（2）方程的解是__________________；（3）方程组的解是____________．【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）∵所以原方程的解为：；（2）两边同时平方，原方程可转化为，经检验当时，原方程不成立，为方程的增根，故的解为；（3）方程组，由①，得：x=1+y，代入②，得：2y=4，解得原方程组的解为：．【总结】本题主要考察的是代数方程的一般解法，相对基础，注意无理方程解完要检验．2.（1）若分式的值为0，则_________________；（2）方程，若用换元法设，原方程可变形为___________．【难度】★【答案】（1）2；（2）．【解析】（1）若分式的值为零，分母不能为零即x≠1，由，解得：，故x=2；（2）可以转化为．【总结】本题考察了分式方程的基本解法，属于基础题型．3.某企业的年产值两年内从1000万元增加到1440万元，如果这两年中每年的增长率相同，在求这两年中每年的增长率时，如果设这两年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是_____________．【难度】★【答案】1000（1+x）2=1440．【解析】企业的年产值两年内从1000万元增加到1440万元，这两年中每年的增长率相同，设这两年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是1000（1+x）2=1440．【总结】此题主要考查了方程在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题目的数量关系列出方法解决问题．4.（1）若直线与直线平行，则；（2）若点（，）在一次函数的图像上，则；（3）一次函数，的值随值的增大而________．(填“增大”、“减小”或“不变”)．【难度】★【答案】（1）k=2；（2）a=10；（3）增大．【解析】（1）直线与直线平行则k值相等，即k=2；（2）由题意，得：a=33+1=10；（3），k0，则随着x的增大y的值逐渐增大．【总结】本题主要考察了一次函数的性质的运用．5.（1）如果一个多边形的每个外角都等于，那么这个多边形的边数是______；（2）如果一个多边形的内角和是1800°，则该多边形的对角线有_________条．【难度】★【答案】（1）5；（2）54.【解析】（1）多边形的外角和是360°，每个外角都是72°，则边数是360°72°=5；（2）多边形内角的公式（n2）n=1800°，n=12，故多边形对角线的条数是．【总结】本题主要考察了多边形的内角和外角的相关公式的运用．6.如图，一次函数的图象经过，两点，则的解集是_____．【难度】★★【答案】x3．【解析】从图像中易得当x3时，y0即的解集是x3．【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，要学生比较熟悉图形．7.（1）如图（1），平行四边形ABCD中，设，则；ABCD（2）如图（2），梯形中，∥，，，，请用向量表示向量________________．ABCD【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据向量的三角形法则，得：，∵，∴；（2）由，得：．【总结】本题主要考察了向量的加减运算在几何图形中的运用．8.（1）菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积为；（2）在矩形ABCD中，AB=，BC=4，∠B与∠C的平分线相交于点P，如果点P在这个矩形的内部（不在边AD上），那么的取值范围为【难度】★★【答案】（1）24；（2）．【解析】（1）对角线互相垂直的四边形的面积是两条对角线乘积的一半，即面积为=24；（2）因为四边形ABCD是矩形，BF和CP分别平分∠ABC和∠BCD，则△BPC是等腰直角三角形，过P作PE⊥BC，则PE=BE=BC=2，由点P在这个矩形的内部（不在边AD上）则a>2，又因为三角形ABF也是等腰直角三角形，所以AF=AB=a<4，综上．【总结】本题主要考察了平行四边形的性质，注意数形结合思想的运用．三、解答题1.解下列关于x方程（组）：（1）； （2）解方程：；（3）解方程组：．【难度】★★【答案】（1）x=1；（2）x=3；（3）．【解析】（1）原方程两边同时平方，得，解此方程，得：，经检验当时原方程无意义，是方程的增根，所以的解是x=1；（2）原分式方程可转化为，解此方程得：，经检验x=2时原分式方程无意义，所以的解为x=3；（3），由①得x+y=0，x2y=0与②构成如下的方程组，解以上方程组得原方程组的解为：．【总结】本题考察了分式方程、无理方程及二元二次方程组的解法，注意分式方程和无理方程解完要检验．