3.5探索与表达规律（练习）

第三章整式及其加减第五节探索与表达规律精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2021·江苏吴中区·西安交大苏州附中七年级开学考试）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第20个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．448 B．452 C．544 D．602【答案】C【分析】观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n个图案需要的个数为（个），所以第20个图案需要的个数只需将n=20代入即可．【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）；第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）；第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）；第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）；…第n个图案需要的个数为（个）∴第20个图案需要的个数为(1+2+3+…+22)×2+2×19=544（个）故选C．【点睛】本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律．2．（2021·山东滨城区·七年级期末）已知一列数：1，2，3，4，5，6，7，…将这列数排成下列形式：第1行1第2行23第3行456第4行78910第5行1112131415……按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（）A．4954 B．4954 C．4953 D．4953【答案】A【分析】分析可得：第n行有n个数，此行最后一个数的绝对值为；且奇数为正，偶数为负；先求出99行最后一个数，然后可求出100行从左边数第4个数．【详解】解：第1行有1个数，最后一个数的绝对值是：1；第2行有2个数，最后一个数的绝对值是：3=1+2=；第3行有3个数，最后一个数的绝对值是：6=1+2+3=；第4行有4个数，最后一个数的绝对值是：10=1+2+3+4=；第5行有5个数，最后一个数的绝对值是：15=1+2+3+4+5=；……；∴第n行有n个数，最后一个数的绝对值是：；∴第99行有99个数，此行最后一个数的绝对值为：；∴第100行从左边数第4个数的绝对值为4954，∵奇数为正，偶数为负，∴第100行从左边数第4个数为4954，故选：A．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类以及学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．本题的关键是得到规律：第n行有n个数，此行最后一个数的绝对值为；且奇数为正，偶数为负．3．（2021·重庆市徐悲鸿中学校七年级开学考试）按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2中共有10把椅子，…，按此规律，则图7中椅子把数是（）A．28 B．30 C．36 D．42【答案】B【分析】观察图形变化，得出n张餐桌时，椅子数为4n+2把（n为正整数），代入n＝7即可得出结论．【详解】解：1张桌子可以摆放的椅子数为：2+1×4＝6，2张桌子可以摆放的椅子数为：2+2×4＝10，3张桌子可以摆放的椅子数为：2+3×4＝14，…，n张桌子可以摆放的椅子数为：2+4n，令n＝7，可得2+4×7＝30（把）．故选：B．【点睛】此题考查图形类规律探究，列式计算,根据图形的排列总结规律并运用解决问题是解题的关键．4．（2021·全国九年级专题练习）观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是()A．2925 B．2025 C．3225 D．2625【答案】A【分析】根据题意找到规律：即可求解．【详解】解：∵13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，∴，53+63+73+83+93+103()()．故选：A．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．5．（2020·高州市新垌第一中学）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，由以上等式可推知3＋32＋33＋34＋…＋32021的结果的末位数字是()A．0 B．9 C．3 D．2【答案】C【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32021结果的末位数字．【详解】解：观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，发现规律：末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，所以2021÷4＝505……1，而3+9+7+1＝20，20×505+3＝10103．所以算式：3+32+33+34+…+32021结果的末位数字是3．故选：C．【点睛】本题考查了规律型数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．6．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学八年级月考）如图，由等圆组成的一组图中，第①个图由1个圆组成，第②个图由5个圆组成，第③个图由11个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第⑧个图由（）个圆组成A．71 B．72C．73 D．74【答案】A【分析】先观察前几个图形，找到规律，用含有n的代数式将规律表示出来，然后算第⑧个．【详解】解：可以将整个图形分成三部分看，上面部分整体和中间一行以及下面部分整体，上部分和下部分都是一样的规律，第n个图形有个圆，所以上部分加上下部分一共有个圆，中间一行，第n个图形有个圆，所以第n个整个图形中有个圆，令，解得第⑧个图形中有71个圆．故选：A．【点睛】本题考查找规律，解题的关键是能够用含有n的代数式将图形的规律表示出来．7．（2020·广东外语外贸大学实验中学）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行一个点，第二行两个点……第n行有n个点……，已知前m行的点数和为210，则m的值为（）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】根据题意得出这个点阵中前n行的点数和等于1+2+3+4+……+n，再计算即可．【详解】根据题意知，1+2+3+4+……+n