2.某文具厂加工一种学习用具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天比原来多加工25套，结果提前了3天完成任务．求该文具厂原来每天加工多少套这样的学习用具．【难度】★★【答案】100．【解析】设原来每天加工x套，新技术革新后每天加工x+25套，根据题意可列方程，解得：x=100，经检验x=100是原方程的解且符合题意．故该文具厂原来每天加工100套文具．【总结】本题考察了分式方程的应用，找出题目中的等量关系是列方程的关键．3.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，（1）试用向量表示下列向量：=__________；=__________；（2）求作：、．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）．【难度】★★【答案】（1）；（2）.【解析】（1）；；（2），作图如图所示：其中表示；表示．【总结】本题考查了平面向量的加减运算，属于基础题，注意平面向量定义及平行四边形法则的熟练运用．4.已知：直线且与坐标轴围成的三角形中有一个内角为30°，求此直线的表达式．【难度】★★【答案】．【解析】由题意得一次函数的图像，如右图所示两种情况如图（1），得B（，0），将B点代入一次函数的解析式，得；如图（2），得B（，0）将B点代入一次函数解析式，得；综上，此直线的表达式为．【总结】本题考察了一次函数解析式的求法及直角三角形性质的综合运用，注意分类讨论．5.如图，在△ABC中，AB=BC，BD是中线，过点D作DE∥BC，过点A作AE∥BD，AE与DE交于点E．求证：四边形ADBE是矩形．【难度】★★【解析】∵D是AC的中点，∴AD=CD，∵AE∥BD，DE∥BC，∴∠EAD=∠BDC，∠ADE=∠DCB，∴△ADE≌△DCB，∴AE=DB，∴四边形ADBE是平行四边形，∵AB=CB，AD=CD，∴BD⊥AC，即∠ADB=90°，∴平行四边形ADBE是矩形．【总结】本题考察了等腰三角形的性质，平行四边形的判定及矩形的判定定理的综合运用．6.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E、F在边BC上，BE=CF，EF=AD．求证：四边形AEFD是矩形．【难度】★★【解析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，又∵EF=AD，∴四边形AEFD是平行四边形．∴AE∥DF，∴∠AEF=∠DFC．∵AB=CD，∴∠B=∠C．又∵BE=CF，∴△ABE≌△DCF．∴∠AEB=∠DFC，∴∠AEB=∠AEF．∵∠AEB+∠AEF=180°，∴∠AEF=90°，∴四边形AEFD是矩形．【总结】考察了梯形的性质与矩形判定定理的综合运用．7.如图，四边形ABCD中，E为AB边上一点，且都是等边三角形，点P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，试判断四边形PQMN是怎样的特殊四边形，并证明你的结论．【难度】★★【解析】连接AC和BD．∵△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴MN∥AC，且，PQ∥AC，且MN=PQ=AC，MQ=BD∴MN∥PQ，MN=PQ，∴四边形PQMN是平行四边形．∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴AE=AD=DE，EC=EB=BC，∠DEA=∠CEB=60°，∴∠AEC=∠DEB=60°+∠DEC=120°，∴△AEC≌△DEB，∴AC=BD，∵MN=AC，MQ=BD，∴MN=MQ，∴四边形PQMN是菱形．【总结】本题考察了菱形的判定定理及中位线性质定理的综合运用．8.（浦东四署2019期中26）在平面直角坐标系中，直线AB：与直线AD：交于点A，直线AB与x轴交于点B，直线AD与x轴交于点D，与y轴交于点C.（1）求交点A的坐标；（2）若在直线AB上存在一点P，使得的面积是的面积的2倍，求点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】A（1，4）；（2）P（1，8）或P（7，8）；（3）；【解析】（1）设直线AB与AC交于点，由，解得，；（2）设点，由题意可知B（3，0），D（1，0），因为的面积是的面积的2倍，所以，，；（3）.9.（普陀2018期中25）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过点A（5，6）且与直线l2：平行，直线l2与x轴、y轴分别交于点B、C．

（1）求直线l1的表达式及其与x轴的交点D的坐标；

（2）判断四边形ABCD是什么四边形？并证明你的结论；

（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案．【答案与解析】解：（1）设直线l1的表达式是，∵直线l1经过点A（5，6），∴，得，即直线l1的表达式是，当y=0时，得x=9，即点D的坐标为（9，0）；

（2）四边形ABCD是矩形，证明：∵直线l2：，直线l2与x轴、y轴分别交于点B、C两点，

∴点B（4，0），点C（0，6），∵点A（5，6），点D（9，0），∴AD==2，

BC==2，∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=，BD=4（9）=13，AD=2，∴AB2+AD2==132=BD2，∴∠DAB=90°，因为四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；

（3）E1（2，4），E2（10，4），∵点A（5，6），点B（4，0），设过点A、B的直线解析式为y=kx+b，，得，即直线AB的解析式为，∵点E在直线AB上，

∴设点E的坐标为，∵四边形CBEF是正方形，点B（4，0），点C（0，6），

∴EB=EC，BC==，∴EB=，∴，

解得，a=2或a=10，∴当a=2时，，当a=10时，=4，∴点E1（2，4），E2（10，4）．10.（静安2018期末26）在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC分别交射线AD与射线CB于点E和点F，联结CE、AF．（1）如图，求证：四边形AFCE是菱形；（2）当点E、F分别在边AD和BC上时，如果设AD＝x，菱形AFCE的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△ODE是等腰三角形，求AD的长度．【答案与解析】解：（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF，∴EO＝OF，∵OB＝OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，OB＝OD，∴EB＝ED，∴四边形EBFD是菱形．（2）由题意可知：AC＝，OA＝OC＝，∵cos∠DAC＝，∴AE＝，∴y＝AE•CD＝，∵AE≤AD，∴≤x，∴x2≥1，∵x＞0，∴x≥1．即y＝（x≥1）．（3）①如图2中，当点E在线段AD上时，ED＝EO，则Rt△CED≌Rt△CEO，∴CD＝CO＝AO＝1，在Rt△ADC中，AD＝．如图3中，当的E在线段AD的延长线上时，DE＝DO，∵DE＝DO＝OC，EC＝CE，∴Rt△ECD≌Rt△CEO，∴CD＝EO，∵∠DAC＝∠EAO，∠ADC＝∠AOE＝90°，∴△ADC≌△AOE，∴AE＝AC，∵EO垂直平分线线段AC，∴EA＝EC，∴EA＝EC＝AC，∴△ACE是等边三角形，∴AD＝CD•tan30°＝，综上所述，满足条件的AD的值为或．11.（金山2018期中27）如图，平面直角坐标系中，直线经过点，点B是第一象限的点且，过点B作轴，垂足为C，CB=1.（1）求直线的解析式和点B的坐标；（2）试说明：；（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上存在另一个点N，且以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标.【答案】（1），；（2）证明如下；（3）；【解析】解：（1）把代入中，得，解得，所以一次函数的解析式为：，轴，，，，解得（负值舍去）；（2），，，，，，；（3）.12.（杨浦2019期中27）如图，直线图像与y轴、x轴分别交于A、B两点（1）求点A、B坐标和∠BAO度数（2）点C、D分别是线段OA、AB上一动点（不与端点重合），且CD=DA，设线段OC的长度为x,,请求出y关于x的函数关系式以及定义域（3）点C、D分别是射线OA、射线BA上一动点，且CD=DA，当ΔODB为等腰三角形时，求C的坐标（第（3）小题直接写出分类情况和答案，不用过程）【答案】(1)、，；（2）；（3）；【解析】解：（1）一次函数，令，得，得；令，得，，所以OA=3，OB=，在中，，，，；(2）过点D作轴于H，因为AO=3,CO=x，所以AC=3x，因为AD=CD，，所以是等边三角形，所以，易得：，所以，所以；（3）当OD=DB时，C（0，0）；当BD=OB时，；当OD=OB时，.13.（松江2019期中26）已知一次函数的图像与轴、轴分别交于点B、A.以AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且∠ABC=90°，BA=BC，作OB的垂直平分线l,交直线AB与点E，交x轴于点G.（1）求点的坐标；（2）在OB的垂直平分线l上有一点M,且点M与点C位于直线AB的同侧，使得QUOTE，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，联结CE、CM，判断△CEM的形状，并给予证明.【答案】(1)C（6，2）;(2)M(1,7);(3)等腰直角三角形.【解析】解：（1）如图1，过点C作x轴的垂线，交x轴于点H，∵，∴A（0，4），B（2，0），∵BA=BC，∴（ASA），∴BH=AO=4,CH=OB=2，∴C（6，2）（2）如图2，由题意可知点G（1，0），点E（1，2），∵AB=BC=，∴，∵，而，设M（1，a）,则，解得a=7,则M(1,7)；（3）如图3，联结CM,CE，由于点E(1,2),C(6,2),M(1,7)，则CE=5,EM=5,CM=，可得：，CE=EM，∴是等腰直角三角形.14.(长宁2018期末24)在平面直角坐标系中，过点（4，6）的直线y=kx+3与y轴相交于点A，将直线向下平移个单位，所得到的直线l与y轴相交于点B．