=n（n+1）

=．∴，解得：（负值已舍去）；故选B．【点睛】此题考查图形的变化规律，结合图形，找出数字的运算规律，利用规律解决问题．8．（2020·福建宁化县·七年级期中）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第3次移动到A3，……，第n次移动到An，则△OA2A2019的面积是（）A．504 B． C． D．1009【答案】B【分析】观察图形可知：，由，推出，由此即可解决问题．【详解】观察图形可知：点在数轴上，，，，点在数轴上，，故选B．【点睛】本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．二、填空题9．（2020·浙江杭州市·）由一些正整数组成的数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：第1行2第2行46第3行8101214若规定坐标号表示第m行从左向右第n个数，则所表示的数是________；数2022对应的坐标号是________．【答案】【分析】根据每行的第一个数分别为：…故第行的第一个数为：，第个数为；进而得出每一行的数字即可分别求出对应数字，再利用每行数字个数，得出2022所在位置．【详解】解：根据每行的第一个数分别为：…第行的第一个数为：第5行的第一个数为：，第6个数为：，所表示的数是；每一行的数字个数为：第行为：，，数2022在第10行，从右向左数第12个数，得出，故数2022对应的坐标号是，故答案为：；．【点睛】本题考查了数字变化规律，利用每行中数字的个数以及每行第一个数字变化规律得出是解题的关键．10．（2021·辽宁锦州市·）观察下列式子：；；；；…，按此规律，计算______．【答案】【分析】观察已知式子可得规律，进而进行计算即可．【详解】解：观察下列式子可知：

；

；

；

；

…，

按此规律，

则．

∴a1+a2+a3+…+a2020=1+++…+=1

=．

故答案为：．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，应用规律．11．（2021·全国七年级）一动点P从数轴上的原点出发，按下列规则运动：（1）沿数轴的正方向先前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行；（2）已知点P每秒只能前进或后退1个单位．设xn表示第n秒点P在数轴上的位置所对应的数，则x1998为__．【答案】502【分析】先解出点P每8秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导出答案．【详解】解：依题意得，点P每8秒完成一个前进和后退，即前8个对应的数是1、2、3、4、5、4、3、2；第二组8个数即9～16是3、4、5、6、7、6、5、4，第三组8个数即17～24是5、6、7、8、9、8、7、6，，得到规律：第二组8个数是：第一组8个数对应数位上的数，如：第10秒，，余数为2，则第一组对应数位上的数即第2个数为2，∴；第三组8个数是：第一组8个数对应数位上的数，如：第21秒，，余数为5，则第一组对应数位上的数即第5个数为5，∴；，∵，余数为6，则第一组对应数位上的数即第6个数为4，故．故答案为：502．【点睛】本题主要考查了数字变化的规律，解答此题的关键是找出循环的规律．12．（2020·丰县欢口镇欢口初级中学）如图，下列图形是由同样大小的●和▲按一定规律组成，其中第1个图形由3个●和1个▲组成，第2个图形由6个●和3个▲组成，第3个图形由9个●和6个▲组成，…，照此规律，在第45个图形中，●比▲的个数少______个．【答案】900【分析】观察图形特点，从中找出规律，单独找出“●”的规律为：3n，“▲”的规律为：，单独求出时“●”和“▲”的个数即可．【详解】∵n＝1时，“●”的个数是3＝3×1；n＝2时，“●”的个数是6＝3×2；n＝3时，“●”的个数是9＝3×3；n＝4时，“●”的个数是12＝3×4；∴第45个图形中“●”的个数是3×45＝135；又∵n＝1时，“▲”的个数是；n＝2时，“▲”的个数是；n＝3时，“▲”的个数是；n＝4时，“▲”的个数是；∴第45个图形中“▲”的个数是；由题意知，在第45个图形中“●”比“▲”少的个数为：－135＝900．故答案为：900．【点睛】本题考查的是探究规律的知识，关键是总结出图形变化的规律．提升篇提升篇三、解答题13．（2021·全国八年级专题练习）观察下列各式：，，，，…，你有没有发现其中的规律?请用含的代数式表示此规律，再根据规律写出接下来的式子．【答案】．(≥1且为整数)，【分析】观察等式的规律，可分别观察等式的左边：第一个的底数分别为：3=221，8=321，15=421，24=521，第n个式子为（n+1）21，第二个的底数是4，6，8…连续的偶数．右边的底数是比左边的第一个数大2，得到规律：[（n+1）21]2+[2（n+1）]2=[（n+1）2+1]2．再根据规律即可写出下一个式子即可【详解】解：，．(≥1且为整数)【点睛】本题主要考查整式规律的问题，注意分别观察等式的左边和右边以及左右两边的关系，这需要平时的努力．14．（2021·江西吉水县·）已知下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，…（1）请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：；（2）请你找出规律，写出第n个式子．（3）利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+7+…+2019+2021．【答案】（1）52﹣42=9；（2）（n+1）2﹣n2=2n+1；（3）10112．【分析】（1）由等式左边两数的底数可知，两底数是相邻的两个自然数，右边为两底数的和，由此得出规律；（2）等式左边减数的底数与序号相同，由此得出第n个式子；（3）由3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，…，将算式逐一变形，再寻找抵消规律．【详解】解：（1）依题意，得第④个算式为：52﹣42=9；故答案为：52﹣42=9；（2）根据几个等式的规律可知，第n个式子为：（n+1）2﹣n2=2n+1；故答案为：（n+1）2﹣n2=2n+1；（3）由（2）的规律可知，1+3+5+7+…+2021=1+（22﹣12）+（32﹣22）+（42﹣32）+…+（10112﹣10102）=10112．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题是解决此题的关键．15．（2020·江苏苏州市·七年级期中）如图，在边长都为的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．（1）根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是_________，第个正方形内圆的个数是_________（用含的代数