（1）求直线l的表达式；

（2）点C位于第一象限且在直线l上，点D在直线y=kx+3，如果以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，求点C的坐标．

【答案】（1）；（2）（2，2）或；【解析】解：（1）将点（4，6）代入直线y=kx+3，可得，∴，

将直线向下平移个单位，得到直线l的表达式：；（2）由题可得A（0，3），，设，当AB∥CD时，AB2=BC2，即，解得t1=2，t2=2，又∵t＞0，∴C（2，2）；当AB，CD为菱形的对角线时，AC2=BC2，,

解得，∴C．综上所述，点C的坐标为（2，2）或.

15．（青浦2018期末24）如图，平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A．B．（1）求△AOB的面积；（2）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A．B．P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）Q1（﹣2，0），Q2（2，4），Q3（2，﹣4），Q4（2，）；【解析】解：（1）对于直线，令x＝0得到y＝，令y＝0，得到x＝2，∴A（2，0）．B（0，），∴OA＝2，OB＝，∴S△AOB＝•OB•OA＝．（2）存在．①当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为（﹣2，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝4，所以Q2点的坐标为（2，4），在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为（2，﹣4），②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，，即，解得x＝，所以Q4（2，）．综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣2，0），Q2（2，4），Q3（2，﹣4），Q4（2，）．16．（青浦2018期末25）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．直线l为线段PQ的垂直平分线，与边BC交与点E设AP＝x．（1）当直线l经过点B时，求x的值；（2）求BE的长（用含x的代数式表示）；（3）连接EP、EQ，设△EPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】（1）；（2）；（3）y＝x2﹣x+（≤x≤）；【解析】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝6，∵AP＝CQ＝x，∴BP＝DQ＝8﹣x，连接BQ，当直线l过点B时，直线l必过点D，∵l是PQ的垂直平分线，∴BQ＝BP，∴DQ＝BQ＝8﹣x，在Rt△BCQ中，根据勾股定理得，（8﹣x）2﹣x2＝36，∴x＝；（2）如图2，连接PE，QE，∴PE＝QE，在Rt△PBE中，PE2＝（8﹣x）2+BE2，在Rt△ECQ中，QE2＝x2+（6﹣BE）2，∴（8﹣x）2+BE2＝x2+（6﹣BE）2，∴BE＝；（3）连接PE，QE，PF，QF，由（2）知，BE＝，∴CE＝BC﹣BE＝，同（2）的方法得，DF＝，AF＝，∴y＝S梯形BCPQ﹣S△BEP﹣S△ECQ＝（8﹣x+x）×6﹣（8﹣x）×﹣x×＝x2﹣x+∵点E在线段BC上，∴0≤BE≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤，即：y＝x2﹣x+（≤x≤）．17.(奉贤2018期末24)如图，一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别相交于点A，B，以AB为边作正方形ABCD（点D落在第四象限）．

（1）求点A，B，D的坐标；

（2）联结OC，设正方形的边CD与x相交于点E，点M在x轴上，如果△ADE与△COM全等，求点M的坐标．

【答案】（1）A（2，0），B（0，4），D（2，2）；（2）M（5，0）；【解析】解：（1）∵一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别相交于点A，B，∴A（2，0），B（0，4），∴OA=2，OB=4，如图1，过点D作DF⊥x轴于F，∴∠DAF+∠ADF=90°，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∴∠DAF+∠BAO=90°，∴∠ADF=∠BAO，

在△ADF和△BAO中，，∴△ADF≌△BAO（AAS），∴DF=OA=2，AF=OB=4，

∴OF=AFOA=2，∵点D落在第四象限，∴D（2，2）；（2）如图2，过点C作CG⊥y轴于G，连接OC，作CM⊥OC交x轴于M，同（1）求点D的方法得，C（4，2），

∴OC==2，∵A（2，0），B（0，4），∴AB=2，∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=2=OC，∵△ADE与△COM全等，且点M在x轴上，∴△ADE≌△OCM，

∴OM=AE，∵OM=OE+EM，AE=OE+OA，∴EM=OA=2，∵C（4，2），D（2，2），∴直线CD的解析式为y=2x6，令y=0，∴2x6=0，∴x=3，∴E（3，0），∴OM=5，∴M（5，0）．

18．（静安2018期末25）如图，在直角坐标平面内，直线y＝﹣x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴正半轴上，且满足OC＝OB．（1）求线段AB的长及点C的坐标；（2）设线段BC的中点为E，如果梯形AECD的顶点D在y轴上，CE是底边，求点D的坐标和梯形AECD的面积．【答案】（1）5，C（2，0）；（2）D（6，0），20；【解答】解：（1）令x＝0，得到y＝﹣4，∴B（0，﹣4），令y＝0，得到x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∴AB＝＝5，∵OC＝OB，点C中x轴的正半轴上，∴C（2，0）（2）∵AC＝AB＝5，EC＝BE，∴AE⊥BC，∵CE是梯形AECD的底，∴AD∥CE，∴△AOD∽△COB，∴，∴，∴OD＝6，∴D（6，0），∵BC＝2，AD＝3，AE＝，∴S梯形AECD＝×AE＝20．19．（闵行2018期末26）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，设AD＝x，△AOB的面积为y．（1）求∠DBC的度数；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图1，设点P、Q分别是边BC、AB的中点，分别联结OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的长．【答案】（1）45°；（2）；（3）【解析】解：（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点．∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，∴四边形ACED为平行四边形，AC＝DE，AD＝CE，∵AB＝CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∴BD＝DE，又AC⊥BD，∴∠BOC＝90°∵AC∥DE∴∠BDE＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC＝45°．（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，∵AD＝x，BC＝10，∴OA＝x，OB＝5，∴y＝•OA•OB＝•x×5＝x（x＞0）．（3）如图2中，①当PQ＝PO＝BC＝5时，∵AQ＝QB，BP＝PC＝5，∴PQ∥AC，PQ＝AC，∴AC＝10，∵OC＝5，∴OA＝10﹣5，∴AD＝OA＝10﹣10．②当OQ＝OP＝5时，AB＝2OQ＝10，此时AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，∴∠ABC＝90°，同理可证：∠DCB＝90°，∴四边形ABCD是矩形，不符合题意，此种情形不存在．③当OQ＝PQ时，AB＝2OQ，AC＝2PQ，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°＝∠BOC，显然不可能，综上所述，满足条件的AD的值为10﹣10．20.（静安2019期末26）如图，点P是边长为2的正方形ABCD对角线上一个动点（P与A不重合），以P为圆心，PB长为半径画圆弧，交线段BC于点E，联结DE，与AC交于点F.设AP的长为x，的面积为y.（1）判断的形状，并说明理由；（2）求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当四边形PBED是梯形时，求出PF的值.【答案】（1）等腰直角三角形；（2）；（3）；【解析】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：在正方形ABCD中，AD=AB，，又因为AP=AP，所以（SAS），所以BP=DP，由题意得，PB=PE，所以＝PD，过点P作，与BC、AD分别交于点G、H，因为PB=PE，所以BG=EG，因在正方形ABCD中，，所以四边形ABGH是矩形，所以AH=BG，AB=GH，所以AB=GH=AD.因为在中，，所以AH=PH，所以AH=PH=BG=EG，因PG=GHPH，DH=ADAH，所以PG=DH；又，所以（SAS），所以，所以，所以是等腰直角三角形．（2）在中，AP＝x，，在中，，